Введение. Эффективность эксплуатации инженерных систем зданий существенно зависит от своевременного выявления неисправностей и предотвращения аварийных ситуаций. Современные методы диагностики и мониторинга требуют внедрения новых подходов к оценке надежности и долговечности технических систем [1-3]. Данная статья посвящена разработке математической модели для расчета показателей надежности инженерных систем с учетом особенностей их функционирования и возможных сбоев. Цель исследования - создание универсального метода анализа, позволяющего оптимизировать техническое обслуживание и снизить экономические риски, связанные с выходом систем из строяВ статье [4] проанализирована структура контроля совокупностью насосных агрегатов определённой системы водоотведения, используя регулятор в основе которого лежит нечёткая логика с применением TSK-модели. Создана математическая модель и сделана имитация моделирования системы регулирования агрегатами. Итоги такого моделирования доказывают, что система способна решить задачу, давая при этом возможность практичного поддержания уровня воды в сосудах в рамках установленных пределов.В работе [5] были проведены эксперименты, на основании которых сделан вывод о том, что использование автоматики в системах отопления сокращает расходы, которые идут на теплоснабжение здания, а также увеличивают комфортную среду помещений. В статье [6] установлено, что используя модули MagiCAD предоставляется возможность за короткий срок создать чертежи вентиляционных систем. Также сокращается срок черчения инженерных систем и устранения ошибок. Предоставляется возможность сделать необходимые аэродинамические расчёты.В рамках исследования [7] создана информационная модель функции которой заключаются в управлении вентиляционными системами больших промышленных комплексов. В основе лежит прямое газодинамическое моделирование. В статье также рассмотрена модель информационной системы, предназначенная для численного моделирования движения воздушной среды на большой промышленном здании. Эта модель позволяет решить задачи связанные с проектирование системы вентиляции. Создание инженерной системы основано на модульном принципе.В работе [8] сделаны следующие выводы: в процессе проектирования любой инженерной сети в BIM - платформах нужно переодически проверять на пересечения, с целью недопущения появления коллизий; специалисты каждого раздела, создавая модель своего блока, обязаны брать в учёт последующую работу других специалистов и сохранять пустое пространство для других разделов; на стадии выполнения работ по монтажу системы нужно руководствоваться поддержкой BIM-отдела.В статье [9] выявлено для чего создаётся интегрированная система BIM ГИС. Рассмотрены отечественные аналоги ПО. Рассмотрены технологии необходимые для того чтобы осуществлять управление данными BIM объектов инфраструктуры. Исследовано развитие информационных моделей, которые используются для создания цифровых двойников для контролирования всего жизненного цикла инженерных систем водоснабжения и водоотведения.Авторами статьи [10] опираясь на информационное моделирование проанализировано создание автоматизированного инструмента для формирования схем и графиков для расчёта, а также перечня материалов необходимых для систем водоснабжения и водоотведения. Рассмотрен процесс создания и программирования модуля для расчёта постоянного потребления воды. Полученное автоматизированное решение, даёт возможность специалистам в короткие сроки рассчитать показатели чертежа.Материалы и методы. Описание жизненного цикла инженерных систем может быть осуществлено марковским процессом с непрерывным временем, т.