кандидат технических наук;доктор технических наук;
candidate of technical sciences;doctor of technical sciences;
В работе предложен вычислительный метод решения дифференциальных уравнений математической физики путём аппроксимации искомого решения с помощью геометрических объектов многомерного пространства, проходящих через наперед заданные точки. Суть метода заключается в моделировании аппроксимирующего геометрического объекта многомерного аффинного пространства, построенного на регулярной многомерной сети точек. При этом в узловых точках сети вычисляются значения функции отклика, удовлетворяющие решению исходного дифференциального уравнения. Моделирование аппроксимирующего геометрического объекта осуществляется с помощью дуг алгебраических кривых, проходящих через наперёд заданные точки. Следует отметить, что учёт граничных условий не требует изменений геометрического алгоритма или точечных уравнений. Достаточно использовать необходимые координаты узловых граничных точек, соответствующие граничным условиям решения дифференциального уравнения. Для достижения необходимой точности решения дифференциальных уравнений достаточно уплотнить опорную сеть точек. При таких условиях возможно использование как единого геометрического объекта для аппроксимации решения дифференциального уравнения, так и составного, основанного на моделировании многомерных обводов на регулярной сети точек многомерного пространства. Предложена геометрическая классификация дифференциальных уравнений в зависимости от количества параметров, определяющих аппроксимирующий геометрический объект в многомерном пространстве. Приводится пример решения неоднородного уравнения теплопроводности с помощью аппроксимирующей поверхности отклика, проходящей через 16 наперед заданных точек. В данном случае искомый аппроксимирующий отсек поверхности отклика проходит через три прямых линии, которые соответствуют граничным условиям, и удовлетворяет решению исходного дифференциального уравнения в узловых точках 16-точечной сети. Также приводится сравнение результатов решения неоднородного уравнения теплопроводности аппроксимированного 16-точечным отсеком поверхности отклика с эталонным отсеком поверхности, полученным с помощью метода разделения переменных.
The paper proposes a computational method for solving differential equations of mathematical physics by approximating the desired solution using geometric objects of multidimensional space passing through predetermined points. The essence of the method is to simulate an approximating geometric object of a multidimensional affine space constructed on a regular multidimensional network of points. In this case, the response function values satisfying the solution of the original differential equation are calculated at the nodal points of the network. Modeling of approximating geometric object is carried out by means the arcs of algebraic curves passing through predetermined points. It should be noted that taking into account the boundary conditions does not require changes in the geometric algorithm or point equations. It is sufficient to use the necessary coordinates of the nodal boundary points corresponding to the boundary conditions of the solution of the differential equation. To achieve the required accuracy of the solution of differential equations, it is sufficient to compact the reference network of points. Under such conditions, it is possible to use as a single geometric object to approximate the solution of the differential equation, and composite, based on the simulation of multidimensional contours on a regular network of points of multidimensional space. A geometric classification of differential equations depending on the number of parameters determining the approximating geometric object in multidimensional space is proposed. An example of solving the inhomogeneous heat equation by means of an approximating response surface passing through 16 predetermined points is given. In this case, the required approximating compartment of the response surface passes through 3 straight lines that correspond to the boundary conditions and satisfies the solution of the original differential equation at the nodal points of the 16-point network. A comparison of the results of solving the inhomogeneous heat equation approximated by a 16-point compartment of the response surface with the reference compartment of the surface obtained by the method of separating variables is also presented.