Введение. Производство многих материалов связано с необходимостью тонкого (до размеров менее 100 мкм) измельчения исходного сырья: цемент, ке­рамические изделия, огнеупоры, стекло, руда чёрных и цветных металлов, удобрения, уголь и др. [1–3].Только при производстве цемента помолу подвергается около 100 млн. тонн сырьевых материалов и клинкера, в горнорудной про­мышленности – 900 млн. тонн [4, 11].Основные требования, предъявляемые к помольному оборудованию, используемому во всех отраслях народного хозяйства можно сформули­ровать следующими общими принципами: большая часовая производительность; возможно малый удельный расход электроэнергии; малая металло- и энергоёмкость; простота в обслужива­нии и надежность в эксплуатации; возможность оперативного регулиро­вания качества готового продукта и перехода на различные, по физико-механическим свойствам, материалы; небольшие капитальные вложения.Основными технологическими приёмами, получившими самое ши­рокое распространение при помоле различных материалов, являются: раз­давливание, раскалывание, изгиб, истирание и удар [2, 5, 13].Во все известные конструкции помольных машин заложены именно эти, вышеназванные, принципы [2–5].По мнению советских и зарубежных экспертов, в обозримом бу­дущем, не будет создано принципиально новых технологических приёмов измельчения. Будут лишь осуществляться комплексные мероприятия по совершенствованию известной технологии, повышению КПД и надежно­сти техники измельчения, снижению её стоимости [4, 6, 15].Постановка проблемы. Одним из основных направлений совершенствования барабанных мельниц является создание таких внутримельничных энергообменных и классифицирующих устройств, которые обеспечивают разрушение за­стойных зон в поперечном контуре загрузки за счёт интенсификации дви­жения МТ и осуществляют внутримельничную классификацию измель­чаемого материала [7].Существенным недостатком работы барабанных мельниц является их весьма низкий КПД. До 90 % подводимой к дробящей среде энергии рас­ходуется на её преобразование из электрической в тепловую; температура цемента и аспирационного воздуха в некоторых случаях достигает 250 °С. Это объясняется, прежде всего, не рациональным взаимодействием МТ с футеровкой, являющейся основным звеном в передаче энергии от привода к дробящей среде.Известно, что только 45 % мелющих тел активно участвуют в процес­се измельчения (15 % из них находятся на траекториях свободного паде­ния, а 85 % работают в истирающем режиме), остальные 55 % перемеща­ются в плотном компактном слое в центральной части поперечного кон­тура загрузки, образуют застойные зоны, препятствуют прохождению измельчаемого материала через мельницу [8, 9, 12–14]. Опыт промышленной эксплуатации барабанных мельниц показал, что процесс измельчения более эффективно организован в сепараторных мельницах, когда из измельчаемого материа­ла постоянно отбирается готовый продукт [10, 16].Однако, мельницы замкнутого цикла намного сложнее по конструкции, в связи, с чем у нас распространение не получили.Критический анализ состояния и направлений развития техники и технологии тонкого помола даёт основание положить в основу настоящих исследований следующую рабочую гипотезу - крайне низкая эффектив­ность работы шаровой барабанной мельницы (ШБМ) может быть значи­тельно повышена путём рациональной организации работы МТ на каждом участке барабана с учётом селективности процесса измельчения.Методика расчета. При построении моделей движения шара и в целом дробящей среды, определении скоростей и энергии удара, расчёте потребляемой мощности задача решается в классической постановке – физико-механические свой­ства измельчаемого материала не учитываются.Это объясняется следующими обстоятельствами.