Железобетон как конструкционный материал отличается рядом характерных особенностей, зависящих от вида напряженно-деформированного состояния и создающих определенные трудности при разработке расчётных методик и алгоритмов для их реализации. Неоднородность, анизотропия, существенная нелинейность, заключающаяся в отсутствии пропорциональной связи между напряжениями и деформациями, трещинообразование и другие специфические свойства железобетона проявляются уже на ранних стадиях деформирования [1, 4, 5, 14]. Проводимые в последние годы исследования железобетонных конструкций, как правило, базируются на использовании диаграмм механического состояния арматуры и бетона [2, 3, 4, 7, 9, 13, 15]. В соответствии с рекомендациями работы [12] диаграммы состояния бетона при сжатии и растяжении принимаются без ниспадающих участков и характеризуются следующими параметрами: начальным модулем упругости Eb2, предельными сопротивлениями сжатию Rb и растяжению Rbt, а также соответствующими предельными относительными деформациями εbu и εbtu (рис. 1). Для их аналитического описания используем дробно-рациональную функцию следующего вида: ,                   (1)где Eb2 – начальный модуль упругости бетона, общий для неоднородного сжатия и растяжения (см. рис. 1); Dj, Cj – параметры нелинейности деформирования бетона при неоднородном сжатии и растяжении, получаемые путем трансформирования исходных (эталонных) диаграмм на основе использования соответствующих энергетических критериев разрушения бетона (j=b2 – для диаграмм неоднородного сжатия, j=bt2 – то же, растяжения); si, ei – текущие значения напряжений и деформаций сжатия (i=b) и растяжения (i=bt).Методика определения параметров Eb2, Db2, Cb2, Dbt2, Cbt2, εbu, εbtu представлена в работах [10, 11].Каждая из диаграмм (рис. 2, а, б) разбита на три участка: первый из них линейный и два последующих нелинейные. Таким образом, для описания обеих диаграмм целесообразно применить кусочную функцию универсального типа, состоящую из одного линейного и двух нелинейных уравнений. Так, кусочная функция для описания диаграммы растяжения арматурной стали с физической площадкой текучести (рис. 2, б) имеет вид:при       ,                           (2)при       ,    (3)при       ,    (4)где Esn – начальный модуль упругости арматуры; sel, eel – предел упругости и соответствующая относительная деформация арматуры; sy – предел текучести арматуры; eyf – относительная деформация в конце площадки текучести;  su, eu – временное сопротивление и предельная относительная деформация при разрыве арматуры; Cs1, Ds1, Cs2, Ds2 – параметры нелинейности кусочной функции, описывающей, соответственно, второй и третий участки диаграммы; Es2 – модуль упругости арматуры в начальной точке третьего участка.  Рис. 1. Диаграммы деформирования бетона при неоднородном сжатии (кривая 1) и растяжении (кривая 2)  Рассмотрим принимаемые в расчётной методике диаграммы растяжения арматуры (рис. 2).  а                                                                     б Рис. 2. Диаграммы растяжения арматурной стали: а – арматура без физическойплощадки текучести;  б – то же, с физической площадкой текучести  Для описания диаграммы растяжения арматурной стали без физической площадки текучести (рис. 2, а) используются зависимости, аналогичные (2)...(4) с учетом замены параметров sy и eyf на s0,2 и e0,2. Выражения для определения параметров нелинейности (Cs1, Ds1, Es2, Cs2, Ds2) для сплайн-уравнений (3) и (4) в полном виде представлены в работе [9]. В соответствии с [5, 6] прогиб изгибаемых железобетонных элементов определяют по формуле: ,                      (5)где  – изгибающий момент в сечении x от действия единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения элемента в сечении по длине пролета L;  (1/r)x – кривизна балки в сечении x от нагрузки, при которой определяется прогиб.Вычисление прогиба производят путем разбиения элемента на ряд участков, определения кривизны на границах этих участков (с учетом отсутствия или наличия трещин и знака кривизны) и перемножения эпюр моментов  и кривизны (1/r)x по длине элемента при линейном распределении кривизны в пределах каждого участка. Таким образом, для характерных сечений изгибаемого железобетонного элемента необходимо получить зависимости “момент-кривизна”.При этом кривизна на участках железобетонной балки без трещин находится по формуле: ,                           (6)где ebc и est – относительные деформации фибрового волокна сжатого бетона и крайнего растянутого арматурного стержня в рассматриваемом сечении;  h0 – расстояние между крайним сжатым волокном бетона и растянутым арматурным стержнем.