Введение. Для момента трещинообразования изгибаемых железобетонных элементов в отечественной научно-технической и нормативной литературе известна формула:  ,                        (1) где  – нормативная прочность бетона при растяжении;  – упругопластический момент сопротивления сечения, равный  ,                               (2) где  – упругий момент сопротивления приведённого сечения; γ – коэффициент пластичности.Впервые она была предложена в работе [1] и после вошла в российские Нормы по проектированию железобетонных конструкций. Однако значение коэффициента γ для прямоугольных сечений в СНиП 2.03.01-84* было принято равным 1,75, а в актуализированном СП 63.13330.2012 – равно 1,3. Разница в значениях составляет почти 35 %. В связи с этим возникает вопрос: по какой методике считать? какая из них даёт более близкие к эксперименту результаты?При этом стоит заметить, что в евпропейских нормах, как описано в [2], такого понятия как «расчёт на образование трещин» нет, а для фигуруриюущего в расчётах деформаций момента появления трещин не приведено никакого математического выражения. В руководстве к Еврокоду 2 [3] этот момент предлагается определять приближенно, как для упругого тела, причём рассматривая только бетонное сечение и исключая арматуру (в таком случае коэффициент γ=1,0). Такой же подход принят и в американской научно-технической и нормативной литературе [4].Методология. К ответу на поставленный выше вопрос подойдём двояко:1 – теоретически: произведём аналитический разбор формул (1) и (2) с использованием общих принципов сопротивления материалов и механики железобетона;2 – практически: выполним сравнение результатов расчёта по двум методикам с известными в научной литературе опытными данными для .Основная часть. Расчёт упругого момента сопротивления приведённого сечения –  – одинаков в обеих методиках и основывается на известных выражениях сопротивления однонаправленных композитов. При выводе формулы упругопластического момента сопротивления сечения –  – могут быть нюансы, поскольку напрямую этот параметр в методиках не вычисляется. Поэтому для получения расчётного выражения  за основу примем допущения методики СНиП 2.03.01-84* и рассмотрим рис. 1, на котором показаны схема усилий, напряжений и деформаций для бетонного и железобетонного сечений, находящихся в стадии Iа НДС. Вначале выполним анализ для неармированного сечения. Для этого запишем два уравнения равновесия (принимая ), одно совместности деформаций и два физических соотношения соответственно:                    (3)                           (4)                                 (5)                             (6)                     (7)   Рис. 1. Схемы усилий, напряжений и деформаций бетонного сечения (а) и железобетонного (б); диаграмма деформирования бетона в растянутой зоне (в): 1 – эпюра нормальных напряжений в растянутой зоне бетона по СНиП 2.03.01-84*; 2 – то же по СП 63.13330.2012  При этом выражение (5) получается из подобия соответствующих геометрическихфигур – треугольников – на эпюре деформаций. Необходимо также записать дополнительное физическое соотношения для растянутого бетона в конце стадии I:                          (8) Переходя от усилий к напряжениям в формуле (3), получим:               (9) Для дальнейших рассуждений примем следующее выражение, характеризующее диаграмму деформирования рис. 1, в:  ,                        (10) где k – некий коэффициент, который, как показывает анализ расчётных предпосылок СНиП 2.03.01-84*, может быть принят равным 2. Его введение позволяет в дальнейших расчётах использовать только нормируемый модуль  и исключить секущий .