В данной работе предлагается новая геометрическая модель для построения кинематических линейчатых поверхностей, основанная на согласованных движениях в триадах, контактирующих аксоидов, состоящих из одного неподвижного (1) и двух подвижных (2, 3) аксоидов. Методическая основа предлагаемой геометрической модели состоит в том, что движение аксоида 2 относительно неподвижного аксоида 1 задает согласованное с этим движением обратное движение аксоида 3 относительно аксоида 2, причем взаимное расположение аксоидов триады в процессе всего движения сохраняется неизменным. В результате этих согласованных движений одна из прямолинейных образующих подвижного аксоида 3 генерирует в неподвижной системе координат, связанной с аксоидом 1, новую кинематическую линейчатую поверхность. Показано, что переход от известных моделей контактирующих пар линейчатых поверхностей, таких как «плоскость – цилиндр», «плоскость – конус», «цилиндр – цилиндр» или «конус – конус» к моделям согласованных движений в триадах контактирующих аксоидов открывает дополнительные возможности для построения новых кинематических линейчатых поверхностей. Для предложенной геометрической модели разработано соответствующее аналитическое описание и выполнена компьютерная графика генерируемых кинематических линейчатых поверхностей на основе следующих триад аксоидов: «плоскость – круговой цилиндр – круговой цилиндр», «плоскость – круговой конус – круговой конус», «круговой цилиндр – круговой цилиндр – круговой цилиндр», «круговой конус – круговой конус – круговой конус». Параметрическая зависимость генерируемых поверхностей от исходных линейчатых поверхностей триады контактирующих аксоидов обеспечивает широкое разнообразие результирующих линейчатых поверхностей, что с учетом графических возможностей разработанного ранее приложения ArtMathGraph позволяет использовать предложенную модель в качестве эффективного инструмента компьютерного моделирования технологически востребованных линейчатых поверхностей.
New geometrical model for constructing kinematical ruled surfaces on the base of interrelated movements in triads of contacting axoids, comprising of one fixed (1) axoid and two moving (2, 3) axoids, is proposed in this research. The methodical principles of this model is that the movement of axoid 2 along fixed axoid 1 defines such reconciled with it backward motion of axoid 3 along axoid 2, that the positional relationship of triad’s axoids is kept constant throughout the movement. As a result, the movement of one of rectilinear generators of moving axoid 3 generates a new kinematical ruled surface in the coordinate system, bound to fixed axoid 1. It’s been shown that the transition from well-known models of such contacting pairs of ruled surfaces as “plane – cylinder”, “plane – cone”, “cylinder – cylinder”, or “cone – cone” to models of interrelated movements in triads of contacting axoids opens up new opportunities for constructing various kinematical ruled surfaces. The corresponding analytical representation and computer visualization of generated kinematical ruled surfaces, based on triads of contacting axoids “plane – circular cylinder – circular cylinder”, “plane – circular cone – circular cone”, “circular cylinder – circular cylinder – circular cylinder”, and “circular cone – circular cone – circular cone”, has been developed. The parametric dependence of generated ruled surfaces on original ruled surfaces of the triad of contacting axoids offers a wide variety of resulting ruled surfaces. The proposed model with regard to graphic capabilities of the previously developed software application “ArtMathGraph” can be used as an instrument for computerized modeling technologically in-demand ruled surfaces.
Современные достижения геометрического моделирования аналитических поверхностей систематизированы в «Энциклопедии аналитических поверхностей» [12], включившей в себя, в частности, класс технологически востребованных линейчатых поверхностей [15; 16; 19]. Разработка новых геометрических моделей построения оригинальных аналитических поверхностей в сочетании с использованием современных технологий компьютерной графики [3; 7; 13] моделируемых поверхностей относится к одному из актуальных направлений аналитической геометрии линейчатых поверхностей [14; 17; 30], включая прикладные аспекты в строительстве и архитектуре [9; 10; 18].