Введение. Несмотря на разнообразие представленных в литературе методик для расчета гибких нитей они обычно не связаны между собой и используются для решения частных задач. Например, в работе [1] гибкая нить при расчете на сосредоточенные силы моделируется шарнирной цепью, состоящей из элементов с различными геометрическими параметрами, а в работе [2] для решения дифференциального уравнения равновесия непологой нерастяжимой нити используется обобщенный метод конечных разностей. В работах [3], [4] и [5] для расчета гибкой непологой нити применяется метод конечного элемента.Как известно, любая гибкая нить в той или иной мере обладает изгибной жесткостью. Например, при расчете трубопроводных переходов в виде провисающих нитей, в которых сами трубы являются несущими элементами, в качестве расчетной модели нужно рассматривать нить конечной жесткости, то есть учитывать деформацию изгиба. Некоторые вопросы статического расчета пологих нитей с учетом изгибной жесткости уже решены и достаточно подробно изложены, например, в работе [6], [7] и [8], чего нельзя сказать о нитях с большой стрелой провеса.В статье представлен алгоритм расчета конструктивного элемента в виде провисающей нити на действие вертикальных и горизонтальных сосредоточенных и распределенных сил. В качестве расчетной схемы такого элемента может рассматриваться упругая непологая нить при расчете которой учитывается изгибная жесткость. Также, как и в работах [4] и [5], для решения поставленной задачи была использована вариационная версия метода конечного элемента [9], детально разработанная в [10]. Помимо вариационной версии метода конечного элемента, алгоритмом расчета предусматривается использование метода последовательных нагружений, что позволяет учитывать, только линейные составляющие в выражениях для продольной деформаций и кривизны.Методология. Расчёт упругой нити с учетом изгибной жесткости можно разделить на два этапа. Обычно, на первом этапе проводится расчёт на действие собственного веса, а последующие этапы предусматривают расчет на усилия, вызванные дополнительной нагрузкой. Как известно нити делятся на работающие с изгибом и без изгиба от действия собственного веса. Примером первых являются сборно-монолитные железобетонные цилиндрические оболочки, а газо-и нефтепроводные переходы можно рассматривать как нити, работающие с изгибом, вызванным действием собственного веса. Для абсолютно гибкой нити решение этой задачи представлено в работе [11], а для нити работа, которой предусматривает учет изгибной жесткости в [12].На втором этапе нить рассчитывается на действие дополнительной вертикальной и горизонтальной распределенной нагрузки, а также вертикальных и горизонтальных сосредоточенных сил. Сохранение в выражениях для осевой деформации и кривизны только линейных составляющих на каждом шаге нагружения в конечном итоге приводит к линейной матрице жесткости, которая затем пересчитывается в соответствии с геометрическими и физическими характеристиками, соответствующими ее новому очертанию.На рис. 1 представлено начальное положение нити  и два последовательных очертания  и . Для каждого очертания имеются криволинейные координаты  связанные с глобальной системой координат  посредством  – направляющих косинусов для дуги  по отношению к координатным направлениям .  Рис. 1. Расчетные этапы положения нити  Основная часть. В соответствии с [10] основные вариационные уравнения при переходе от состояния  к состоянию  можно представить в виде:.                             (1)    Здесь                             (2)                                              (3) Здесь  и  - продольные усилия, а  и  – изгибающие моменты для очертаний  и , соответственно,  – возможные перемещения относительно осей ,  – компоненты приращения распределённой нагрузки, а  – приращение сосредоточенных сил при переходе от очертания  к очертанию .Изменение физических и геометрических величин при переходе от очертания  к  и сохранении, только линейных составляющих можно представить в следующем виде:, ,      (4), , (5а)  , (5б). (6)Здесь - продольная деформация,  – изменение кривизны,  – модуль упругости,  – площадь поперечного сечения,  – момент инерции  - действительные перемещения при переходе от очертания  к .Подставив (5) и (6) в (2), опустив индекс « » и при этом сохраняя величины до второго порядка малости включительно, представим полученное выражение в тензорной ферме: ,              (7)Здесь;   ,                                 (8); ;,, , , ,;   .                                                      (9) Для построения решения вариационного уравнения нить разбивается на N криволинейных элементов длиной , каждый из которых ограничивается узловыми точками  и . Номер элемента определяется номером правого узла.