доктор технических наук;
doctor of technical sciences;
доктор технических наук;
doctor of technical sciences;
доктор технических наук;
doctor of technical sciences;
В работе приводится исследование особенности отображения ортогональным проецированием гиперповерхности, заданной параметрическими уравнениями, в 4-мерном пространстве. На основе этого исследования предложены с единых позиций три подхода к определению дискриминанты гиперповерхности. Так, определены условия, которым удовлетворяют дискриминантное множество и криминанта исследуемой гиперповерхности. Получены зависимости, устанавливающие связь параметров гиперповерхности в точках ее дискриминанты. Они используются для определения особенности отображения гиперповерхности аналитическими методами в общем виде. Сложность такого подхода (первого) заключается в том, что уравнение, связывающее параметры гиперповерхности, содержит ее дифференциальные характеристики и часто в приложениях является трансцендентным, что вызывает определенные затруднения при его решении. Получены зависимости, при выполнении которых дискриминанта гиперповерхности имеет ребро возврата. Проведено исследование сечений гиперповерхности гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям. Последние содержат координатную ось, вдоль которой выполняется отображение гиперповерхности. Установлено, что кривые, получаемые в этих сечениях, имеют экстремальные точки, принадлежащие дискриминанте гиперповерхности. Такое свойство используется для расчета точек дискриминанты гиперповерхности численными методами без использования дифференциальных характеристик гиперповерхности и является базой второго подхода к решению поставленной задачи. Показано также применение 3D-моделирования для исследования различных сечений гиперповерхности, а также ее дискриминанты, что представляет третий подход к исследованию. Все три подхода, имеющих общую основу, могут использоваться как самостоятельно, так и дополнять друг друга при определении огибающей однопараметрического семейства поверхностей. В качестве примера рассмотрена гиперповерхность, образованная семейством сфер. На основе изложенных результатов получены уравнения, определяющие дискриминанту гиперповерхности и соответствующую огибающую этого семейства, а также различные сечения. Приведенные уравнения использованы для создания полигональных 3D-моделей дискриминанты гиперповерхности и некоторых ее сечений.
Investigation of singularity related to a mapping by the orthogonal projection in a four-dimensional space of a hypersurface given by parametric equations is presented in this paper. On this investigation’s basis have been proposed in a united way three approaches to the hypersurface’s discriminant determination. Thus, have been defined conditions which the investigated hypersurface’s discriminant set and criminant are satisfied. Have been obtained dependencies settling the relationship between parameters of the hypersurface at its discriminant points. They are used to determine the singularity of the hypersurface mapping by analytical methods in general form. The complexity of this approach (the first one) is that an equation connecting the hypersurface’s parameters contains its differential characteristics, and often is the transcendental one in applications, that causes certain difficulties when solving it. Have been obtained dependences in carrying out of which the hypersurface’s discriminant has an edge of regression. A study of hypersurface sections by hyperplanes which are parallel to coordinate hyperplanes has been performed. The last ones contain a coordinate axis along which the hypersurface mapping is performed. It has been established that curves obtained in these sections have extreme points belonging to the hypersurface’s discriminant. Such property is used to calculate the points of the hypersurface’s discriminant by numerical methods without using the hypersurface’s differential characteristics, and it is a basis for the second approach to solving the problem posed. It has been also demonstrated the use of 3D modeling for study of hypersurface’s different sections, as well as its discriminant that represents the third approach to the study. All three approaches having a common basis can be used both independently and complement each other in determining the envelope for one-parameter family of surfaces. As an example has been considered a hypersurface formed by a family of spheres. Based on stated results have been obtained equations determining the hypersurface’s discriminant and this family’s corresponding envelope, as well as various sections. These equations have been used for creating of polygonal 3D models of the hypersurface’s discriminant, and some of the hypersurface’s sections.
1. ВведениеПонятие огибающей семейства линий или поверхностей широко используется в различных приложениях. В теории зацеплений огибающие используется для определения сопряженных поверхностей в зубчатых зацеплениях.