Во-первых, физико-механические свойства не только части исходной шихты, но и свойства каждой отдельной частицы измельчаемого материа­ла в течение цикла (одного оборота барабана) изменяются в столь широ­ких пределах, что учесть это ни практически, ни теоретически (на данном этапе развития науки) не представляется возможным, да и целесообраз­ным. Средний размер кусков исходного материала составляет30 мм, а отдельных кусков достигает 250–300 мм, причём каждый из кусков имеет различные дефекты структуры (трещины, поры, инородные включения и т.п.), различную форму, в результате чего их измельчаемость (усилия дробления) колеблется в весьма широких пределах: 2±3 раза.Во-вторых, за время прохождения измельчаемого материала через мельницу (около 30 мин) размер куска материала уменьшается в десятки тысяч раз, а прочность отдельных частиц возрастает в сотни раз. Это объясняется тем, что по мере уменьшения размера частицы, т.к. ее разруше­ние происходит по дефектам структуры, наступает такой момент, когда частица уже не имеет дефектов и для её разрушения требуется сущест­венно большая энергия.В-третьих, вследствие стадийности процесса измельчения на любом из элементарных участков барабана мельницы находятся частицы мате­риала, размер которых различается в тысячи раз, а на первых участках мельницы в десятки тысяч раз, так же отличается и их размолоспособность. Например, в цементную мельницу подаётся шихта, включающая частицы размером0,5–200 мм.В-четвёртых, как показали наши собственные исследования и иссле­дования других авторов [6, 8] наличие измельчаемого материала в шаровой загрузке увеличивает потребляемую мощность привода мельни­цы не более чем на 15 %. Существующие теоретические модели расчёта потребляемой  мощности дают погрешность до 60 % как в сторону её уве­личения, так и уменьшения. Поэтому учёт существенно меняющихся фи­зико-механических свойств измельчаемого материала его массы не только затруднит и усложнит получение математических моделей, но и снизит их точность.На основании изложенного считаем целесообразным рассматривать механику дробящей среды без учёта физико-механических свойств из­мельчаемого материала.Решение практических задач движения МТ в барабанных мельницах связано с описанием движения шара, находящегося в её внешнем слое и достаточно полно описано в работах [2, 5, 6, 12]. Траектория движения шара описывается двухфазной моделью: в первой фазе шар движется по круговой траектории вместе с барабаном, параметры которой известны и во второй фазе шар совершает свободное падение в попереч­ном сечении барабана по параболической траектории.В настоящей работе мы так же допускаем, что, зная параметры дви­жения внешнего слоя шаровой загрузки мы, с достаточной для практиче­ских расчётов точностью, сможем рассчитать все основные энергетиче­ские, конструктивные и технологические показатели барабанных мельниц с ППД мелющих тел. Дополнительное продольное движение шара обеспечивается тем, что в момент отрыва на шар действует не только сила давления барабана, но и продольная сила со стороны плоскости перегородки, кольца либо футеровки, наклоненных к оси вращения барабана мельницы.В теории барабанных мельниц рассматривается двухфазное дви­жение единичного шара в неподвижной системе координат, причём, до­пускается, что шар по круговой траектории (до момента отрыва) движется вместе с барабаном без проскальзывания и далее переходит на параболи­ческую траекторию свободного падения [2, 6].Нами здесь предложен принципиально новый подход: рассчитав тра­екторию шара в неподвижной системе координат, мы вводим допол­нительную подвижную систему координат, располагаемую в плоскости наклоненной к продольной оси барабана мельницы и далее рассматриваем воздействие наклонной плоскости при последовательном изменении её положения относительно неподвижной системы координат на характер движения шаров, расположенных на расчётной траектории, т.е. мы, рас­сматриваем не один шар, а их совокупность на всей траектории движе­ния.