Solnechno-Zemnaya Fizika Solnechno-Zemnaya Fizika Солнечно-земная физика 2712-9640 28728 10.12737/szf-61202006 Результаты исследований Results of current research Результаты исследований Spatial structure of azimuthally small-scale MHD waves in one-dimensionally inhomogeneous finite pressure plasma with curved field lines Пространственная структура азимутально-мелкомасштабных МГД-волн в одномерно-неоднородной плазме конечного давления с кривыми силовыми линиями Петращук Александр Владимирович Petrashchuk Aleksandr Vladimirovich av.petrashchuk@mail.ru https://orcid.org/0000-0002-3278-6250 Климушкин Дмитрий Юрьевич Klimushkin Dmitri Yur'evich klimush@iszf.irk.ru

кандидат физико-математических наук;

candidate of physical and mathematical sciences;

 Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation Институт солнечно-земной физики СО РАН Иркутск Россия Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS Irkutsk Russian Federation 6 1 63 74 https://zh-szf.ru/en/nauka/article/28728/view

Изучено распространение гидромагнитных (МГД) волн в одномерно-неоднородной плазме конечного давления с кривыми силовыми линиями. Магнитные поверхности считаются концентрическими цилиндрами, где радиус цилиндра моделирует радиальную координату в магнитосфере Земли. Предполагается, что волны обладают азимутальной мелкомасштабностью. В данном приближении имеется только две МГД-моды: альфвеновская и медленный магнитный звук (ММЗ). Получено обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее пространственную структуру волнового поля в данной модели. Изучен характер особенностей на поверхностях альфвеновского и ММЗ-резонансов, влияние на него кривизны силовых линий. Определены области прозрачности волн. Установлено существенное расширение области прозрачности ММЗ по сравнению со случаем прямых силовых линий, а само существование альфвеновской области прозрачности обусловлено наличием кривизны силовых линий и конечного давления плазмы: в противном случае пространственная структура представляет локализованный резонанс.

We have studied propagation of hydromagnetic (MHD) waves in one-dimensionally inhomogeneous finite pressure plasma with curved field lines. Magnetic surfaces are considered to be concentric cylinders, where the cylinder’s radius models the radial coordinate in Earth’s magnetosphere. The waves are supposed to be azimuthally small-scale. In this approximation there are only two MHD modes — Alfvén and slow magnetosonic (SMS). We have derived an ordinary differential equation for the spatial structure of the wave field in this model. We have examined the character of the singularity on the surface of Alfvén and SMS resonances and the influence of field line curvature on them. We have determined wave transparent regions. The SMS transparent region was found to essentially broaden as compared to the straight field line case. The very existence of the Alfvén transparent region is caused by the field line curvature and finite plasma pressure; otherwise, the wave structure is represented by a localized resonance.