к. параметры «прошлого», от которых зависит «будущее», могут быть приняты как «настоящее». Система, находясь в j-ом состоянии, с течением времени в непрерывный момент времени может перейти в заранее нефиксированное j-состояние. Переход системы из одного состояния в другое зависит от ряда факторов, в основном, от интенсивности отказа λ(t) и восстановления µ(t). Как известно, интенсивность отказа зависит от вероятности безотказности системы, которая, в свою очередь, зависит от параметров конструкции. Переход в случайные моменты времени из состояния безотказности в отказное и, наоборот, как последовательное однородное событие, называется потоком событий, который выражается интенсивностью λ(t) [11-15].При длительном времени эксплуатации в системе устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности «уже» не зависят от времени.Имея в своем распоряжении интенсивности переходов, можно составить и решить уравнение Колмогорова [16], особого вида дифференциальные уравнения, в которых неизвестными являются вероятности состояний системы в определенные моменты времени.В случае, когда вероятности состояний и их производные равны нулю, то дифференциальное уравнение Колмогорова преобразуется к линейным алгебраическим уравнениям, решениями которых является финальная вероятность состояний. Знание характеристик финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы. При этом возникает вопрос об оптимизации решения, т. е. о выборе путем регулирования оптимальных значений интенсивности переходов.Регулирование процесса перехода с целью улучшения показателя качества системы входит в задачу марковского процесса принятия решений. Известный метод Ховарда [17] не позволяет решать задачи такого характера, в связи с чем используется итерационный алгоритм параметрических марковских PL-моделей, предложенной в работах [18].Основная часть. Пусть рассматриваемая стержневая система с n-элементов - xuv=1,n , время от времени выходит из строя и в последующем восстанавливается. В произвольный момент времени каждый элемент xu(v=1,n ) может находиться в одном из двух состояний: рабочее (состояние 0) и отказное (состояние 1), кроме невозможного (состояние Ф). В конкретный момент времени возможно одно из двух состояний – множество, которое может быть определено следующим образом:S=SiSi=x1i,x2i,…,xn,xui (1)Предполагается, что элементы инженерных систем периодически раз в год ремонтируются (восстанавливаются), этот промежуток времени выбирается так, что за ∆t время может произойти только одно событие. Каждый элемент xu характеризуется двумя постоянными величинами λu  и µu  со следующими свойствами. Если в момент времени t элемент находится в рабочем состоянии, то вероятность того, что он требует ремонта до момента t + ∆t равняется λu∆t .Наоборот, когда элемент xu находится на ремонте, вероятность того, что время ремонта окончится до момента t + ∆t элемент вернется в рабочее состояние, равняется µu∆t . Можно отметить, что если τu  - среднее время безотказной работы u-го элемента, а ρ  - среднее время ремонта, то:λu=1τu, (2)µu=1ρu, (3)u=1,n. (4)Предполагается, что переходы системы из одного состояния в другое связаны с возможными затратами на потери несущей способности и на восстановление (расход) и, наоборот, отдачи от эксплуатации системы в безотказном состоянии (доход).Пусть система находится на Si-м состоянии и один из работающих элементов отказывает или наоборот отказанный элемент восстанавливается. Тогда система переходит в некоторое другое состояние Si, которое назовем соседним к состоянию и обозначим следующим образом:eu=0,…,0, 1, 0,…,0, где n - мерный единичный координатный вектор, у которого u -я координата равна I, остальные равны нулю. u∈ N = 1,2,…n . Если учесть I, то для соседних состояний справедливо одно из следующих равенства:Si-Sj=±eu. (5)В этих обозначениях элементы матрицы перехода, описывающие состояние системы, определяются как:ВА=aij. (6)aiji≠jλu если Si-Sj=-eu           u∈N, µu если Si-Sj=-eu           u∈N,0 в остальных случаях aij=j=1i≠1τn-maij, (7)   где n - количество состояний; m - количество невозможных состояний.