В представленном ниже решении действительные и возможные перемещения, а также их первые производные непрерывны во всех узловых точках, а остальные величины непрерывны в пределах каждого элемента, но могут иметь скачки на его границах. Сосредоточенные силы располагаются только в узловых точках граничащих элементов.В рассматриваемой задаче перемещения в пределах элемента аппроксимируются кубической параболой, и выражаются через значения перемещений и их первых производных на границах элемента. Вектор обобщенных перемещений для элемента имеет следующий вид:   .                                   (10) Необходимые для дальнейших расчетов значения функции и ее производных в середине элемента, а также значения вторых производных на его границах определяются следующими выражениями: ,; (11a), ,.                             (11б) Проинтегрировав с помощью метода Симпсона выражение (7) в пределах элемента с учетом (11а) и (11б), представим его в следующем виде:                                                              (12)Здесь  – вектор возможных перемещений для элемента e,  - вектор действительных перемещений для элемента, имеющий такую же структуру.  – симметричная относительно главной диагонали матрица жёсткости для элемента порядка 8х8, состоящая из суммы следующих матриц:.                                                   (11)Структура матрицы  имеет следующий вид:,                                                        (14)где и .                                             (15) Элементы этих матриц определяются следующими зависимостями: ; ; ; ;; ; .                    (16) Верхние индексы  и  указывают на значение этой функции в узле слева и справа, а  ˗ ордината функции в середине элемента.Матрица  имеет аналогичную структуру, а ее элементы можно определить по формулам (16) с заменой  на . Для построения  можно воспользоваться (14) и (15) с соответствующей заменой  на . Формулы для определения элементов этой матрицы имеют вид: ; ; ;; ; ;; ;.                                             (17) Матрица  также симметрична относительно главной диагонали, но по структуре отличается от предыдущих матриц и имеет следующий вид: ,                                                         (18)где; .                                     (19); ; ;; ; ;; ; ;; ; .                 (20) Следует отметить, что , , , и  определяются выражениями, представленными в формулах (8) и(9).; .    (21)Работу внешней распределенной нагрузки для элемента получим путем интегрирования первого слагаемого (3) с помощью метода Симпсона с учетом (11а) и заменой  на . Тогда, где , (22)  , .                                (23) Суммирование по элементам выражений (12) и (22), а также учет произвольности виртуальных перемещений  дает возможность свести уравнения (1) к следующей системе линейных уравнений для определения узловых перемещений.                 (24)При не смещающихся опорах . При жестком защемлении . Тогда из (5б) следует, что , где . В этом случае  - квадратная симметричная относительно главной диагонали матрица жесткости порядка , имеющая ленточную структуру,  - вектор перемещений,  - обобщенный вектор приращения распределенной нагрузки,  - вектор приращения узловых сосредоточенных сил.Из решения системы (24) определяются элементы вектора . Все физические и геометрические характеристики нити, необходимые для дальнейшего расчета определяются по формулам (4), (5) и (6).Величина приращения нагрузки на каждом этапе нагружения определяется в зависимости от требуемой точности расчета.Выводы. В статье представлен алгоритм расчёта упругих непологих нитей с учетом изгибной жесткости на действие вертикальных и горизонтальных сосредоточенных сил и распределённой нагрузки. Примерами систем, использующие такие конструктивные элементы, могут служить газо- и нефтепроводные переходы в виде провисающей нити, элементы канатных дорог, покрытия промышленных и гражданских зданий и сооружений и другие объекты. Следует отметить, что учёт горизонтальных составляющих внешней нагрузки для таких систем имеет важное значение. Использование вариационного метода и линеаризация выражений для деформаций дает возможность на каждом этапе нагружения свести нелинейную задачу к решению системы линейных уравнений относительно вертикальных и горизонтальных обобщенных перемещений в узловых точках. Здесь, в отличии от работы [2], не приходится решать нелинейную задачу по определению натяжения нити. Представленную работу, по нашему мнению, можно рассматривать как определенное развитие вариационной версии метода конечного элемента применительно для расчета упругих непологих нитей с учетом изгибной жесткости.