 МГД-волны цилиндрическая модель магнитосферы МГД-резонансы MHD waves cylinder model of the magnetosphere MHD resonances

Агапитов А.В., Черемных О.К. Поляризация резонансных УНЧ-возмущений в магнитосфере Земли // Кинематика и физика небесных тел. 2011. Т. 27. С. 17-27. Agapitov A.V., Cheremnykh O.K. Polarization of ULF waves in the Earth’s magnetosphere. Kinematics and Physics of Celestial Bodies. 2011, vol. 27, no. 3, pp. 117-123. DOI: 10.3103/S0884591311030020. Агапитов А.В., Парновский А.С., Черемных О.К. Спектр поперечно-мелкомасштабных возмущений во внутренней магнитосфере Земли // Кинематика и физика небесных тел. 2006. Т. 22, № 6. С. 387-401. Agapitov A.V., Parnowski A.S., Cheremnykh O.K. Spectrum of transversally small-scale perturbations in the inner Earth’s magnetosphere. Kinematika i Fizika Nebesnykh Tel. [Kinematics and Physics of Celestial Bodies]. 2006. vol. 22, no. 6, pp. 387-401. (In Russian). Бернгардт О.И. Влияние факторов космической погоды на работу радиосредств // Солнечно-земная физика. 2017. Т. 3, № 3. С. 40-60. DOI: 10.12737/szf-33201705. Berngardt O., Space weather impact on radio device operation. Solar-Terr. Phys. 2017, vol. 3, no. 3, pp. 37-53. DOI: 10.12737/stp-33201705. Бурдо О.С., Черемных О.К., Верхоглядова О.П. Изучение баллонных мод во внутренней магнитосфере Земли // Изв. АН. Сер. физ. 2000. Т. 64, № 9. С. 1896-1900. Bhattacharjee A., Ma Z., Wang X. Dynamics of thin current sheets and their disruption by ballooning instabilities: A mechanism for magnetospheric substorms. Physics of Plasmas. 1998, vol. 5, pp. 2001-2009. DOI: 10.1063/1.872871. ГульельмиА.В., Золотухина Н.А. Возбуждение альвеновских колебаний магнитосферы асимметричным кольцевым током // Иссл. по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1980. Вып. 50. С. 129-138. Burdo O.S., Cheremnykh O.K., Verkhoglyadova O.P. Study of ballooning modes in the inner magnetosphere of the Earth. Izvestiya Akademii nauk. Fizika [Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics]. 2000, vol. 64, pp. 1896-1900. (In Russian). Гульельми А.В., Потапов А.С. Об особенности поля MГД-волны в неоднородной плазме // Иссл. по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1984. Вып. 70. С. 149-157. Chen L., Hasegawa A. A theory of long period magnetic pulsations. 1. Steady state excitation of field line resonance. J. Geophys. Res. 1974, vol. 79, iss. 7, pp. 1024-1032. DOI: 10.1029/ JA079i007p01024. Золотухина Н.А. О возбуждении альвеновских волн в магнитосфере движущимся источником // Иссл. по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 1974. Вып. 34. С. 20-23. Chen L., Hasegawa A. Kinetic theory of geomagnetic pulsations: 1. Internal excitations by energetic particles. J. Geo-phys. Res. 1991, vol. 96, pp. 1503-1512. DOI: 10.1029/ 90JA02346. Климушкин Д.Ю., Пространственная структура азимутально-мелкомасштабных гидромагнитных волн в аксиально-симметричной магнитосфере с конечным давлением плазмы // Физика плазмы. 1997. Т. 23, № 10. С. 931-944. Chelpanov M.A., Mager O.V., Mager P.N., Klimushkin D.Yu., Berngardt O.I. Properties of frequency distribution of Pc5-range pulsations observed with the Ekaterinburg decameter radar in the nightside ionosphere. J. Atmos. Sol.-Terr. Phys. 2018, vol. 167, pp. 177-183. DOI: 10.1016/j.jastp.2017.12.002. Костарев Д.В., Магер П.