Введение Электроискровое легирование - это метод улучшения физико-механических свойств поверхностей металлов и сплавов за счет воздействия коротких разрядных импульсов [1]. Быстрый ввод энергии во время разряда сопровождается электрической эрозией - разрушением поверхности электродов. Металл испаряется в поверхностных областях, близко расположенных к плазменному каналу, а нижележащие слои расплавляются. Жидкий металл выбрасывается под действием давления пара и плазмы разряда в форме шарообразных частиц. Помимо этого, из-за возникающих термомеханических напряжений в материалах электродов часто образуются трещины [2-4]. В результате многократных циклов нагрева и охлаждения металлов от их поверхности откалываются твердофазные микрочастицы. Таким образом, материал электродов может эродировать в парообразном, жидком и твёрдом состояниях.Расстояние между электродами небольшое - менее 1 мм, поэтому часть материала, эродированного во время разряда, осаждается на поверхность противоположного электрода, а другая часть улетает. Величина электрической эрозии анода, как правило, превышает эрозию катода, поэтому количество вещества, переносимого с анода на катод, больше, чем в обратном направлении [5-7]. При многократно повторяющемся разрядном воздействии на поверхности катода в результате формируется модифицированный поверхностный слой - электроискровое покрытие, которое состоит преимущественно из анодного материала.Эффективность электроискрового легирования оценивают по величине привеса катода DMк по сравнению с эрозией анода DMа [8]. Для этого вычисляют коэффициент массопереноса KM = DMк / ½DMа½. Чем меньше потери вещества при массопереносе с анода на катод, тем лучше. Коэффициент массопереноса зависит от многих факторов: теплофизических свойств материалов электродов, мощности и длительности разрядных импульсов, частоты их повторения, состава и давления газа [9]. Кроме того, он может изменяться в зависимости от размеров электродов, скорости и траектории движения анода. Поскольку этот вопрос слабо изучен, требовалось оценить влияние геометрических параметров электродов на процесс осаждения электроискровых покрытий. В нашей предыдущей работе [10] определены характеристики массопереноса между электродами с квадратными сечениями. Целью данной работы являлось моделирование процессов переноса вещества между электродами цилиндрической формы для установления кинетических зависимостей изменения масс электродов и расчета коэффициента массопереноса.   Математическая модель  Предлагаемая модель описывает эрозию вещества под действием искровых разрядов и перенос его с одного электрода на другой.  При воздействии разрядов необходимо учитывать, что анод движется вдоль поверхности катода по спирали от центра катода.Расстояние от центра анода до места разряда rра и расстояние между центрами анода и катода rс связаны между собой выражением . При этом .Для расчета коэффициента осаждения, равного вероятности попадания металла, эродированного с поверхности одного электрода во время разряда, на противоположный электрод, определялось отношение площади тени, создаваемой близлежащей плоскостью противоположного электрода на полусфере радиусом R, к площади этой полусферы при условии, что источник света находится в месте возникновения разряда и удален на расстояния rрк и rра от центров катода и анода соответственно. Длина межэлектродного промежутка равна L. Площадь тени от анода при расположении источника света на поверхности катода рассчитывается как    ,                                                (1)где  - радиальная координата точек пересечения полусферы с конусом, охватывающим границу нижней плоскости анода, с вершиной в месте расположения светового источника. Интегрирование (1) по первой переменной приводит к следующему виду: В итоге коэффициент осаждения материала катода на анод во время одного разряда можно найти из выражения .Вероятность попадания материала анода на катод во время одного разряда определяется аналогично:   Вероятности осаждения металлов определяются длиной межэлектродного промежутка, радиусами электродов и расстояниями от места возникновения разряда до осей анода и катода. Следует также учитывать, что разряды могут быть инициированы только на участках, где перекрываются поверхности анода и катода (показаны темно-серым цветом на рис. 1). Площадь перекрытия электродов уменьшается по мере приближения анода к краю катода, когда rc < Rк – Ra.При электроискровом легировании невозможно контролировать точное место возникновения разряда и трудно предсказать, какие микровыступы соприкоснутся при последующем приближении анода к катоду [5]. Поэтому следует учитывать средние значения коэффициентов осаждения на площади перекрытия электродов Sov:     Рис. 1. Определение расстояний от центровкатода и анода до точки разряда    .  Масса катода во время каждого разряда уменьшается из-за электрической эрозии (-mкi) и возрастает за счет поступления материала с противоположного электрода - анода ( ). Аналогичные явления происходят на аноде: масса анода во время каждого разряда уменьшается на величину -mаi и возрастает за счет поступления материала с катода ( ).