Из условия (5) вытекает , а из (8): . В рассматриваемой методике присутствует ещё одно допущение: . Поставляя полученные выражения в (6), будем иметь:                               (11) Подставляя (11) в (9), придём к следующему выражению: . Сокращая и приводя подобные, получим:     (12) где  – упругий момент сопротивления бетонного сечения, а выражение в скобках – есть коэффициент пластических деформаций:                         (13)В случае k=2:  и , что соответствует ранее полученной Гвоздевым А.А. формуле.Стоит отметить, что значение  в формуле (13) (т.е. если не учитывать пластические деформации) достигается при k=0,5, что некорректно с точки зрения физического смысла этого коэффициента, поскольку в этом случае предельные деформации  должны совпадать с упругими , т.е. должно быть k=1. Однако, к такому результату привели изначальные предпосылки методики, упрощающие расчёт.Сравнительный анализ методик двух Нормативов показывает, что их расчётные предпосылки несколько отличаются. Так, в отличии от «старого» СНиПа в актуализированном СП:1 – эпюра напряжений в растянутой зоне не прямоугольная, а трапециевидная;2 – коэффициент  (в СП 63.13330.2012 для двухлинейной диаграммы используется обозначение  вместо );3 – модуль деформации бетона при растяжении не равен модулю при сжатии –  (  в зависимости от класса бетона).Уточнение первой предпосылки повлияет на выражение (9), которое примет вид:    .  Упрощая и подставляя , получим:         (14)По аналогии с предыдущим использовать далее формулу (11), подставляя её в (14), не позволяет предпосылка . Поэтому формула (11) должна быть изменена следующим образом:  ,            (15) где  – коэффициент, зависящий от класса бетона (для бетонов обычных классов ; например, для В3,5, В20 и В60 соответственно , , ).Подставляя (15) в (14), будем иметь:                            (16)  В этом случае коэффициент пластических деформаций равен:                     (17)Таким образом, при k=1,875 и  получим , что не соответствует принятому в актуализированном СП . Видимо, значение этого коэффициента взято по каким-то иным соображениям, т.е. вопреки теоретическим предпосылкам, заложенным в методику. Отметим, что если принять , то по формуле (17) . А если при этом взять k=2, то , что хорошо согласуется с результатами формулы (13) – разница всего 3,7%.Также стоит отметить, что значение γ=1,0 в формуле (17) (т.е. если не учитывать пластические деформации) достигается при k=0,732…0,934, что, как и в предыдущем случае для формулы (13) некорректно с точки зрения физического смысла этого коэффициента. Однако, если принять , т.е. , то получим k=1. Тогда методика становится логически непротиворечивой.Рассуждая совершенно аналогично для армированного элемента (рис. 1, б) придём к следующей формуле для приведённого момента трещинообразования:                            (18)  где выражение во внешних скобках – есть упруго-пластический момент сопротивления приведённого сечения – . Известное выражение для упругого момента сопротивления приведённого сечения:                                (19)  позволяет вычислить коэффициент пластических деформаций:                                           (20)Если подставить выражения для  и  в (20), то получится довольно громоздкая формула, которую приводить не будем, но результаты расчёта по ней представим в табличной форме ниже (табл. 1, значения вне скобок). При этом рассмотрены изгибаемые железобетонные элементы только с одиночным армированием в растянутой зоне – стержнями из арматуры, имеющей модуль деформаций равный 200000 МПа. Таблица 1Результаты расчёта коэффициента γ Коэффициент армирования μ×100 %Класс бетона В, МПаВ15В20В25В30В35В40В45В50В55В600,11,760(1,617)1,759(1,607)1,758(1,599)1,757(1,590)1,757(1,581)1,757(1,575)1,756(1,569)1,756(1,561)1,756(1,555)1,756(1,549)0,51,793(1,738)1,788(1,710)1,785(1,691)1,783(1,672)1,781(1,657)1,780(1,646)1,779(1,636)1,778(1,624)1,778(1,615)1,777(1,606)11,825(1,857)1,818(1,814)1,813(1,786)1,809(1,759)1,806(1,736)1,804(1,721)1,803(1,708)1,802(1,691)1,801(1,679)1,800(1,668)31,900(2,133)1,890(2,072)1,884(2,029)1,878(1,987)1,874(1,951)1,871(1,927)1,869(1,905)1,867(1,879)1,865(1,859)1,864(1,842)51,936(2,258)1,927(2,201)1,921(2,157)1,915(2,112)1,911(2,073)1,908(2,045)1,906(2,020)1,904(1,990)1,902(1,967)1,901(1,947)101,971(2,353)1,965(2,324)1,962(2,291)1,958(2,253)1,955(2,215)1,952(2,189)1,951(2,163)1,949(2,130)1,948(2,105)1,947(2,082) Кроме того, в табл. 1 в скобках приведены значения γ, вычисленные по диаграммной методике [5, 6].По полученным данным можно сделать следующие выводы:– для рассмотренных железобетонных элементов коэффициент пластических деформаций получился больше, чем для бетонных – до 12,6 %( );– такой не учёт влияния арматуры на пластические деформации растянутого бетона в Нормах занижает значение момента трещинообразования и, как следствие, в некоторых случаях должен приводить к заметному перерасходу материалов;– с увеличением класса бетона по прочности коэффициент γ уменьшается, но незначительно, оставаясь практически постоянным, поэтому за расчётное значение этого коэффициента можно принять величину, соответствующую максимальному нормируемому классу бетона (для рассмотренных элементов – В60);– с увеличением процента армирования от0,1 % до 10 % коэффициент γ увеличиваетсядо 12,0 %;– диаграммная методика [5, 6] отличается по γ от предложенных формул (19,20) на+19,4...-12,3 %, что зависит от класса бетона и коэффициента армирования;– несмотря на заметное различие в значениях γ в обоих подходах неизменно сохраняется общая для них тенденция: с увеличением класса бетона γ несколько понижается, а с увеличением процента армирования – γ растёт, причём существенно.На основе полученных теоретических результатов и с учётом выполненного сравнения с экспериментами для уточнения значения коэффициента γ предлагается следующая зависимость:        (21) При этом  только при .Перейдём к практической части работы: сравнению полученных теоретических результатов с экспериментальными данными. Сравнение представлено в таблице 2.    Таблица 2Сравнение теоретических и экспериментальных данных Mcrc, кН·м ИсточникШифр балки и сечениеБетонАрматураСхема армирования , кН·м , кН·м  по ф. (21)Пирадов К.А. [7]1БН-9в100×75ммВ25, Rbt,ser=2,12 МПа, Eb=26500 МПаА-III (А400), Es=200000 МПа1Ø8, аs=25 мм, 0,27( )0,3660,4920,484( )2БН-3в100×75мм2Ø8, аs=25 мм, 0,27( )0,3860,5200,501( )3БН-5в100×75мм2Ø10, аs=25 мм, 0,54( )0,4080,5490,523( )Ватагин С.С. [8]БО-I-3а200×102ммВ45, Rbt,ser=2,50 МПа, Eb=34200 МПаА-III (А400), Es=208000 МПа2Ø25, аs=38 мм, 2,162( )3,2424,3644,103( )БО-I-3б201×100мм2Ø25, аs=34 мм, 3,192( )3,3554,5174,103( )БС-I-5а202×103ммА-III (А400), Es=201000 МПа2Ø12+2Ø12,аs=18 мм, а's=30 мм, 3,026( )2,8053,7763,659( )БС-I-5б201×125мм2Ø12+2Ø12,аs=22 мм, а's=24 мм, 3,585( )3,2554,3824,271( )БО-II-2а201×101ммВ55, Rbt,ser=2,51 МПа, Eb=37500 МПаА-III (А400), Es=203000 МПа4Ø14, аs=47 мм, 2,203( )2,6873,6173,426( )БО-II-2б201×101мм4Ø14, аs=42 мм, 2,407( )2,7643,7213,524( )БО-II-4а202×100ммА-III (А400), Es=203000 МПа1Ø28, аs=32 мм, 2,367( )2,9443,9633,753( )БО-II-4б201×99мм1Ø28, аs=40 мм, 2,040( )2,7573,7053,508( )БО-II-5а200×102ммА-III (А400), Es=201000 МПа6Ø12, аs=37 мм, 2,530( )2,8953,8973,685( )БО-II-5б202×104мм6Ø12, аs=43 мм, 2,079( )2,8903,8903,680( )БО-III-1а205×105ммВ90, Rbt,ser=2,78 МПа, Eb=40700 МПаА-III (А400), Es=201000 МПа1Ø12, аs=29 мм, 2,383( )2,8133,7863,760( )БО-III-1б200×100мм1Ø12, аs=24 мм, 2,360( )2,5763,4683,434( )Тошин Д.