Н. Дрейфово-компрессионные волны, распространяющиеся в направлении дрейфа энергичных электронов в магнитосфере // Солнечно-земная физика. 2017. Т. 3, № 3. С. 20-29. DOI: 10.12737/szf-33201703. Chelpanov M.A., Mager O.V., Klimushkin D.Yu., Berngardt O.I., Mager O.V. Experimental evidence of drift compressional waves in the magnetosphere: An Ekaterinburg coherent decameter radar case study. J. Geophys. Res.: Space Phys. 2016. V. 121. P. 1315-1326. DOI: 10.1002/2015JA022155. Магер П.Н., Климушкин Д.Ю. Генерация альфвеновских волн движущейся неоднородностью плазмы в магнитосфере // Физика плазмы. 2007. Т. 33, № 5. С. 435-442. Cheremnykh O.K., Klimushkin D., Kostarev D.V. On the structure of azimuthally small-scale ULF oscillations of hot space plasma in a curved magnetic field. Modes with continuous spectrum. Kinematics and Physics of Celestrial Bodies. 2014, vol. 30, no. 5, pp. 209-222. Мазур Н.Г., Федоров Е.Н., Пилипенко В.А. Дисперсионное соотношение для баллонных мод и условие их устойчивости в околоземной плазме // Геомагнетизм и аэрономия. 2012. Т. 52, № 5. С. 639-648. Cheremnykh O.K., Klimushkin D.Yu., Mager P.N. On the Structure of Azimuthally Small-Scale ULF Oscillations of a Hot Space Plasma in a Curved Magnetic Field: Modes with Discrete Spectra. Kinematics and Physics of Celestial Bodies. 2016, vol. 32, no. 3, pp. 120-128. Мазур В.А., Чуйко Д.А. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца на магнитопаузе, МГД-волновод во внешней магнитосфере и альфвеновский резонанс в глубине магнитосферы // Физика плазмы. 2013. Т.39, № 6. С. 556-571. Cheremnykh O.K., Kryshtal A.N., Tkachenko A.A. Kink mode m = 1 in magnetic tube with discontinuous magnetic field. Adv. Space Res. 2018, vol. 61, pp. 603-610. DOI: 10.1016/j.asr.2017.05.026. Михайловский А.Б., Фридман А.М. Дрейфовые волны в плазме конечного давления // Письма в ЖЭТФ 1966. Т. 51. С. 1430. Cheremnykh O.K., Parnowski A.S. The theory of ballooning perturbations in the inner magnetosphere of the Earth. Adv. Space Res. 2004, vol. 33, pp. 769-773. Моисеев А.В., Баишев Д.Г., Муллаяров В.А., и др. Развитие компрессионных длиннопериодных пульсаций на восстановительной фазе магнитной бури 23 мая 2007 г. // Космические исследования. 2016. Т. 54, № 1. С. 34-43. Guglielmi A.V., Zolotukhina N.A. Excitation of Alfvén oscillations of the magnetosphere by the asymmetric ring current. Issledobaniya po geomagnetizmu, aeronomii i fizike Solntsa [Res. on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics]. 1980, vol. 50, pp. 129-137. (In Russian). Черемных О.К., Климушкин Д.Ю., Костарев Д.В. О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с непрерывным спектром // Кинематика и физика небесных тел. 2014. Т. 30, № 5. С. 3-21. Guglielmi A.V., Potapov A.S. Concerning one peculiarity of the MHD-wave field in an inhomogeneous plasma. Issledobaniya po geomagnetizmu, aeronomii i fizike Solntsa [Res. on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics]. 1984, vol. 70, pp. 149-157. (In Russian). Черемных О.К., Климушкин Д.Ю., Магер П.Н. О структуре азимутально-мелкомасштабных УНЧ-колебаний горячей космической плазмы в кривом магнитном поле. Моды с дискретным спектром // Кинематика и физика небесных тел. 2016. T. 5, № 3. С. 3-21. Golovchanskaya I.V., Kullen A., Maltsev Y.P., Biernat H. Ballooning instability at the plasma sheet-lobe interface and its implications for polar arc formation. J. Geophys. Res. 2006, vol. 111, no. A11216. DOI: 10.1029/2005JA011092. Bhattacharjee A., Ma Z.W., Wang X. Dynamics of thin current sheets and their disruption by ballooning instabilities: A mechanism for magnetospheric substorms // Physics of plasmas. 