Расчёт угла отрыва шара, находящегося на наклонной плоскостиВ расчётной системе координат (рис.1) на шар, находящийся на на­клонной плоскости (НП - наклонная межкамерная перегородка, наклон­ное кольцо, наклонные ребра футеровки и т.п.) и контактирующий одновременно с внутренней поверхностью барабана мельницы, кроме сил, рас­сматриваемых в теории барабанных мельниц с ППД загрузки (сила тяже­сти шара, сила инерции, сила реакции барабана) действует дополнитель­ная сила реакции со стороны НП.На основании принятой расчётной схемы уравнение равновесия ша­ра, находящегося на НП запишется в виде                    (1)где  – соответственно, сила реакции НП и барабана мельницы;    – центробежная сила;  – вес шара.Для записи уравнения (1) в принятой неподвижной системе коор­динат ОХУZ (рис. 1) определим проекции единичных векторов нормалей к перегородке  и барабану   в точке А нахождения шара на НП.Проекция единичных векторов нормалей к НП:  (2)Проекция единичных векторов нормалей к барабану:         (3)Использовав (2), (3) и спроектировав (1) на нормали  и получим систему из двух уравнений: (4)Система уравнений (4) позволяет рассчитать реакции барабана  и НП .Анализ уравнений (4) показывает, что их решение возможно лишь при положительном значении  и . Однако, при вращении барабана мельницы величина  и непрерывно изменяется, соответственно по­ложению шара на НП, в связи с этим данная система уравнений (4) справедлива до того момента времени пока шар движется вместе с бара­баном, находясь при этом на НП.Момент отрыва шара от внутренней поверхности барабана или НП характеризуется тем, что одна из сил, в первом случае , во втором -  обращается в нуль, т.е. , либо . В этом случае характер последующего движения шара зависит от того какая из сил пер­вой станет равной нулю.Например,  если первой обратится в нуль , то шар оторвётся от внутренней поверхности барабана мельницы и продолжит движение вдоль НП при этом уравнения (4), описывающие его движение примут вид:   (5)Из (5) определим величину реакции  на шар. С этой целью в (5) подставим значение центробежной силы ,                   (6)где m - масса шара; g - ускорение свободного падения; ω - угловая скорость вращения барабана мельницы; ψ - относительная частота враще­ния барабана мельницы; r - радиус вращения шара.  Рис. 1. Схема выбранной системы координат и действующих на шар сила) неподвижная 0ХУZ и подвижная Х&#39;0Z&#39; системы координат ( );  б, в) сечения барабана по плоскостям У0Z и Х0Z. После соответствующих преобразований получим:    (7)Анализ уравнения (7) дает основание сделать следующие выводы: уравнение справедливо, т.к. при β=90°, т.е. перегородка установлена вер­тикально . Траектория движения МТ описывается известными тео­риями; у мельниц с меньшим углом наклона перегородки и колец МТ равной массы перемещаются на большее расстояние вдоль оси барабана т.к. при , . МТ сошедшие с НП при больших значениях угла ξ. характеризующего положение шара, например, на НП переместятся на меньшее расстояние вдоль оси барабана и наоборот, т.е. при , . С увеличением относительной частоты вращения барабана, шары также перемещаются па меньшее расстояние вдоль барабана мельницы.Если же первой станет равной нулю реакция со стороны НП, т.е. , то шар оторвётся от неё, а его дальнейшее движение может быть описано в рамках известных теорий.В этом случае уравнения (5) запишутся в виде: (8)Если же в последующем шар не упадёт на НП, то его отрыв произой­дёт от внутренней поверхности барабана при угле, равном:                         (9)Вывод из (8) подтверждается (9), т.е. шар оторвется от внутрен­ней поверхности барабана мельницы, если .               (10)Таким образом, величина угла отрыва шара от внутренней поверхно­сти барабана известна - (9). Мы же должны рассчитать величину угла отрыва шара от барабана при его контакте с НП. С этой же целью из (4) определим  с учётом (6). После совместного решения уравнений (4), (6) и соответствующих преобразований получим:                            (11) Уравнение (11) характеризует положение шара на НП, когда он од­новременно контактирует с внутренней поверхностью барабана мельни­цы.Из (11) следует, что отрыв шара произойдёт, если , т.е. в мо­мент отрыва от барабана мельницы его давление на шар будет равно ну­лю, что очевидно.Итак, при  получим уравнение, которое характеризует угол от­рыва шара от барабана.                           (12) Уравнение (12) учитывает все основные факторы, влияющие на ве­личину угла отрыва α, частоту вращения барабана ψ, угол наклона плос­кости β, положение НП по отношению к шару.Методика расчёта угла отрыва сводится к следующему. При за­данных значениях ψ, β и ξ решается уравнение (12) относительно α. Затем, полученное значение α подставляется в (7) в котором для уста­новленного m принимаются те же значения ψ, β, ξ, что и для (12). Если окажется, что , значит, данная величина угла α характеризует его отрыв от внутренней поверхности барабана. Причём, в этом случае шар не оторвётся от НП, не перейдёт на параболическую траекторию свободного падения, а будет перемешаться вдоль поверхности НП  поскольку , т.е. шар контактирует с НП. Если, подставив расчётное значение α в (7) окажется, что , то это значит, что шар оторвавшись от внутренней поверхности барабана, не контактирует с НП и переходит на траекторию свободного падения. В этом случае НП не влияет на характер движения шара, а угол его отрыва следует рассчитывать по известному уравнению .Такая ситуация возможна, если       (13)или .        (14)Таким образом, численное решение уравнения (12) позволяет полу­чить любую из функций α (ξ, β, ψ) которые имеют синусоидальный ха­рактер, а, следовательно, им присуще наличие экстремумов. Очевидно, изменение величины угла отрыва α от минимума до максимума за каждый оборот барабана вызывает изменение режима работы МТ в мельницах, снабженных наклонной плоскостью, от каскадного до водопадного.Функции α (ξ, β, ψ) позволяют характеризовать траекторию движе­ния МТ при различных скоростных режимах работы барабанных мельниц, оснащенных ВЭУ. Однако картина движения МТ станет более полной, если нам будет известно положение шара в момент его отрыва от бараба­на по отношению к НП. С этой целью мы ввели дополнительные относи­тельные координаты ох&#39;z&#39; (рис. 1). В принятой системе координат угол γ определяет положение центра тяжести (ЦТ) шара в момент его отрыва от барабана мельницы относительно оси Z.Согласно расчетной схеме, представленной на рис. 1; б; в угол γ должен описываться уравнением: .                           (15)Область, в которой находятся все возможные значения, описывается системой уравнений:           (16)Первое уравнение системы (16) – уравнение наклонной плоскости, второе – барабана мельницы с радиусом R и третье –уравнение плоскости отрыва, определяемой углом отрыва α и проходящей через ось Оу.Совместное решение уравнений (16) позволяет определить коорди­наты ЦТ шара в неподвижной системе OХУZ в момент его отрыва: (17)Если ввести одну подвижную ось z&#39;&#39;, которая является проекцией оси z&#39; на плоскость ХOZ , т.е.                       (18)тогда в подвижной системе координат имеем:    (19)С учётом (18) и (19) определим относительные координаты поло­жения шара по отношению к НП в момент отрыва от барабана: (20)Исходя из расчётной схемы и используя систему уравнения (20) имеем:        (21)Таким образом, мы получили уравнение (21) в развёрнутом виде, которое определяет величину угла γ             (22)Некоторые результаты численного решения уравнений γ(α, ξ, β) и γ(ψ, β, ξ) приведены на рис. 2.