Если энергия, длительность и частота разрядов в процессе ЭИЛ не изменяются, то можно предположить, что величины mai и mкi постоянны. Используя отношение масс эродированного вещества анода и катода за один разряд, , выражение для коэффициента массопереноса Km можно записать следующим образом: .   Результаты расчетов  Расчеты проведены при различных соотношениях между радиусами анода и катода: Ra/Rк = 1/5; 1/15; 3/5; 3/15 мм/мм. Длина межэлектродного промежутка L = 0,5 мм. Частота разрядов - 10 Гц. Константу α задавали равной 1,5, 2, 3, 5, сохраняя постоянным значение mк = 0,001 мг. Цилиндрический анод движется вдоль поверхности катода по траектории в форме спирали, начиная от центра до края катода. Расстояние между витками спирали - 1 мм. При этом линейная скорость передвижения анода v = 10 мм/с. Для вычислений согласно вышеописанной модели была создана программа на языке Си++.В результате расчетов было установлено, что коэффициенты осаждения вещества анода на катод больше коэффициентов осаждения с катода на анод (рис. 2). Когда анод находится в центральной области катода, коэффициенты  и  постоянны в разных участках этой области, но по мере приближения к краю катода  уменьшается, а  возрастает. В том случае, когда катод имеет радиус 5 мм, максимальное значение  = 0,9, а когда Rк = 15 мм,  = 0,98, при этом значение  для обоих случаев практически одинаково и равно 0,42.    Рис. 2. Средние значения коэффициентов осаждения металлов электродов за один проход анода поспирали вдоль поверхности катода: а - радиус катода 5 мм; б - радиус катода 15 мм; 1 - , Ra = 1 мм;2 - , Ra = 1 мм; 3 - , Ra = 3 мм; 4 - , Ra = 3 мм   Кинетические кривые изменения масс анода и катода для разных соотношений Ra/Rк и a показаны на рис. 3. При увеличении времени электроискрового легирования масса анода уменьшается, а масса катода увеличивается. Графики временных зависимостей Dm(t) имеют вид практически прямых линий, исходящих из нулевого значения. Небольшие перегибы линий при времени t = 10 c (рис. 3а, в) и t = 100 c (рис. 3б, г) вызваны изменением коэффициентов осаждения  и . Когда a повышается с 1,5 до 5, скорости эрозии анода и привеса катода повышаются: при осаждении покрытий на катод радиусом 5 мм в течение 3 проходов за 23 секунды рост Dmа составляет 4,3 раза (для Ra = 1 мм) и 5,5 раза (для Ra = 3 мм), а Dmк – 12,5 раза (для Ra = 1 мм) и 13 раз (для Ra = 3 мм); при осаждении покрытий на катод с Rк = 15 мм в течение 3 проходов за 220 секунд рост Dmа составляет 4,8 раза (для Ra = 1 мм) и 5,4 раза (для Ra = 3 мм), а Dmк – 89 раз (для Ra = 1 мм) и 90 раз (для Ra = 3 мм). Также следует отметить, что увеличение радиуса анода приводит к повышению привеса катода и уменьшению скорости эрозии анода, но эти изменения незначительны (менее 10 %).Зависимости коэффициента массопереноса от продолжительности электроискрового легирования представлены на рис. 4. Они имеют спадающий вид с впадинами в конце первого и третьего проходов анода вдоль поверхности катода. С увеличением числа проходов высота ступенек снижается, зависимость КМ принимает вид, близкий к линейному. Коэффициент массопереноса растет с увеличением отношения a и достигает 0,8-0,9, что говорит о малых потерях вещества в процессе его переноса между электродами при a = 5. Рассматривая осаждение покрытия на один и тот же катод, установили, что коэффициент массопереноса будет выше, если радиус анода больше. Параметр КМ увеличивается также с ростом площади поверхности катода. При повышении площади катода с 79 до 708 мм2 коэффициент массопереноса растет на 60 % для a = 1,5 и на 14 % для a = 5.   Рис. 3. Изменение масс катода (выше оси абсцисс) и анода (ниже оси абсцисс) за время, равное трем проходам анода вдоль поверхности катода. Отношение Ra/Rк: а - 1/5; б - 3/5; в - 1/15; г - 3/15. Отношение масс эродированного вещества анода и катода за один разряд: 1 - a = 1,5; 2 - a = 2; 3 - a = 3; 4 - a = 5  Рис. 4. Коэффициент массопереноса за три прохода анода вдоль поверхности катода. Отношение Ra/Rк: а - 1/5 (сплошная линия) и 3/5 (прерывистая линия); б - 1/15 (сплошная линия) и 3/15 (прерывистая линия). Отношение масс эродированного вещества анода и катода за один разряд: 1 - a = 1,5; 2 - a = 2; 3 - a = 3; 4 - a = 5 Заключение  Результаты вычислений показали, что размеры электродов оказывают влияние как на кинетические зависимости изменения масс электродов, так и на коэффициент массопереноса металлов при электроискровом легировании. Чем больше площадь катода, тем больше вероятность осаждения на его поверхность эродированного во время разряда вещества анода. Это приводит к росту привеса катода и увеличению толщины наносимого слоя. Коэффициент массопереноса можно также повысить, если анод при движении не будет выходить за границы поверхности катода, на которую наносится покрытие. Тем не менее наибольшего эффекта в массопереносе вещества анода на катод можно добиться, если эрозия материала анода во время единичного разрядного акта будет во много раз превышать эрозию материала катода. В этом случае коэффициент массопереноса может достигать значений, близких к 100 %. На практике это можно осуществить выбором энергетических параметров разрядных импульсов и предотвращением разрушения покрытия, осаждаемого на катод.Полученные выражения могут быть полезны при создании автоматизированных установок для электрофизической обработки материалов и выборе оптимального режима нанесения электроискровых покрытий.