Предположим, что в любой момент времени, когда система находится в некотором состоянии Si∈ S и способствует получению «дохода» или наоборот требует затрат, если элементы в состоянии отказа. Пусть элемент xu находится в рабочем состоянии и за ∆t период времени дает доход φu∆t  в денежных единицах, находясь в отказном состоянии, требует расхода φu∆t  . Тогда общий доход системы за ∆t  период времени, получаемый на Si -м состоянии, можно определить формулой.Имея матрицу перехода А, вводя:τi∆t=u=1n(1-xui)φu+-xuiφu-∆t,  (8)где i = 1, 2n - m.Из выражения расход / доход, можно определить для каждого i-состояния Si∈ S соответствующую норме затрат qi по формуле:qi= τi+j=1j≠iτn-maijτj,  (9)где i = 1, 2n .Требуется найти минимально возможное значение общих затрат q, являющееся критерием оптимальности марковских систем, функционирующих на бесконечном интервале времени.Весь смысл задачи сводится к формированию и решению следующей системы уравнений (8).q=qi +j=1τn-maijwj,  (10)где i = 1, 2n -m.Относительно q и w1, w2, … , wjn-m,  полагая, что u2n-m = 0.Матрицы перехода связана с графом, рассмотренным в статье [19]. На орграфе инженерные системы изображаются окружностями, а возможные переходы – стрелками. Номер каждой инженерной системы соответствует параметру, имеющему идентичный нижний индекс: 1–- электроэнергия; 2 – вентиляция; 3 – водоснабжение; 4 – газоснабжение; 5 – кондиционирование; 6 – водоотведение; 7 – теплоснабжение; 8 – системы безопасности; 9 – отопление.В результате, можно составить матрицу перехода по следующему правилу. Если на графе имеется стрелка, ведущая из Si в Sj (связывающая любые две инженерные системы), то значение стрелки является значением dij . Если такой стрелки нет, то Si = 0. Значение элемента dij  - определяется как сумма всех стрелок, выходящих из состояния Si, принятого со знаком минус. Пользуясь таким правилом (10) записывается матрица А для комплекса инженерных систем. A-(λ1+λ2+λ3)λ1λ1+λ2λ2λ30-(λ2+μ2)00μ1-(μ1+λ2)μ200λ2λ300000000000μ200-(λ1+μ2+λ3)0λ10λ300000-(λ2+μ3)00λ2000μ1000μ2000μ2μ3μ30-(μ1+μ2+λ3)μ30λ3000μ3μ200-(λ1+μ2+μ3)λ100000μ30μ1-(μ1+μ3),   (11) где λ1  – вероятность полного отказа определенной инженерной системы в гарантийный срок службы; λ2  – вероятность частичного отказа (50 % функциональности) определенной инженерной системы в гарантийный срок службы; λ3  – вероятность критического отказа (20 % функциональности) определенной инженерной системы в гарантийный срок службы; μ1 , μ2 , μ3  – соответствующие вероятности восстановления полной работоспособности инженерной системы.Для этой матрицы производительность в течение жизненного цикла определяется:τ1=0, (12)τ2=φ1-1, (13)τ3=φ2-1, (14)τ4=φ3-1, (15)τ5=φ1-1+φ2-1, (16)τ6=φ2-1+φ3-1, (17)τ7=φ1-1+φ3-1, (18)τ8=φ1-1+φ2-1+φ3-1, (19)τ9=2(φ1-1+φ2-1+φ3-1). (20)С учетом (7) и (11) можно получить норму затрат каждого состояния:qi= τi+j=1j≠i7dijτj,  (21)Серия уравнений (12-20), определяющая затраты для рассматриваемой задачи, имеет вид:q= qi+j=1j≠i7dijwj,  (22)После этих предварительных выкладок можно перейти к вопросу оптимизации процесса содержания системы.Предположим, что каждый элемент x может быть изготовлен в нескольких вариантах xu(vu), vu=1, mu, где vu - номер варианта u-го элемента. Каждый вариант характеризуется следующими величинами:λu(vu)  – интенсивность отказа; µu(vu)  – интенсивность восстановления; φu+(vu)  – расход при эксплуатации;φu-(vu)  – расход во время восстановления. При этом интенсивность λu  для рассматриваемой задачи зависит от сложности комплектации системы. Поэтому следует выбрать такое из числа u=1nmu  при решении θ=(vu,u=1,n) , чтобы общие затраты q были минимальными.Вопрос оптимизации решения, т.е. выбор значений интенсивности переходов связан с параметрическими марковскими моделями с непрерывным временем (PL - моделями) [18] и может быть решен по следующим соображениям.