1998. V. 5. P. 2001-2009. DOI: 10.1063/1.872871. Hasegawa A. Drift mirror instability of the magnetosphere. Physics of Fluids. 1969, vol. 12, pp. 2642-2650. DOI: 10.1063/1.1692407. Chen L., Hasegawa A. A theory of long period magnetic pulsations. 1. Steady state excitation of field line resonance // J. Geophys. Res. 1974. V. 79. P. 1024-1032. DOI: 10.1029/ JA079i007p01024. Kaneko T., Goossens M., Soler R., Terradas J., Van Doorsselaere T., Yokoyama T., Wright A.N. Apparent cross-field superslow propagation of magnetohydrodynamic waves in solar plasmas. The Astrophysical J. 2015, vol. 812, no. 2, pp. 2369-2375. DOI: 10.1088/0004-637X/812/2/121. Chen L., Hasegawa A. Kinetic theory of geomagnetic pulsations: 1. Internal excitations by energetic particles // J. Geophys. Res. 1991. V. 96. P. 1503-1512. DOI: 10.1029/90JA02346. Klimushkin D.Yu. Spatial structure of small-scale azimuthal hydromagnetic waves in an axisymmetric magnetospheric plasma with finite pressure. Plasma Phys. Rep. 1997, vol. 23, pp. 858-871. Chelpanov M.A., Mager O.V., Mager P.N., et al. Properties of frequency distribution of Pc5-range pulsations observed with the Ekaterinburg decameter radar in the nightside ionosphere // J. Atmos. Solar-Terr. Phys. 2018. V. 167. P. 177-183. DOI: 10.1016/j.jastp.2017.12.002. Klimushkin D.Yu. Theory of azimuthally small-scale hydromagnetic waves in the axisymmetric magnetosphere with finite plasma pressure. Ann. Geophys. 1998, vol. 16, pp. 303-321. Chelpanov M.A., Mager O.V., Klimushkin D.Yu., et al. Experimental evidence of drift compressional waves in the magnetosphere: An Ekaterinburg coherent decameter radar case study // J. Geophys. Res.: Space Phys. 2016. V. 121. P. 1315-1326. DOI: 10.1002/2015JA022155. Klimushkin D.Yu., Mager P.N., Glassmeier K.H. Toroidal and poloidal Alfvén waves with arbitrary azimuthal wave numbers in a finite pressure plasma in the Earth’s magnetosphere. Ann. Geophys. 2004, vol. 22, pp. 267-288. DOI: 10.5194/angeo-22-267-2004. Cheremnykh O.K., Kryshtal A.N., Tkachenko A.A. Kink mode m = 1 in magnetic tube with discontinuous magnetic field // Adv. Space Res. 2018. V. 61. P. 603-610. DOI: 10.1016/j.asr.2017.05.026. Klimushkin D.Yu., Mager P.N., Pilipenko V.A. On the ballooning instability of the coupled Alfvén and drift compressional modes. Earth, Planets and Space. 2012, vol. 64, pp. 777-781. DOI: 10.5047/eps.2012.04.002. Cheremnykh O.K., Parnowski A.S. The theory of ballooning perturbations in the inner magnetosphere of the Earth // Adv. Space Res. 2004. V. 33. P. 769-773. Kostarev D.V., Mager P.N. Drift-compression waves propagating in the direction of energetic electron drift in the magnetosphere. Solar-Terr. Phys. 2017, vol. 3, iss. 3, pp. 18-27. DOI: 10.12737/stp-33201703. Golovchanskaya I.V., Kullen A., Maltsev Y.P., et al. Ballooning instability at the plasma sheet-lobe interface and its implications for polar arc formation // J. Geophys. Res. 2006. V. 111. A11216. DOI: 10.1029/2005JA011092. Leonovich A.S., Klimushkin D.Yu., Mager P.N. Experimental evidence for the existence of monochromatic transverse small-scale standing Alfvén waves with spatially dependent polarization. J. Geophys. Res.: Space Phys. 2015, vol. 120, pp. 5443-5454. DOI: 10.1002/2015JA021044. Hasegawa A. Drift mirror instability of the magnetosphere // Physics of Fluids. 