Дается краткая история развития теории правильных многогранников. Работа знакомит с моделированием двух наиболее сложных правильных многогранников – тел Платона: икосаэдра и додекаэдра в AutoCAD. Предложено использовать способ построения икосаэдра и додекаэдра при помощи прямоугольников с отношением сторон в пропорции золотого сечения, взяв за основу золотые прямоугольники икосаэдра. Этот способ для икосаэдра известен и применяется, но крайне редко встречается для додекаэдра, и в литературе предложено его строить как фигуру, двойственную икосаэдру. В работе приведены сведения о первом упоминании этого способа построения итальянским математиком Л. Пачоли в книге «О божественной пропорции». В 1937 г. советский математик Д.И. Перепелкин опубликовал статью «Об одном построении правильного икосаэдра и правильного додекаэдра», где отметил, что этот «способ не пользуется достаточной известностью», и привел построение, основанное «исключительно на делении отрезка в среднем и крайнем отношении». Принимая во внимание простоту и наглядность построения на основе золотых прямоугольников, в статье выполнено компьютерное моделирование икосаэдра и додекаэдра, вписанных в куб. Причем, оперируя понятиями золотого сечения, большая сторона прямоугольника равна целому отрезку – стороне куба, а малые стороны прямоугольников икосаэдра и додекаэдра находятся как части пропорции золотого сечения (большей части и меньшей соответственно). Показано, как на основе схемы каркасного изображения двойственного соединения этих многогранников определить стороны прямоугольников с соотношением сторон в пропорции золотого сечения для построения «бесконечного» каскада этих дуальных фигур, а также для построения икосаэдра и додекаэдра, описанных около куба. Способ, основанный на применении прямоугольников пропорции золотого сечения, распространен на построение полуправильных многогранников – тел Архимеда: усеченного икосаэдра, усеченного додекаэдра, икосододекаэдра, ромбоикосододекаэдра и ромбоусечённого икосододекаэдра, в основе которых лежат икосаэдр и додекаэдр.
A brief history of the development of the regular polyhedrons theory is given. The work introduces the reader to modelling of the two most complex regular polyhedrons – Platonic solids: icosahedron and dodecahedron, in AutoCAD package. It is suggested to apply the method of the icosahedron and dodecahedron building using rectangles with their sides’ ratio like in the golden section, having taken the icosahedron’s golden rectangles as a basis. This method is well-known-of and is used for icosahedron, but is extremely rarely applied to dodecahedron, as in the available literature it is suggested to build the latter one as a figure dual to icosahedron. The work provides information on the first mentioning of this building method by an Italian mathematician L. Pacioli in his Divine Proportion book. In 1937, a Soviet mathematician D.I. Perepelkin published a paper On One Building Case of the Regular Icosahedron and Regular Dodecahedron, where he noted that this “method is not very well known of” and provided a building based “solely on dividing an intercept in the golden section ratio”. Taking into account the simplicity and good visualization of the building based on golden rectangles, a computer modeling of icosahedron and dodecahedron inscribed in a regular hexahedron is performed in the article. Given that, if we think in terms of the golden section concepts, the bigger side of the rectangle equals a whole intercept – side of the regular hexahedron, and the smaller sides of the icosahedron and dodecahedron rectangles are calculated as parts of the golden section ratio (of the bigger part and the smaller one, respectively). It is demonstrated how, using the scheme of a wireframe image of the dual connection of these polyhedrons as a basis, to calculate the sides of the rectangles in the golden section ratio in order to build an “infinite” cascade of these dual figures, as well as to build the icosahedron and dodecahedron circumscribed about the regular hexahedron. The method based on using the golden-section rectangles is also applied to building semiregular polyhedrons – Archimedean solids: a truncated icosahedron, truncated dodecahedron, icosidodecahedron, rhombicosidodecahedron, and rhombitruncated icosidodecahedron, which are based on icosahedron and dodecahedron.