ВведениеВ школе изучают функции только одной переменной, заданные на числовой прямой R, поэтому применительно к этому под оптимизационными (или экстремальными) задачами понимают те, в которых задана некоторая функция  , которую называют целевой функцией, «ее значения характеризуют степень достижения цели, во имя которой поставлена или решается задача» [1, с. 6], и некоторое подмножество  (называемое множеством допустимых решений), «среди элементов которого осуществляется поиск». Требуется найти точку , в которой достигается наибольшее или наименьшее значения, или установить, что таких точек нет. Если при этом  , то ищется безусловный экстремум, а если и задается с помощью равенств и (или) неравенств, то ищется условный экстремум. Сокращенно это записывается так: В школьном курсе Х может быть прямой, лучом, отрезком, полуоткрытым отрезком или открытым отрезком.Оптимизационные задачи в школьных учебниках алгебры и анализа 10-11 классовУчебник под редакцией А. Н. КолмогороваДанный учебник  [3]  написан не только под руководством великого математика, но и человека, который увлеченно преподавал долгое время в школе. Оптимизационные задачи разбираются в разделе, специально для этого написанного: «Наибольшее и наименьшее значение функции».  После необходимых определений дается очень полезная для общего развития теорема Вейерштрасса, с помощью которой обосновывается следующее правило поиска экстремальных значений:Этот алгоритм шаг за шагом реализуется на примере решения двух задач. Цель, с которой в учебнике рассматривается эта тема, сформулирована так [3, с. 156]: Для решения оптимизационных задач в учебнике приводится очень полезная схема (алгоритм):Затем идет серия хорошо подобранных задач из алгебры, геометрии, физики. Вопросы оптимизации со всех сторон обсуждаются в хорошем историческом обзоре. Даже после такого подробного изучения оптимизационных задач о них речь идет и при изучении последующих тем. Например, в теме «Интеграл» рассматриваются задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значений определенных интегралов.Учебник Мордковича А. Г.Тема оптимизации начинается в учебнике [4] в специально написанном разделе «Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин» на с. 192. Теорема Вейерштрасса, как и в учебнике [3], тоже формулируется, но почему-то без указания фамилии Вейерштрасса. В отличие от учебника [3], при формулировке алгоритма нахождения экстремальных значений различают понятия стационарной и критической точек, которые в [3] относятся к критическим. Далее на нескольких примерах показывается, как решать задачи, применяя этот алгоритм по шагам. Специально рассматривается тема оптимизации на незамкнутых отрезках для случая единственной стационарной или критической точки с разбором задач. Так же, как и в книге [3], рассматривается цель, с которой изучаются задачи оптимизации: а именно, моделирование практических задач, но более подробно, с формулировкой алгоритма составления и изучения модели с пошаговым разбором нескольких примеров. При изучении последующих тем время от времени решаются и задачи на оптимизацию. Очень полезна тема функционально-графического метода решения уравнений с применением методов оптимизации (с. 358):В целом, учебник [4] производит впечатление очень подробного и многословного пересказа учебника [3], что, возможно, полезно тем учителям, которым кратко и изящно написанный текст [3] требуется дополнительно разъяснить.Учебник Алимова Ш. А. и др. В книге [5] производная рассматривается только после предварительного введения и изучения элементарных функций, тема оптимизации рассматривается в главе IX, §52 «Наибольшее и наименьшее значения функции».Теорема Вейерштрасса вообще не формулируется, а сразу дается «рецепт» нахождения наибольшего и наименьшего значений функции без всякого обоснования:Для нахождения наибольшего  или наименьшего значения функции на отрезке [a; b] нужно:1) найти значения функции на концах отрезка, т.е. числа f(a) и f(b);2) найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a; b);3) из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.Затем пошагово разбираются 4 задачи для двух функций, из теории чисел и из геометрии. Мотивировок, формулировки цели нет. Далее в теме «Интеграл» оптимизационные задачи не появляются вовсе. В этом смысле книга существенно уступает книгам [3] и [4].