Пусть γθ1,θ-(N+1)  – мерный вектор такой, что: γθ&#39;,θ=qθ&#39;+Aθ&#39;wθ-qθ-Aθwθ, (23) тогда приγ=θ&#39;,θ≥0, (24)γθ&#39;,θ≤0, (25)получимgθ&#39;>gθ, (26)gθ&#39;<gθ. (27)Поиск оптимального решения путем сокращения ряда неконкурентоспособных вариантов проводится с помощью параметра γ .Пусть θ&#39;  – оптимальное решение PL - модели. Тогда:θ&#39;∈H, (28)где Н - множество решений. Тогда γ  - оптимальное решение, при условии γ(θ&#39;,θ)≠0 .При нахождении g&#39;  - оптимального решения, рекомендуется соблюдать следующие принципы:1. Преобразуется множество θ&#39;=θ1,…,θR  в множество H=(θ1,…,θR) , так что ƞqθi≥nqθi-1, i=1, R=1 , где θ∈H , а ƞ - мерный вектор - строка, все элементы которого равны I.2. Пусть для θ&#39;,θ∈H  выполняется неравенство γ(θ&#39;,θ)≠0 . Если ƞqθ&#39;,θ>0 , то предпочтение при выборе варианта отдается решению θ&#39; , иначе ƞqθ&#39;,θ≤0 .Итерационный алгоритм, основанный на этих принципах, имеет следующую последовательность:1. Для каждого θ∈H  по формуле (9) вычисляется qθ  – вектор «норма затрат», затем множество H преобразуется в множество H .Вводится величина t = I и полагается, что θ=θ1(θ1∈H) 2. Решается система уравнений (10) и определяются qθ  и wθ .3. Проверяется условие t = R, если да, то θ  – искомое решение и интеграция прекращается.4. Принимается, что t = t + I и вычисляется вектор:γt=τθi+Aθiwθ-qθ, (29)и определяется величина ƞγt .5. Проверяется условие ƞγt>0 . При удовлетворении полагается, что θ=θt  и управление передается в пункт 2, иначе пункту 3.Данный алгоритм позволяет отсеивать конкурентоспособные варианты, не прибегая к решению для каждого варианта системы уравнений. Алгоритм позволяет в ряде случаев отыскать оптимальное решение. В силу того, что всякое решение  θ  из H является N - мерным вектором, т. е.:θ=(t1,t2,…,tH), (30)Pijθ=PijKi, (31)для всех i,j∈S , то P - модели представляют собой управляемую марковскую модель с непрерывным временем. Оптимальные решения θ&#39;∈H  могут определяться с помощью интерационного алгоритма [18].Норма затрат по всем состояниям рассматриваемой системы определяется по [20], т.е.:q1=τ1+λ1τ2+λ2τ3+λ3τ4, (32)q2=τ2+µ1τ1+λ2τ4, (33)q3=τ3+µ2τ1+λ1τ5+λ3τ6, (34)q4=τ4+µ3τ1+λ2τ6. (35)q5=τ5+μ2τ2-μ1τ3-λ3τ1 (36)q6=τ6+μ3τ3-μ2τ4-λ4τ1 (37)q7=τ7+μ3τ2-μ1τ6 (38)q8=τ8+µ2τ1+λ1τ5+λ3τ6, (39)q9=τ9+μ3τ3-μ1τ3-λ2τ5 (40)Значения вероятностей отказа полного, частичного и критического зависят от типа инженерной системы. Порой проще выявить недееспособный элемент при полном выходе системы из строя или критической сокращении ее работоспособности чем при частичном. Зачастую серьезные нарушения в работоспособности сопровождаются видимыми нарушениями (дым, сильный нагрев, прорыв, задымление и т.д.). В табл. 1 представлены вероятности отказа инженерных систем и затраты на восстановление с учетом проведения ремонта.Установлено, что наивысшая вероятность отказа может возникнуть в системе электроснабжения с вероятностью 27,5%. Данный факт связан с тем, что на этапе ввода строительного объекта в эксплуатацию отделочные работы сопровождаются значительными всплесками напряжений и кратного увеличения мощностей. Наименьшая вероятность полного отказа у системы газоснабжения – 5,2%. Это связано со строгими требованиями к проектированию и монтажу газовых сетей, регулярным проведением профилактических осмотров и проверок. Таблица 1Вероятность отказа инженерных систем и затраты на восстановление с учетом проведенияремонта Θ₁Θ₂Θ₃Θ₄Θ₅Θ₆Θ₇Θ₈Θ₉λ₁27,56,39,55,28,47,611,25,414,2μ₁34,283,976,68,46,37,67,17,24,4λ₂8,55,58,49,46,35,37,45,113,2μ₂19,516,515,56,39,38,28,42131λ36,54,36,25,25,45,16,54,312,2μ₃83,973,282,276,784,581,776,475,363,4          