Наибольший интерес представляют функции α,γ(ξ) при (β, ψ)=const. Характер зависимости α(ξ), полученной аналитически подтверждает наш вывод об изменении кинетики шаровой загрузки. В обычных барабанных мельницах зависимость α(ξ) на графике изображается прямой параллель­ной оси ξ. В мельницах с ВЭУ, как видно из графиков 1, 2 (рис. 2) угол отрыва за один оборот изменяется в широких пределах. Например, при β=30°, ψ=0,9 величина угла α меняется от 15 до 89°, а при β=45°, ψ=0,7 от 35 до 80°. В обычной мельнице угол отрыва, соответственно, равен 36 и 60° (горизонтальные участки кривых 2 и 1). Причём, из рис. 2 следует, что с увеличением частоты вращения барабана на всех участках траектории, кроме 60°<ξ<105°, высота подъёма МТ увеличивается, их энергия возрастает, что подтверждается меньшей величиной функции , чем   (рис. 2). В фазе движения барабана 0°<ξ<55° (рис. 2, 2) угол от­рыва МТ хотя и возрастает от 15 до 36°, но он меньше чем у обычных мельниц. Шары поднимаются на большую высоту, чем в обычных бара­банных мельницах. В этот момент МТ находятся на участке НП, характе­ризуемой 7°<ξ<105°, а радиальная составляющая реакции НП направлена к периферии и способствует подъёму шаров (рис. 1). При дальнейшем повороте барабана мельницы в фазе 55°<ξ<135° МТ отрываются при больших углах, т.е. они поднимаются на меньшую высоту. Причём, ми­нимальная высота подъёма шара соответствует такому положению НП, при котором ξ=75° и характеризуется углом отрыва, равным α=89°. В этом случае координата шара, находящегося на НП определяется углом γ=172°. На этом участке траектории движения шара радиальная состав­ляющая реакции НП направлена в обратную сторону (к центру барабана) и способствует более раннему отрыву шара. В фазе вращения барабана, характеризуемой его поворотом от 135 до 322° кривая имеет гори­зонтальный участок, а угол отрыва равен по величине углу отрыва шара в обычных мельницах, α=36°. При этом шары располагаются справа от продольной оси НП в зоне -180°<γ<0° (рис. 1). Понятно, что в этом слу­чае НП не оказывает влияния на движение шара, реакция равна нулю. За­тем, при 322°<ξ<360° высота подъёма МТ возрастает, угол уменьшается до 14° (0°<γ<7°). Здесь НП также способствует подъёму МТ.Таким образом, на отрезке, составляющем около четверти оборота барабана МТ поднимаются на значительно большую высоту, чем в обыч­ных барабанных мельницах, им сообщается большая потенциальная энер­гия, которая и предопределяет большую эффективность процесса измель­чения.  Рис. 2. Расчетные зависимости α, γ (ξ)1, 2 – функция α( ξ ); 3, 4 – функция γ ( ξ ); 1, 3 – ψ = 0,76; β = 45°; 2, 4 – ψ = 0,90; β = 30° Функция γ(ξ) со всей очевидностью показывает, что наибольшая вы­сота подъёма МТ соответствует такому взаимному расположению шара и плоскости, при котором точка А контакта шара с НП находится в области 0°<γ<105°(рис. 2).Этот аналитический вывод даёт возможность конструктивным ре­шением, основанном на взаимном расположении НП обеспечить макси­мальную высоту подъёма МТ по всей длине барабана мельницы.Заключение. Итак, проведенный анализ результатов расчёта углов отрыва шара за полный оборот барабана мельницы позволяет сделать следующие выво­ды:- при постоянной частоте вращения барабана, заданном угле распо­ложения НП наблюдаются значительные колебания величины угла отрыва шара, что в целом меняет режим работы загрузки;- из всего цикла движения шара можно выделить три характерных участка: первый, в котором углы отрыва имеют меньшую величину, чем у обычных мельниц и большую высоту подъёма (четверть полного оборо­та); второй, при котором шары имеют больший угол отрыва, чем у обыч­ных мельниц (около 1/8 полного оборота); третий - шары имеют такой же по величине угол отрыва, что и у обычных мельниц (более половины обо­рота);- имеет место лавинообразный отрыв шара от барабана, когда за небольшой промежуток времени на свободные траектории паде­ния переходит около трети шаров, расположенных в зоне НП.