1969. V. 12. P. 2642-2650. DOI: 10.1063/ 1.1692407. Leonovich A.S., Mazur V.A. A theory of transverse small-scale standing Alfvén waves in an axially symmetric magnetosphere. Planetary Space Sci. 1993, vol. 41, pp. 697-717. DOI: 10.1016/0032-0633(93)90055-7. Kaneko T., Goossens M., Soler R., et al. Apparent cross-field superslow propagation of magnetohydrodynamic waves in solar plasmas // The Astrophysical J. 2015. V. 812, N 2. P. 2369-2375. DOI: 10.1088/0004-637X/812/2/121. Liu W.W. Physics of the explosive growth phase: Ballooning instability revisited. J. Geophys. Res. 1997, vol. 102, no. A3, iss. 2156-2202, pp. 4927-4931. DOI: 10.1029/96JA03561. Klimushkin D.Yu. Theory of azimuthally small-scale hydromagnetic waves in the axisymmetric magnetosphere with finite plasma pressure // Ann. Geophys. 1998. V.16. P. 303-321. Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Generation of Alfvén waves by a plasma inhomogeneity moving in the Earth’s magnetosphere. Plasma Phys. Rep. 2007, vol. 33, pp. 391-398. DOI: 10.1134/S1063780X07050042. Klimushkin D.Yu., Mager P.N., Glassmeier K.H. Toroidal and poloidal Alfvén waves with arbitrary azimuthal wave numbers in a finite pressure plasma in the Earth’s magnetosphere // Ann. Geophys. 2004. V. 22, iss. 1. P. 267-288. DOI: 10.5194/angeo-22-267-2004. Mager P.N., Mikhailova O.S., Mager O.V., D.Yu. Klimushkin. Eigenmodes of the transverse Alfvénic resonator at the plasmapause: A Van Allen probes case study. Geophys. Res. Lett. 2018, vol. 45, pp. 10,796-10,804. DOI: 10.1029/2018GL079596. Klimushkin D.Yu., Mager P.N., Pilipenko V.A. On the ballooning instability of the coupled Alfvén and drift compressional modes // Earth, Planets and Space. 2012. V. 64. P. 777-781. DOI: 10.5047/eps.2012.04.002. Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Non-resonant instability of coupled Alfvén and drift compressional modes in magnetospheric plasma. Plasma Physics and Controlled Fusion. 2017, vol. 59, no. 9, p. 095005 DOI: 10.1088/1361-6587/aa790c. Leonovich A.S., Klimushkin D.Yu., Mager P.N. Experimental evidence for the existence of monochromatic transverse small-scale standing Alfvén waves with spatially dependent polarization // J. Geophys. Res. Space Phys. 2015. V. 120. P. 5443-5454. DOI: 10.1002/2015JA021044. Mazur N.G., Fedorov E.N., Pilipenko V.A. Dispersion relation for ballooning modes and condition of their stability in the near-Earth plasma. Geomagnetism and Aeronomy. 2012, vol. 52, pp. 603-612. Leonovich A.S., Mazur V.A. A theory of transverse small-scale standing Alfvén waves in an axially symmetric magnetosphere // Planet. Space Sci. 1993. V. 41. P. 697-717. DOI: 10.1016/0032-0633(93)90055-7. Mazur V.A., Chuiko D.A. Kelvin-Helmholtz instability on the magnetopause, magnetohydrodynamic waveguide in the outer magnetosphere, and Alfvén resonance deep in the magnetosphere. Plasma Phys. Rep. 2013, vol. 39, no. 6, pp. 488-503. Liu W.W. Physics of the explosive growth phase: Ballooning instability revisited // J. Geophys. Res. 1997. V. 102. P. 4927-4931. DOI: 10.1029/96JA03561. McPherron R.L. Magnetic pulsations: Their sources and relation to solar wind and geomagnetic activity // Surveys in Geophysics. 