Кинетическая энергия частицы материала сферической формы при её попадании в область истирания, которая представлена на рис.1 [1], представляющую зазор между двумя коническими поверхностями, которые являются по форме двумя усеченными конусами, вращающимися в противоположных направлениях с постоянной угловой скоростью «ω», определяется следующим соотношением [2]:W=Iч∙ω22,                       (1)где Iч – момент инерции сферической частицы материала, равный:Iч=25mr2,                      (2)здесь m – масса сферической частицы материала с радиусом «r». Рис. 1. Схема движения частицы в зазоре между двумя коническими поверхностями, вращающимися в противоположных направленияхПри движении сферической частицы материала в зазоре между двумя коническими поверхностями вдоль оси симметрии   в основном под действием центробежной силы она уменьшается в размерах от Rн до Rк за счет процесса истирания.На основании сказанного изменяется масса сферической частицы согласно соотношению: m=43πρr3,                       (3)где ρ – плотность  частицы материала.С учетом (3) выражение (2) принимает вид:Iч=815πρr5.                     (4)На основании соотношения (1) изменение кинетической энергии сферической частицы материала будет определяться соотношением:∆W=ω22∆Iч.                   (5)Согласно (4) находим, что∆Iч=815πρRн5-Rк5.          (6)Подстановка (6) в (5) позволяет получить соотношение следующего вида:∆W=415πω2ρRн5-Rк5.          (7)Для измельчения частицы материала массой (3)  истиранием при её движении  в рассматриваемой области  необходимо затратить мощность «P1», равную [2]:P1=∆W∙n,                      (8)где n – частота  вращения сферической частицы материала.Величина мощности Pдоп, которую необходимо затратить для прохождения частицы через рассматриваемую область частиц материала числом n0, будет определяться соотношением вида: Pдоп=P1∙n0,                    (9)где число  частиц n0 с массой материала M связано соотношением:n0=Мm.                     (10)Подстановка (10), (8) с учетом (3) приводит к выражению  следующего  вида:Pдоп=15Mω2nRк2RнRк5-1 .     (11)Таким образом, полученное соотношение (11) определяет величину мощности, которую необходимо затратить на дополнительное измельчение частиц материала истиранием. Из формулы (11) видно, что данная мощность зависит от массы частиц, находящихся в зазоре между коническими поверхностями, частоты вращения конусов, частоты вращения сферической частицы, а также соотношения начального и конечного размеров сферических частиц. В случае, если образующие конических поверхностей    оснащены прямолинейными ребрами (рис. 2), то величина мощности, которую необходимо затратить на измельчение материала в зазоре между ребристыми коническими поверхностями определяется следующим соотношением:P2=A∙ω∙k0 ,                    (12)где A – величина работы, затрачиваемой на формирование зоны разрушения в объеме сферической частицы материала диаметром «d0»;ω – частота вращения конических ребристых поверхностей;   k0  – количество ребер.  Рис. 2. Расчетная схема для определения угла взаимодействия ребра конической поверхности с частицей сферической формы радиуса rм.  Согласно результату работы [3], значение работы по формированию зоны разрушения в результате удара ребрами конической поверхности по частице материала определяется следующим выражением:A=48νd03π2dπσp4Qd012(Q-Q0) ,          (13)где  ν – коэффициент Пуассона; σр – величина напряжения, приводящая к разрушению частицы материала; d – средний размер частиц материала в результате разрушения исходной частицы; Q – величина  кинетической энергии, вводимой в зону разрушения.Значение величины Q0 определяется следующей величиной [3]:Q0=2796π(1-2ν)σp2d04νEd ,              (14)здесь E – модуль Юнга материала частицы.В свою очередь, величина кинетической энергии, вводимой в зону разрушения, определяется соотношением вида:Q=2E0cosγ;                      (15)E0=Ik∙ω22,                        (16)где Ik – момент инерции ребристой конической поверхности (рис. 3), равный [4]:Ik=ρπH110∙R5-r5R-r,                (17)где ρ – плотность материала частицы; H1 – высота усечённого конуса; R – больший радиус усеченного конуса; r – меньший радиус усеченного конуса.Величину угла «γ» можно найти согласно расчетной схемы, представленной на рис. 3.  Рис. 3. Расчётная схема для определения момента инерции усечённого конуса  Согласно данной расчетной схемы находим:α1=arccos(Rн-h0Rн  );                        (18)α2 = π2   - α1;                        (19)α3 = α1;                                         (20)γ = π2   - α3 = π2   - arccos (Rн-h0Rн ).     (21)С учетом (16) и (21) формула (15) принимает вид:Q=Ikω2cos(π2-arccos(Rн-h0Rн) ).  (22)  Полученное соотношение (22) можно привести к следующему виду:Q=Ikω2h0Rн(2-h0Rн).            (23)Таким образом, полученные соотношения (23), (17, (14), (13) и (12) определяют искомую величину мощности, которая зависит от угловой скорости конических поверхностей, их моментов инерции, момента инерции частицы и геометрических параметров.