Geometry & Graphics Geometry & Graphics Геометрия и графика 2308-4898 14083 10.12737/22839 Научные проблемы геометрии Scientific problems of geometry Научные проблемы геометрии Envelope of a Family of Curves Огибающая семейства линий Гирш А. Г. Girsh A. G.

доктор технических наук;

doctor of technical sciences;

 Кассельский университет Кассель Германия Кассельский университет Кассель Germany 19 12 2016 19 12 2016 4 4 14 18 https://zh-szf.ru/en/nauka/article/14083/view

Однопараметрическое семейство алгебраических кривых имеет огибающую линию, которая в определённых случаях может быть мнимой. Якоб Штейнер был прав, считая мнимые образы порождением анализа. В анализе действительное число всего лишь часть комплексного числа и в определённых условиях исходные действительные величины могут дать мнимый результат. Но Штейнер был не прав, отрицая в геометрии мнимые образы. Геометрия, в отличие от единого аналитического пространства, существует в нескольких пространствах: евклидова геометрия оперирует только действительными фигурами и не содержит мнимых фигур по определению; псевдоевклидова геометрия оперирует мнимыми образами и строит их изображения с учетом своих особенностей. Геометрическое пространство комплексное и каждый геометрический объект в нем – комплексный, состоит из действительной фигуры (ядра), имеющей «ауру» мнимого расширения. Таким образом, любая аналитическая фигура плоскости присутствует в каждой точке плоскости или своей действительной частью, или своим мнимым расширением. Будет ли мнимое расширение фигуры видимым или нет, зависит от способа визуализации, принято ли изображение на совмещенных эпюрах – евклидова-псевдоевклидова плоскости, или традиционно принято изображение только на евклидовой плоскости. В статье обсуждаются случаи, когда семейство алгебраических кривых линий имеет огибающую кривую, и дается ответ на вопрос, что означают случаи полного или частичного отсутствия огибающей кривой для однопараметрического семейства кривых. Ставится под сомнение распространённое категорическое заявление, что пучок концентрических окружностей не имеет огибающей линии.

A one-parameter family of algebraic curves has an envelope line, which may be imaginary in certain cases. Jakob Steiner was right, considering the imaginary images as creation of analysis. In the analysis a real number is just a part of a complex number and in certain conditions the initial real values can give an imaginary result. But Steiner was wrong in denying the imaginary images in geometry. The geometry, in contrast to the single analytical space exists in several spaces: Euclidean geometry operates only on real figures valid and does not contain imaginary figures by definition; pseudo-Euclidean geometry operates on imaginary images and constructs their images, taking into account its own features. Geometric space is complex and each geometric object in it is the complex one, consisting of the real figure (core) having the "aura" of an imaginary extension. Thus, any analytical figure of the plane is present at every point of the plane or by its real part or by its imaginary extension. Would the figure’s imaginary extension be visible or not depends on the visualization method, whether the image has been assumed on superimposed epures – the Euclideanpseudo-Euclidean plane, or the image has been traditionally assumed only in the Euclidean plane. In this paper are discussed cases when a family of algebraic curves has an envelope, and is given an answer to a question what means cases of complete or partial absence of the envelope for the one-parameter family of curves. Casts some doubt on widely known categorical st

 дискриминантная кривая огибающая линия однопараметрическое множество мнимая кривая discriminant curve envelope line one-parameter set imaginary curve

Понятие огибающей линии присутствует в инженерной терминологии и практике. Часто огибающая линия ассоциируется со следом движущейся кривой линии, но это не совсем корректно. Понятие огибающей линии связано с понятием однопараметрического семейства линий. «Однопараметрическое» предполагает, что некоторая линия не просто график, а имеет уравнение, содержащее величину с переменным значением. Кроме того, предполагается, что уравнение алгебраическое и рассматривается над полем комплексных чисел, т.е. допускается, что функция может принимать комплексные значения. А комплексные значения в анализе дают мнимый образ в геометрии. Мы затронули эту тему в той связи, что в конструкциях огибающих линий могут появляться мнимые составляющие кривых образующего семейства. Мнимые составляющие и отвечают на вопрос, почему семейство линий, которое, казалось бы, не должно иметь огибающей, ее имеет, и объясняют случаи, когда огибающая частью или полностью становится невидимой. Визуализация мнимых образов реализуется нами на совмещенных эпюрах, на которых совмещаются график реальной фигуры с графиком мнимого образа той же фигуры [2; 3; 9; 11; 12].

Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов [Текст] / И.Н. Бронштейн, К.А.Семендяев. - М.: Наука, 1986. - 544 с. Bronshteyn I.N. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashchikhsya vtuzov [Handbook of mathematics for engineers and students of technical colleges]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 544 p. Брус Д. Кривые и особенности. Геометрическое введение в теорию особенностей [Текст] / Д. Брус, П. Джиблин. - М.: Мир, 1988. - 262 с. Brus D., Dzhiblin P. Krivye i osobennosti. Geometricheskoe vvedenie v teoriyu osobennostey [A geometric introduction to the theory of features]. Moscow, Mir Publ., 1988. 262 p. Волков В.Я. Элементы математизации теоретических основ начертательной геометрии [Текст] / В. Я. Волков [и др.] // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 1. - C. 3-15. - DOI: 10.12737/10453. Volkov V.Ya. Elementy matematizatsii teoreticheskikh osnov nachertatel´noy geometrii [elements mathematization of the theoretical foundations of descriptive geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 1, pp. 3-15. DOI: 10.12737/10453 Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Наука, 1975. - 872 с. Vygodskiy M.Ya. Spravochnik po vysshey matematike [Handbook of higher mathematics]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 872 p. Гирш А.Г. Комплексная геометрия - евклидова и псевдоевклидова [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2013. - 216 с. Girsh A.G. Kompleksnaya geometriya - evklidova i psevdoevklidova [Complex geometry - Euclidean and pseudo-Euclidean]. Moscow, «IPTs «Maska»» Publ,, 2013. 216 p. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика, 2014. - Т. 2. - № 2. - С. 3-8. - DOI: 10. 12737/5583. Girsh A.G. Mnimosti v geometrii [Imaginaries in Geometry]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2014, V. 2, I. 2, pp. 3-8. DOI: 10. 12737/5583. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия геометрии [Текст] / А.Г. Гирш. - М.: Маска, 2008. - 213 с. Girsh A.G. Naglyadnaya mnimaya geometriya geometrii [Transparent imaginary geometry geometry]. Moscow, «IPTs «Maska»» Publ., 2008. 213 p. Залгаллер В.А. Теория огибающих [Текст] / В.А. Залгаллер. - М.: Наука, 1975. - 105 с. Zalgaller V.A. Teoriya ogibayushchikh [Theory of envelopes]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 105 p. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2015. - Т. 3. - № 2. - С. 3-8. - DOI: 10. 127/12163. Ivanov G.S. O zadachakh nachertatel´noy geometrii s mnimymi resheniyami [On the tasks of descriptive geometry with imaginary solutions]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, V. 3, I. 2, pp. 3-8. DOI: 10. 127/12163. Клейн Ф. Элементарная геометрия с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия: пер. с нем. / Ф. Клейн. - М.: Наука, 1987. -- 416 с. Kleyn F. Elementarnaya geometriya s tochki zreniya vysshey [Elementary geometry from the point of view of the highest]. Moscow, Nauka Publ., 1987, V. 2, 416 p. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. - 1970. - Т. 1. - № 1. - C. 22-23. - DOI: 10.12737/465. Savel´ev Yu.A. Grafika mnimykh chisel [Graphic imaginary numbers]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 1970, V. 1, I. 1, pp. 22-23. DOI: 10.12737/465 Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3/4. - C. 8-12. - DOI: 10.12737/2124. Seregin V.I. Mezhdistsiplinarnye svyazi nachertatel´noy geometrii i smezhnykh razdelov vysshey matematiki [Interdisciplinary communication descriptive geometry and adjacent sections of higher mathematics]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, V. 1, I. 3/4, pp. 8-12. DOI: 10.12737/2124 Hirsch M.W. Immersion of manifolds, Trans. Amr. Math. Soc. 93, № 2 (1959), 242-276. Khirsh M. (Hirsch M.W.), Immersion of manifolds, Trans. Amr. Math. Soc. 93, № 2 (1959), 242-276. Glaeser G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. Wien: Springer Spektrum, 2014. 508 S. Glaeser G. Geometrie und ihre Anwendungen in Kunst, Natur und Technik. Wien: Springer Spektrum, 2014. 508 S. URL: http://www.math.24.ru/огибающая-семейства-кривых.html Available at: http://www.math.24.ru/ogibayushchaya-semeystva-krivykh.html URL: http://www.anhirsch.de Антон Георгиевич Гирш (Dr. A. Hirsch) Available at: http://www.anhirsch.de Anton Georgievich Girsh (Dr. A. Hirsch).