2005. V. 26. P. 545-592. DOI: 10.1007/s10712-005-1758-7. Mager P.N., Mikhailova O.S., Mager O.V., et al. Eigenmodes of the Transverse Alfvénic Resonator at the Plasmapause: A Van Allen Probes Case Study // Geophys. Res. Lett. 2018. V. 45. P. 10,796-10,804. DOI: 10.1029/2018GL079596. Mikhailovskii A.B., Fridman A.M. Drift waves in a finite-pressure plasma. Soviet J. Experimental and Theoretical Phys. 1967, vol. 24, pp. 965-974. Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Non-resonant instability of coupled Alfvén and drift compressional modes in magnetospheric plasma // Plasma Phys. Control. Fusion. 2017. V. 59, N 9. P. 095005. DOI: 10.1088/1361-6587/aa790c. Moiseev A.V., Baishev D.G., Mullayarov V.A., et al. The development of compression long-period pulsations on the recovery phase of the magnetic storm on May 23, 2007. Cosmic Res. 2016, vol. 54, pp. 31-39. DOI: 10.1134/S0010952516010123. McPherron R.L. Magnetic pulsations: Their sources and relation to solar wind and geomagnetic activity // Surveys in Geophysics. 2005. V. 26. P. 545-592. DOI: 10.1007/s10712-005-1758-7. Moore T.E., Gallagher D.L. MHD wave breaking in the outer plasmasphere. Geophys Res. Lett. 1987, vol. 14, no. 10, pp. 1007-1010. Moore T.E., Gallagher D.L. MHD wave breaking in the outer plasmasphere // Geophys. Res. Lett. 1987. V. 14. P. 1007-1010. Pokhotelov O.A., Pilipenko V.A., Amata E. Drift anisotropy instability of a finite-beta magnetospheric plasma. Planet. Space Sci. 1985, vol. 33, pp. 1229-1241. DOI: 10.1016/0032-0633(85)90001-7. Pokhotelov O.A., Pilipenko V.A., Amata E. Drift anisotropy instability of a finite-beta magnetospheric plasma // Planet. Space Sci. 1985. V. 33. P. 1229-1241. DOI: 10.1016/0032-0633(85)90001-7. Rae I.J., Murphy K.R., Watt C.E.J., Rostoker G., Rankin R., Mann I.R. Field line resonances as a trigger and a tracer for substorm onset. J. Geophys. Res.: Space Phys. 2014, vol. 119, no. 1, pp. 5343-5363. DOI: 10.1002/2013JA018889. Rae I.J., Murphy K.R., Watt C.E.J.,, et al. Field line resonances as a trigger and a tracer for substorm onset // J. Geophys. Res.: Space Physics. 2014. V. 119. P. 5343-5363. DOI: 10.1002/2013JA018889. Rosenbluth M.N. Magnetic trapped-particle modes. Phys. Rev. Lett. 1981, vol. 46, pp. 1525-1528. DOI: 10.1103/ PhysRevLett.46.1525. Rosenbluth M.N. Magnetic trapped-particle modes // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. P. 1525-1528. DOI: 10.1103/ PhysRevLett.46.1525. Rubtsov A.V., Agapitov O.V., Mager P.N., Klimushkin D.Yu., Mager O.V., Mozer F.S., Angelopoulos V. Drift resonance of compressional ULF waves and substorm-injected protons from multipoint THEMIS measurements. J. Geophys. Res.: Space Phys. 2018a, vol. 123, no. 11, pp. 9406-9419. DOI: 10.1029/2018JA025985. Rubtsov A.V., Agapitov O.V., Mager P.N., et al. Drift Resonance of Compressional ULF Waves and Substorm-Injected Protons From Multipoint THEMIS Measurements // J. Geophys. Res.: Space Phys. 2018a. V. 123. P. 9406-9419. DOI: 10.1029/2018JA025985. Rubtsov A.V., Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Ballooning instability of azimuthally small scale coupled Alfvén and slow magnetoacoustic modes in two-dimensionally inhomogeneous magnetospheric plasma. Physics of Plasmas. 