q₁4,4623,5694,0053,1033,1222,2313,5642,23117,847q₂24,59424,57314,59424,61524,00723,48324,02823,46233,820q₃25,30728,07720,38448,05629,2138,0539,11248,5667,640q550,38465,30734,61564,63634,63644,63624,63684,61578,965q1086,74087,53787,53787,53772,5767,7582,53786,74080,262q1587,53796,74088,33496,74081,53785,79786,74096,46688,241q20125,94125,94125,9499,94125,94112,8194,94125,9491,395q30128,46127,76125,55117,79144,91140,23112,74144,23113,86q50156,91136,77166,91157,04163,16149,82153,3149,68215,77 Наивысшей степенью вероятности восстановления обладает система кондиционирования 84,5 % в следствии простоты и доступности комплектующих материалов. Анализ экономической составляющей жизненного цикла показал, что система отопления является наиболее ресурсоемкой среди инженерно-технических подсистем здания, поскольку суммарные издержки, требуемые для поддержания ее функциональности и возобновления утраченных свойств в течение нормативного срока службы продолжительностью 50 лет, превышают совокупные эксплуатационные расходы почти в три раза (215,7 %). Минимальную величину удельных расходов демонстрирует вентиляционная система, характеризующаяся коэффициентом экономического воздействия равным 136,7 %, что свидетельствует о сравнительно низком уровне капитальных вложений относительно текущих эксплуатационных затрат на протяжении всего периода эксплуатации объекта.Финальная матрица в виде систем уравнений выглядит следующим образом: g=q1-μ1+λ3⋅ω1+λ4⋅ω2+λ2⋅ω3, (41)g=q2+μ1⋅ω1+μ2+λ2⋅ω2+λ1⋅ω4+λ3⋅ω5, (42)g=q3+μ2⋅ω2+μ3+λ1⋅ω3+λ2⋅ω5, (43)g=q4+μ3⋅ω3+μ1+λ2⋅ω4+λ3⋅ω1+λ1⋅ω2, (44)g=q5+μ1⋅ω4+μ2+λ3⋅ω5+λ2⋅ω1, (45)g=q6+μ2⋅ω5+μ3+λ2⋅ω2+λ1⋅ω1, (46)g=q7+μ3⋅ω5+μ1+λ1⋅ω3+λ2⋅ω4. (47) Далее необходимо определить вероятность поочередного выхода из строя двух инженерных систем. В соответствии с алгоритмом проведем ранжировку по qi (см. табл. 1), что позволит провести организованный анализ вариантов. В результате, вероятности сведем в табл. 2.Вероятность зависит от той системы, которая первой выйдет из строя, поэтому значения вероятностей при пересечении строки - столбца и столбца – строки отличаются.  Таблица 2Вероятность одновременного выхода из строя двух инженерных систем  Θ₁Θ₂Θ₃Θ₄Θ₅Θ₆Θ₇Θ₈Θ₉Θ₁0,003,292,273,305,604,855,396,646,67Θ23,840,004,043,845,705,506,165,666,58Θ33,393,850,005,463,565,828,922,437,98Θ45,113,562,670,004,713,586,063,816,84Θ54,573,573,223,530,003,655,505,576,49Θ62,544,762,563,583,750,007,616,496,49Θ76,571,673,634,765,364,750,004,764,76Θ82,326,085,852,201,753,964,580,007,37Θ92,894,104,541,502,501,373,983,010,00 Прогнозируемое увеличение затрат на восстановление двух инженерных систем представлено в табл. 3 Используется аналогичный принцип, увеличение затрат на восстановление будет разным и зависеть с какой инженерной системы начинать восстановление.  Таблица 3Увеличение затрат на восстановление двух инженерный систем, %Прогнозируемое увеличение затрат на восстановление, % 12345678910,0017,6812,1817,7330,0726,0628,9535,6435,79220,620,0021,7120,6230,605,5433,0830,3735,36318,2120,670,0029,3119,1231,2347,9013,0742,86427,4619,1214,340,0025,2819,2332,5520,4436,75524,5419,1717,2818,970,0019,6129,5429,8934,83613,655,5613,7519,2320,140,0040,8834,8334,83735,268,9719,5025,5628,7825,480,0025,5625,56812,4632,6831,4111,839,3721,2824,570,0039,59915,5022,0424,378,0813,437,3521,3516,160,00Выводы1. По результатам исследования, моно заключить, что наиболее дорогостоящая авария возникает при выходе из строя систем теплоснабжения и водоснабжения. Особенно это чревато в зимний период. Затраты на восстановление увеличатся на 47,9 % в сравнении с обычным режимом работы. 2. Минимальное увеличение затрат наблюдается при выходе из строя системы вентиляции и водоотведения. Это объясняется тем, что эти инженерные системы не связаны между собой и функционирование одной не влияет на другую. 3. Определена вероятность отказа инженерных систем и затраты на восстановление с учетом проведения ремонта до 50 лет, т.е. на весь жизненный цикл строительного объекта.