С. [9]Б-1204×120ммВ22,5, Rbt,ser=1,5 МПа, Eb=28500 МПаА-III (А400), Es=205000 МПа2Ø8, аs=25 мм, 2,735( )1,7402,3432,351( )Б-2202×118мм2Ø8+2Ø8,аs=25 мм, а's=25 мм, 2,169( )1,7262,3242,329( )Б-3202×120мм2Ø12+2Ø8,аs=25 мм, а's=25 мм, 2,574( )1,8992,5562,488( )Нугужинов Ж.С. [10]Б-31-1A273×151ммВ32,5,Rbt,ser=1,807 МПа, Eb=24700 МПаА-IV (А600), Es=212000 МПа2Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 8,5 (7,72)*( )5,06,7316,674( )Б-31-IБ275×148ммВ32,5, Rbt,ser=1,807 МПа, Eb=24700 МПаА-IV (А600), Es=195000 МПа2Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 8,5 (7,64)*( )4,9356,6436,583( )Б-31-2A275×150ммВ32,5, Rbt,ser=1,938 МПа, Eb=24200 МПаА-IV (А600), Es=194000 МПа2Ø12+2Ø6, аs=20 мм, а's=20 мм, 8,5 (7,8)*( )5,3877,2527,19( )Б-31-2Б281×148ммВ32,5, Rbt,ser=1,938 МПа, Eb=24200 МПаА-IV (А600), Es=208000 МПа2Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 8,5 (7,63)*( )5,5747,5037,442( )Б-31-3А281×150ммВ32,5, Rbt,ser=2,014 МПа, Eb=24500 МПаА-IV (А600), Es=191000 МПа2Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 8,5 (7,6)*( )5,7977,8047,744( )Б-31-3Б275×150ммВ32,5, Rbt,ser=2,014 МПа, Eb=24500 МПаА-IV (А600), Es=192000 МПа2Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 8,5 (7,68)*( )5,4967,3987,335( )Б-32-1А273×150ммВ35, Rbt,ser=2,115 МПа, Eb=30800 МПаА-IV (А600), Es=205000 МПа2Ø18+2Ø6, аs=20 мм, а's=20 мм, 9,25 (7,85)*( )6,4688,7078,407( )Б-32-1Б275×149ммВ35, Rbt,ser=2,115 МПа, Eb=30800 МПаА-IV (А600), Es=198000 МПа2Ø18+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 9,25 (7,8)*( )6,2808,4548,140( )Б-32-2А276×150ммВ35, Rbt,ser=2,24 МПа, Eb=30800 МПаА-IV (А600), Es=215000 МПа2Ø18+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 9,25 (8)*( )6,8369,2028,863( )Б-32-2Б277×148ммВ35, Rbt,ser=2,24 МПа, Eb=30800 МПаА-IV (А600), Es=206000 МПа2Ø18+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 9,25 (8,12)*( )6,7549,0938,756( )Б-32-3А280×150ммВ35, Rbt,ser=2,23 МПа, Eb=32000 МПаА-IV (А600), Es=203000 МПа2Ø18+2Ø6, аs=20 мм, а's=20 мм, 9,25 (8,39)*( )7,089,5319,183( )Б-32-3Б283×148ммВ35, Rbt,ser=2,23 МПа, Eb=32000 МПаА-IV (А600), Es=199000 МПа2Ø18+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 9,25 (7,8)*( )6,9169,3108,97( )Б-81-1А284×153ммВ100, Rbt,ser=3,762 МПа, Eb=38200 МПаА-IV (А600), Es=194000 МПа3Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13,75 (10,26)*( )11,18915,06214,673( )Б-81-1Б285×150ммВ100, Rbt,ser=3,762 МПа, Eb=38200 МПаА-IV (А600), Es=207000 МПа3Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13 (10,26)*( )11,1431514,605( )Б-81-2А283×152ммВ100, Rbt,ser=3,868 МПа, Eb=41000 МПаА-IV (А600), Es=197000 МПа3Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13 (9,52)*( )11,29415,20314,805( )Б-81-2Б287×151ммВ100, Rbt,ser=3,868 МПа, Eb=41000 МПаА-IV (А600), Es=196000 МПа3Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13,75 (9,52)*( )11,53215,52415,122( )Б-81-3А284×154ммВ100, Rbt,ser=3,811 МПа, Eb=42700 МПаА-IV (А600), Es=207000 МПа3Ø12+2Ø6, аs=20 мм, а's=20 мм, 15,25 (9,86)*( )11,52915,51915,121( )Б-81-3Б283×151ммВ100, Rbt,ser=3,811 МПа, Eb=42700 МПаА-IV (А600), Es=196000 