кандидат технических наук;
candidate of technical sciences;
В статье предложен кинематический подход к конструированию поверхностей с эквиаффинным инвариантом объема отсека, ограниченного поверхностью, и площади сечений, параллельных плоскости параллелизма, на основе эквиаффинных преобразований плоскости. В частности, в статье рассмотрены параметрические уравнения каналовых поверхностей с плоскостью параллелизма xOy, сечения которых преобразованы путем эллиптического, параболического и гиперболического поворотов. В сечении z = 0 лежит кривая-прообраз, а в сечении z = h — кривая-образ после преобразования с заданными параметрами поворотов. Параметрические уравнения получены в общем виде с произвольностью выбора как кривой-прообраза для формирования каналовой поверхности, так и функций, задающих скорость изменения параметров поворотов. Рассмотрены некоторые общие свойства полученных поверхностей. Также рассмотрены некоторые частные случаи, определены для них траектории образующих линий. В случае линейного изменения параметра вдоль оси z поверхности эллиптического поворота представляют собой спиралеобразные и прямые винтообразные поверхности с постоянным и переменным шагом, однако траектория образующей огибает эллиптические конус и цилиндр. Во всех случаях образующие поверхностей эллиптического поворота являются пространственными кривыми. В случае линейного изменения всех параметров поверхности параболического поворота представляют собой линейчатую поверхность. Одним из частных случаев поверхностей параболического поворота является поверхность с двумя плоскостями параллелизма: xOy для эквиаффинно изменяющейся кривой-сечения и xOz для образующей. В случаях нелинейного изменения только одного из параметров образующие линии для поверхностей параболического и гиперболического поворотов представляют собой плоские кривые. Рассмотренные поверхности требуют дальнейшего изучения с целью возможности их использования в механизмах и сооружениях.
A kinematic approach to the construction of surfaces with equiaffine invariant for a volume of a compartment bounded by a surface, and a square of cross sections, parallel to a parallelism plane on the basis of the plane’s equiaffine transformations has been proposed in this paper. In particular, in the paper have been considered parametric equations of canal surfaces with a parallelism plane xOy, which sections have been transformed by elliptic, parabolic and hyperbolic rotations. A curve-prototype lies in the section z = 0, and a curve-image lies in the section z = h after transformation with rotations set parameters. The parametric equations have been obtained in a general form with randomness of the choice both a curve-prototype for canal surface construction, and functions defining a rate of rotation parameters change. Some general properties of the obtained surfaces have been considered, as well as some special cases of surfaces are considered, and trajectories of generating lines have been defined for them. In the case of parameter’s linear variation along the z-axis the elliptical rotation’s surfaces represent spiral and straight helical surfaces with constant and variable step however the generatrix trajectory envelops elliptical cone and cylinder. In all cases, the generatrices of the elliptical rotation’s surfaces are space curves. In the case of all parameters’ linear variation the parabolic rotation’s surfaces represent ruled surfaces. One particular case of parabolic rotation’s surfaces is the surface with two parallelism planes: xOy for equiaffine changing curve-section and xOz for generatrix. In the cases related to non-linear variation of only one parameter, generatrices for surfaces of parabolic and hyperbolic rotations are plane curves. Considered surfaces require further investigation with a view to their possible use in mechanisms and structures.
Новые технологии, новые материалы, новые подходы к конструированию в настоящее время позволяют осуществлять такие замыслы инженеров, которые раньше были невозможны. В связи с этим становятся актуальными вопросы компьютерного моделирования изделий (деталей, строительных конструкций), первым этапом которого является построение геометрической модели. При этом аналитические модели используемых в проекте поверхностей дают дополнительное преимущество при построениях и прочностных расчетах.