доктор технических наук;
doctor of technical sciences;
Геометрическое соответствие между точками двух плоскостей может считаться вполне определенным лишь тогда, когда имеются исходные данные, его устанавливающие, и указан способ построения, с помощью которого на основании этих данных можно для каждой точки одной плоскости находить соответственные точки другой. Квадратичное кремоново преобразование можно задать, указав на совмещенной плоскости семь пар соответственных точек. Естественным образом возникает необходимость установить способ построения любого количества соответственных точек. Выдающийся российский геометр К.А. Андреев указал линейное построение, основанное на рассмотрении двух корреляций, с помощью которого для каждой восьмой точки одной плоскости находится соответствующая точка другой. Но в его работе не ставилась задача построения исключенных (фундаментальных) точек квадратичного кремонова преобразования, заданного семью парами точек. Известно множество конструктивных способов получения квадратичного преобразования на плоскости. Например, оно может быть получено с помощью двух пар проективных пучков прямых с вершинами в фундаментальных точках (F-точках). К.А. Андреев отмечал, что такой способ установления квадратичного соответствия распространяется только на те случаи, когда все F-точки суть действительные. Это утверждение, справедливое для уровня геометрической науки XIX в., на сегодняшний день слишком категорично. Теория мнимых элементов в геометрии позволяет разработать универсальный алгоритм построения соответственных точек в квадратичном преобразовании, заданном как действительными, так и мнимыми F-точками. Обобщая задачу К.А. Андреева, приходим к проблеме поиска фундаментальных точек (F-точек) квадратичного преобразования, заданного семью парами соответственных точек. Почти полтора столетия обобщенная задача К.А. Андреева оставалась нерешенной. Формирование конструктивного алгоритма решения задачи и его практическая реализация стали возможны с помощью современных средств компьютерного геометрического моделирования. Согласно предлагаемому алгоритму построение F-точек сводится к построению вспомогательных кривых второго порядка, на пересечении которых отмечаются искомые F-точки. Полученный в статье результат служит развитию теории кремоновых преобразований и дальнейшему применению этой теории в практике геометрического моделирования.
The geometric correspondence between the points of two planes can be considered well defined only when base data for its establishing is available, and a construction method by which its possible on the basis of these data for each point in one plane to find the corresponding points in the other one. Quadratic Cremona transformation can be specified by pointing out in the combined plane seven pairs of corresponding points. Naturally there is a need to establish a method for constructing any number of corresponding points. An outstanding Russian geometer K.A. Andreev indicated the linear construction based on the consideration of two correlations by which for each eighth point in the one plane is found the corresponding point of the other one. But in his work was not set up a problem to construct excluded (fundamental) points of quadratic Cremona transformation specified by seven pairs of points. There are many constructive ways to obtain the quadratic transformation in the plane. For example, it can be obtained by using two pairs of projective pencils of straight lines with vertices at the fundamental points (F-points). K.A. Andreev noted that this method for establishing of quadratic correspondence spread only to those cases when all F-points are the real ones. This statement is true for the 19th century’s level of geometric science, but today it’s too categorical. The theory of imaginary elements in geometry allows to develop a universal algorithm for construction of corresponding points in a quadratic transformation, given both by real and imaginary F-points. Summarizing the K.A. Andreev task, we come to the problem of finding the fundamental points (F-points) for a quadratic transformation specified by seven pairs of corresponding points. Almost one and half century the K.A. Andreev generalized task remained unsolved. The formation of this task’s constructive solution algorithm and its practical implementation has become possible by means of modern computer geometric modeling. According to proposed algorithm, the construction of F-points is reduced to the construction of second order auxiliary curves, on which intersection are marked the required F-points. The result received in this paper is used for development of the Cremona transformations’ theory, and for further application of this theory in the practice of geometric modeling.