МПа3Ø12+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13,75 (9,86)*( )11,01314,82514,435( )Б-82-1А276×151ммВ100, Rbt,ser=3,771 МПа, Eb=39200 МПаА-IV (А600), Es=199000 МПа(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13,75 (12,6)*( )11,64415,67414,980( )Б-82-1Б280×140ммВ100, Rbt,ser=3,771 МПа, Eb=39200 МПаА-IV (А600), Es=197000 МПа(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13,75 (12,6)*( )11,23815,12814,439( )Б-82-2А279×150ммВ100, Rbt,ser=3,837 МПа, Eb=36800 МПаА-IV (А600), Es=208000 МПа(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13 (12,2)* 12,28916,54315,812( )Б-82-2Б278×152ммВ100, Rbt,ser=3,874 МПа, Eb=36800 МПаА-IV (А600), Es=197000 МПа(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13 (11)*( )12,30616,56515,837( )Б-82-3А279×152ммВ100, Rbt,ser=3,774 МПа, Eb=35800 МПаА-IV (А600), Es=196000 МПа(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6, аs=30 мм, а's=30 мм, 13,75 (12,2)*( )12,13616,33715,620( )Б-82-3Б275×148ммВ100, Rbt,ser=3,774 МПа, Eb=35800 МПаА-IV (А600), Es=190000 МПа(2Ø18+ +2Ø12)+2Ø6,аs=30 мм, а's=30 мм, 13,75 (12,4)*( )11,55915,56114,864( )Уманский А.М. [11]НсМ-1100×100В40, Rbt,ser=2,36 МПа, Eb=33152 МПаА-III (А400), Es=213000 МПа2Ø8, аs=20 мм, 0,658( )0,5650,7610,739( )Шарафутдинов Л.А [12]Б-2220×120В25, Rbt,ser=2,074 МПа, Eb=30000 МПаА400, Es=200000 МПа2Ø10, аs=30 мм, «-» (3,380)*( )2,8473,9323,778( )Arivalagan. S. [13]NWC150×150В25, Rbt,ser=2,187 МПа, Eb=30000 МПаА400, Es=200000 МПа2Ø12, аs=16 мм, «-» (2,500)*( )1,8462,5472,475( ) Примечания:1 – * – Вне скобок даны значения моментов трещинообразования, установленных визуально; в скобках – значения моментов, определенных по перелому графика зависимости момента от кривизны.2 – Серым цветом закрашены ячейки таблицы, в которых приведены значения теоретических моментов, наилучшим образом соответствующие эксперименту.3 –  – коэффициент пластичности, полученный сравнением экспериментального значения момента трещинообразования с упругим расчётом по формуле .4 – В некоторых строках не закрашена ни одна ячейка, т.к. , поэтому данные эксперимента в строке не могут быть использованы для сравнения.  Выводы:1 – в целом близкие к эксперименту показали результаты расчёта по предложенной формуле (21), за исключением случаев с высокопрочным бетоном, где может быть применён подходСП 16.13330.2012;2 – такое существенное влияние прочности бетона на результат противоречит ранее полученным теоретическим выводам (см. анализ таблицы 1) и должно быть учтено в формуле для  после дополнительного более обстоятельного и масштабного изучения экспериментальных данных (поэтому область применения формулы (21) ограничена пока обычными бетонами В15-В35);3 – таким образом, для бетонов классов В35-В100 на данном этапе исследований можно рекомендовать подход СП 16.13330.2012;4 – подход СНиП 2.03.01-84* является частным случаем предложенной формулы (21) и не учитывает влияние не только прочности бетона, но и наличие арматуры в сечении, поэтому при сравнении с экспериментом даёт погрешность от +64 % до –17 %;5 – экспериментально установлена роль арматуры при определении γ, которая опровергает ранее выявленную теоретически закономерность (см. анализ результатов табл. 1): с увеличением процента армирования от 0,4 % до 3,1 % коэффициент  не растёт, а падает, причёмзначительно – в 1,9 раза. Это обстоятельство требует проведения дополнительных исследований.Источник финансирования. Программа фундаментальных научных исследований (ФНИ) Минстроя России и РААСН в области архитектуры, градостроительства и строительных наук на 2018 год.