Более сложные задачи оптимизации имеются в конце учебника для внеклассного решения.Оптимизационные задачи в школьных учебниках геометрии 9-х, 10-х и 11-х классовУчебник под редакцией Атанасяна Л. С.В книге [6] оптимизационные задачи как таковые не вводятся.В главе 4 среди задач на построение приведена классическая задача, которую должен знать любой школьник:Эта задача еще раз дублируется под номером 1175.Среди дополнительных задач к теме «Окружность» приведена задача:К этой задаче имеется указание: Сначала доказать, что наименьшей будет хорда перпендикулярная к диаметру, проходящему через данную точку. В конце учебника среди задач повышенной сложности имеется такая:Задача относится к темам: «развертка куба» и «кратчайшая линия на плоскости».На наибольшее значение никаких стоящих задач вообще нет, если не считать «псевдозадачу» 1091…Таким образом, в курсе 9-го класса в указанном учебнике вообще не обсуждаются оптимизационные задачи, вышеуказанные задачи приведены без всякой мотивации.В учебнике геометрии [7] для 10–11 классов тема оптимизации вообще никак не отражена. Учебник Киселева А.П.Как мы видели, в учебнике геометрии под ред. Атанасяна задача оптимизации как таковая вообще не ставится, то же самое можно утверждать и о старых учебниках геометрии, популярных в прошлом. Есть просто некоторый набор задач на эту тему. В учебнике А.П. Киселева [10] практически все оптимизационные задачи появляются как задачи на построение.стр. 53  стр. 73  стр. 78 стр. 98 стр. 2401. [9, задача 5.11(3)]. Сумма n положительных чисел равна a. Докажите, что произведение этих чисел максимально, если каждое из них равно a/n.Доказательство.Известно неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для неотрицательных чисел:По условию a при достижении равенства правая часть, то есть произведение чисел, достигает максимума.2. [9, задача 5.11(18)].  Дождевая капля, начальная масса которой равна m граммов, а начальная скорость равна нулю, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так, что масса уменьшается пропорционально времени (коэффициент пропорциональности равен k г/с). Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?           РешениеВ момент времени t масса капли равна m – kt, скорость равна vt, тогда кинетическая энергия равнаСтавим  задачуПриравняв производную от K нулю, получаемПроизводная меняет знак при переходе через эту точку с + на -, здесь точка максимума. Так как на луче (0; +∞) она единственная, то в этой точке достигается не только максимум, но и наибольшее значение, которая равна  дина.3. [9, задача 5.11(19)].  Из пункта А, находящегося в лесу в 5 км от прямолинейной дороги, пешеходу нужно попасть в пункт В, расположенный на этой дороге в 13 км от пункта А. По дороге пешеход может двигаться с максимальной скоростью 5 км/ч, а по лесу – с максимальной скоростью 3 км/ч. За какое наименьшее время пешеход сможет добраться из пункта А в пункт В?                   РешениеПо теореме Пифагора OB = 12.Надо решить задачу на условную оптимизацию В координатах она имеет вид Приравняем производную нулю: Производная меняет знак при переходе через эту точку с – на +, здесь точка минимума. Так как на интервале (0; 12) она единственная, то в этой точке достигается не только минимум, но и наименьшее значение. Подсчитаем затраченное время: 4. [ЕГЭ 2006]. Пусть цена товара равна р рублей, а количество n проданного товара зависит от цены и выражается равенством n = 100 – p. При какой цене будет максимальной выручка?РешениеВыручка будет равна y = (100 – p)p, то есть Зависимость квадратичная, при старшей степени коэффициент отрицательный, поэтому максимум достигается в вершине параболы. Ее абсцисса равна При такой цене товара будет продано n = 100 – 50 = 50 единиц, а выручка составит y = 50·50 = 2500 руб.5. [4, с. 359].6. [3, стр. 339] РешениеВ момент времени t автомобиль будет в точке Q(200 – 80t, 0), а поезд – в точке Квадрат расстояния равен Получилась квадратичная зависимость, достигающая наименьшего значения в вершине с абсциссой Подставляя в квадрат расстояния и извлекая корень, получаем примерно 76.25 км.7. [11]8. [11]9. [11]10. [11]