Применительно к данной стадии деформирования (до образования трещин) расчетная схема поперечного сечения изгибаемого железобетонного элемента, соответствующая общепринятым для деформационной модели гипотезам и допущениям, представлена на рис. 3. Уравнения равновесия в традиционной форме их записи имеют вид:  ,                                                  (7) ,                         (8) где Mi – известный из статического расчёта изгибающий момент в сечении изгибаемого железобетонного элемента на участке без трещин; wc, wt, gc, gt – интегральные геометрические характеристики эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона; xc, xt – размеры сжатой и растянутой зон бетона; ssc, sst – напряжения в сжатой и растянутой арматуре. Назначение остальных параметров понятно из рисунка 3.   Рис. 3. Схема распределения деформаций, напряжений и усилий в нормальномсечении изгибаемого железобетонного элемента на участке без трещин  Коэффициенты полноты эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона (wc, wt) и относительные расстояния от центров тяжести эпюр до нейтральной оси (gc, gt) находятся с использованием следующих зависимостей:   ,                                     (9)  ,                                   (10)   ,                                (11)                                (12) С учетом принятой гипотезы плоских сечений для рассматриваемого железобетонного элемента записываются следующие условия деформаций: ,                          (13) ,                         (14) ,                    (15) .                       (16)Величину фибрового напряжения бетона sbc получаем с использованием зависимости (1), а неизвестные напряжения в сжатой и растянутой арматуре ssc, sst находим с помощью универсальной кусочной функции (2)…(4). В результате решения полученной системы уравнений определяем параметры НДС изгибаемого железобетонного элемента в сечении без трещин, в том числе искомые величины относительных деформаций ebc, est, которые используются для вычисления кривизны по формуле (6).Схема железобетонного элемента после образования трещин в растянутой зоне бетона представлена на рисунке 4. При этом действующий внешний изгибающий момент (Mi) считается заданным.   Рис. 4. Схема распределения деформаций, напряжений и усилий в сеченииизгибаемого железобетонного элемента на участке с трещиной  Уравнения равновесия совпадают с зависимостями (7) и (8) с учётом замены переменной sbt, вместо которой подставляют предельное сопротивление бетона растяжению Rbt. Такая же замена переменной осуществляется в выражении (10), используемого для нахождения коэффициента полноты эпюры напряжений в растянутой зоне бетона (wt). Ещё один параметр ebt подлежит замене в зависимостях (10) и (12) на свою предельную величину ebtu. Расчётные выражения (9) и (11) для определения коэффициентов wc и gc применяются без изменений.Из четырёх представленных выше условий деформаций для рассматриваемого участка железобетонного элемента (см. рис. 4) используются три (13), (15) и (16). При этом в соотношении (13) также предусмотрена замена параметра: вместо ebt подставляется ebtu. Неизвестные величины напряжений в бетоне и арматуре sbc, ssc, sst находим с использованием зависимостей (1) и (2)…(4). В результате решения полученной системы уравнений вычисляем параметры НДС изгибаемого железобетонного элемента на участке с трещиной, в том числе величины относительных деформаций ebc, est, которые необходимы для определения кривизны [2, 3, 8]: ,                         (17)где yb – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций сжатого бетона между трещинами и принимаемый равным 0,9 [5];  ys – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций растянутой арматуры между трещинами.Значение коэффициента ys вычисляется по методике, изложенной в работе [8].Для определения прогибов железобетонных балочных конструкций разработан алгоритм для его реализации на персональном компьютере, который был включён в состав разработанной ранее [11] программы “Balka_1”.В качестве исследуемого образца принят изгибаемый железобетонный элемент с размерами поперечного сечения (b×h = 25 × 40 см) пролетом 3 м, нагруженный равномерно распределённой нагрузкой. Площадь арматуры в зависимости от процентов армирования (0,5 %; 1,0 %; 1,5 %; 2,0 %; 3,0 %; 5,0 %) имела следующие значения: As = 4,52 см2; 10,18 см2; 14,70 см2; 20,36 см2; 30,18 см2;50,24 см2. Деформативно-прочностные характеристики бетонов приведены в таблице 1.  