В рамках решения задачи аппроксимации поверхностей свободной формы полиэдрами с группами конгруэнтных граней была предложена идея о возможности предварительного задания одной или нескольких групп конгруэнтных треугольников для любой триангуляции без ограничения гибкости последующей оптимизации. Это привело к созданию концепции αβ-триангуляции. Статья раскрывает теоретические аспекты αβ-триангуляции в двумерном евклидовом пространстве E2 , основанные на пересечении элементов теории множеств, теории графов и комбинаторной топологии. В статье представлено подробное исследование новой математической модели. Автором вводится точное определение понятия αβ-триангуляции, формулируются её основные свойства и устанавливаются важные операции, такие как разрезание и сшивание, позволяющие эффективно трансформировать структуру триангуляции. Подробно описывается алгоритм построения αβ-триангуляции из произвольной сильно связной триангуляции, что обеспечивает универсальный подход к формированию оптимальных структур для конкретных задач. Также приводится доказательство непротиворечивости и независимости введённой системы аксиом, что существенно укрепляет теоретические основания модели. Теоретическая разработка αβ-триангуляции открывает широкие перспективы для решения задач вычислительной геометрии, предлагая эффективный инструмент для представления и обработки сложных форм пространственных объектов. Тем не менее, перед применением данной модели на практике необходимы дополнительные эксперименты и анализ её эффективности по сравнению с существующими аналогами. Таким образом, дальнейшие исследования позволят определить роль и значение предложенной модели в контексте современных технологий и методов геометрического моделирования.
In the framework of solving the problem of approximating free-form surfaces by polyhedra with groups of congruent faces, an idea was proposed to predefine one or more groups of congruent triangles for any triangulation without limiting the flexibility of subsequent optimization. This led to the creation of the concept of αβ-triangulation. The article reveals theoretical aspects of αβ-triangulation in two-dimensional Euclidean space E2 , based on the intersection of elements from set theory, graph theory, and combinatorial topology. The paper presents a detailed study of this new mathematical model. The author introduces a precise definition of the notion of αβ-triangulation, formulates its main properties, and establishes important operations such as cutting and sewing that allow efficient transformation of the triangulation structure. A detailed description is given of the algorithm for constructing an αβ-triangulation from an arbitrary strongly connected triangulation, providing a universal approach to forming optimal structures for specific tasks. Furthermore, proof of consistency and independence of the introduced system of axioms is provided, which significantly strengthens the theoretical foundations of the model. Theoretical development of αβ-triangulation opens up broad prospects for solving problems in computational geometry, offering an effective tool for representing and processing complex forms of spatial objects. However, before practical application of this model, additional experiments and analysis of its efficiency compared to existing analogs are necessary. Thus, further research will determine the role and significance of the proposed model within modern technologies and methods of geometric modeling.