2018b, vol. 25, no. 10, 102903 p. DOI: 10.1063/1.5051474. Rubtsov A.V., Mager P.N., Klimushkin D.Yu. Ballooning instability of azimuthally small scale coupled Alfv´en and slow magnetoacoustic modes in two-dimensionally inhomogeneous magnetospheric plasma // Physics of Plasmas. 2018b. V. 25, N 10. P. 102903. DOI: 10.1063/1.5051474. Southwood L. Some features of field line resonances in the magnetosphere. Planet. Space Sci. 1974, vol. 22, pp. 483-491. DOI: 10.1016/0032-0633(74)90078-6. Southwood L. Some features of field line resonances in the magnetosphere // Planet. Space Sci. 1974. V. 22. P. 483-491. DOI: 10.1016/0032-0633(74)90078-6. Southwood D.J., Saunders M.A. Curvature coupling of slow and Alfvén MHD waves in a magnetotail field configuration. Planet. Space Sci. 1985, vol. 33, pp. 127-134. DOI: 10.1016/0032-0633(85)90149-7. Southwood D.J., Saunders M.A. Curvature coupling of slow and Alfv´en MHD waves in a magnetotail field configuration // Planet. Space Sci. 1985. V. 33. P. 127-134. DOI: 10.1016/0032-0633(85)90149-7. Takahashi K., Denton R.E., Motoba T., et al. Impulsively Excited Nightside Ultralow Frequency Waves Simultaneously Observed on and off the Magnetic Equator. J. Geophys. Res.: Space Phys. 2018, vol. 45, no. 16, pp. 7918-7926. DOI: 10.1029/2018GL078731. Takahashi K., Denton R.E., Motoba T., et al. Impulsively Excited Nightside Ultralow Frequency Waves Simultaneously Observed on and off the Magnetic Equator // J. Geophys. Res.: Space Phys. 2018. V. 45. P. 7918-7926. DOI: 10.1029/ 2018GL078731. Ukhorskiy A.Y., Sitnov M.I., Takahashi K., Anderson B.J. Radial transport of radiation belt electrons due to stormtime Pc5 waves. Ann. Geophys. 2009, vol. 27, pp. 2173-2181. DOI: 10.5194/angeo-27-2173-2009. Ukhorskiy A.Y., Sitnov M.I., Takahashi K., et al. Radial transport of radiation belt electrons due to stormtime Pc5 waves // Ann. Geophys. 2009. V. 27. P. 2173-2181. DOI: 10.5194/angeo-27-2173-2009. Walker A.D.M. Theory of magnetospheric standing hydromagnetic waves with large azimuthal wave number, 1, Coupled magnetosonic and Alfvén waves. J. Geophys. Res. 1996, vol. 101, pp. 27133-27148. DOI: 10.1029/96JA02701. Walker A.D.M. Theory of magnetospheric standing hydromagnetic waves with large azimuthal wave number, 1, Coupled magnetosonic and Alfvén waves // J. Geophys. Res. 1987. V. 101. P. 27133-27148. DOI: 10.1029/96JA02701. Woch J., Kremser G., Korth A., Pokhotelov O.A., Pilipenko V.A., Nezlina Yu.M., Amata E. Curvature-driven drift mirror instability in the magnetosphere. 1988, vol. 36, pp. 383-393. DOI: 10.1016/0032-0633(88)90126-2. Woch J., Kremser G., Korth A., et al. Curvature-driven drift mirror instability in the magnetosphere // Planet. Space Sci. 1988. V. 36. P. 383-393. DOI: 10.1016/0032-0633(88)90126-2. Yumoto K. Characteristics of localized resonance coupling oscillations of the slow magnetosonic wave in a non-uniform plasma. Planet. Space Sci. 1985, vol. 33, pp. 1029-1036. DOI: 10.1016/0032-0633(85)90021-2. Yumoto K. Characteristics of localized resonance coupling oscillations of the slow magnetosonic wave in a non-uniform plasma // Planet. Space Sci. 1985. V. 33. P. 1029-1036. DOI: 10.1016/0032-0633(85)90021-2. Zolotukhina N.A. Excitation of Alfvén waves in the magnetosphere by a moving source. Issledobaniya po geomagnetizmu, aeronomii i fizike Solntsa [Res. on Geomagnetism, Aeronomy and Solar Physics]. 1974, vol. 34, pp. 20-23. (In Russian).