Таблица 1Прочностные и деформативные характеристики бетонов для численного экспериментаКлассбетонаRb,МПаRbt,МПаEbn,МПаebR´105ebtR´105В1511,01,1024000173,488,54В3022,01,7532500197,569,51В5036,02,4538000220,9810,72В7050,03,0041000240,3911,66  Значения соответствующих опорных точек для описания диаграмм деформирования арматурных сталей классов А240, А400 и А600 представлены в таблице 2, в которой приняты следующие обозначения:  bel – расчётный предел упругости;  sy (s0,2) - физический (условный) предел текучести;  su  – временное сопротивление разрыву;  ly – длина физической площадки текучести;  s0,5 – напряжение, при котором остаточная деформация в высокопрочной арматуре составляет 0,5%;  du – полное удлинение перед разрывом.В процессе численных исследований варьировали следующими исходными характеристиками: прочностью бетона (B15, B30, B50, B70); классами растянутой арматуры (A400; A600); содержанием растянутой арматуры в сечении элемента (ms=0,5 %, 1,0 %, 1,5 %; 2,0 %; 3,0 %; 5,0 %) при постоянном количестве сжатой арматуры класса А240 ( =0,5 %). Расчёты были выполнены для 20 балок. Таблица 2 Значения опорных точек для диаграмм деформирования арматуры классов А400 и А600Классарматурыbelsy (s0,2),МПаsu ,МПаly ,%s0,5 ,МПаEs ,МПаdu ,%А2400,972403802,0–20000025,0А4000,954006000,8–20000016,0A6000,4600900–7102000002,0  Полученные в процессе численных исследований результаты расчётов представлены в виде графиков «нагрузка – прогиб» на рисунках 5, 6, 7, 8. Их анализ позволяет выявить влияние рассматриваемых факторов на максимальные прогибы изгибаемых железобетонных элементов:качественный характер графиков, представленных на рисунках 5 и 6, свидетельствует о существенном влиянии на них такого свойства арматуры как наличие или отсутствие физической площадки текучести. Для арматуры класса А400 на всех графиках (см. рис. 5) наблюдается их излом, соответствующий проявлению свойства текучести данной арматуры; повышение прочности бетона от В15 до В70 при неизменном армировании (ms = 1,0 %) обеспечивает относительно небольшое повышение предельной величины равномерно-распределённой нагрузки (на 45 %), но предельные прогибы при этом возрастают в 5 раз (см. рис. 5), что даёт основание считать малоэффективным применение высокопрочного бетона в изгибаемых элементах с арматурой класса А400;аналогичное повышение прочности бетона при использовании арматуры класса А600 (ms = 1,0 %) обеспечивает существенно большее повышение предельной величины равномерно-распределённой нагрузки (в 2,3 раза), а предельные прогибы при этом возрастают в 3 раза (см. рис. 6), что свидетельствует о допустимости применения высокопрочных бетонов в изгибаемых элементах с арматурой класса А600;исследование влияния содержания рабочей арматуры класса А400 в изгибаемых железобетонных элементах при неизменной прочности бетона (В30), представленное на рис. 7, показывает, что повышение процента армирования в диапазоне от 1,5 до 3,0 % наиболее эффективно, так как при этом предельная величина равномерно-распределённой нагрузки увеличивается в 1,7 раза без изменения значений прогибов (менее 5%);аналогичное увеличение содержания рабочей арматуры класса А600, представленное на рис. 8, показывает, что повышение процента армирования в диапазоне от 1,0 до 5,0 % наиболее эффективно, так как при этом предельная величина равномерно-распределённой нагрузки увеличивается в 1,6 раза с уменьшением значений прогибов в 2,0 раза.   Рис. 5. Графики «нагрузка – прогиб» для изгибаемых железобетонных элементовпролётом 3 м с постоянным содержанием арматуры класса А400 (ms = 1,0%)в зависимости от прочности бетона: 1 – В15; 2 – В30; 3 – В50; 4 – В70  Рис. 6. Графики «нагрузка – прогиб» для изгибаемых железобетонных элементовпролётом 3 м с постоянным содержанием арматуры класса А600 (ms = 1,0%)в зависимости от прочности бетона: 1 – В15; 2 – В30; 3 – В50; 4 – В70  Рис. 7. Графики «нагрузка – прогиб» для изгибаемых железобетонных элементов пролётом 3 м с неизменной прочностью бетона (В30) в зависимости от различного содержания арматуры класса А400: 1 – 0,5 %; 2 – 1,0 %; 3 – 1,5 %; 4 – 2,0%; 5 – 3,0 %;  6 – 5,0 %  Рис. 8. Графики «нагрузка – прогиб» для изгибаемых железобетонных элементов пролётом3 м с неизменной прочностью бетона (В30) в зависимости от различного содержания арматуры класса А600: 1 – 0,5 %; 2 – 1,0 %; 3 – 1,5 %; 4 – 2,0 %; 5 – 3,0 %;  6 – 5,0 %  В заключение следует отметить, что поскольку представленная методика определения величин максимальных прогибов в изгибаемых железобетонных элементах построена без привлечения эмпирических зависимостей, то можно говорить о возможности её применения для любых классов и видов арматурных сталей и конструкционных бетонов.