Введение Традиционно для измерения шероховатости используют профилометры [1; 2]. Щуп профилометра, как правило, представляет собой конус с углом 90° и радиусом при вершине 2, 5 или 10 мкм. Геометрические размеры щупа создают первый источник погрешностей при измерении шероховатости. Относительно мелкие или узкие элементы поверхности будут не полностью измерены и искажены. В этом случае щуп осуществляет механическую высокочастотную фильтрацию микронеровностей. Уменьшение угла конуса или радиуса при его вершине приводит к увеличению контактного давления, что, в свою очередь, может вызвать заклинивание щупа или царапание измеряемой поверхности.Измерение шероховатости на сложных криволинейных поверхностях, а также труднодоступных участках, например в отверстиях малого диаметра, с помощью профилометров затруднительно [3-5]. Вместе с тем такая задача достаточно часто встречается на практике [6-11]. Тогда целесообразным становится применение координатно-измерительных машин (КИМ). Современные КИМ в большинстве случаев оснащают сферическими щупами диаметром 0,1, 2, 8 мм. С увеличением диаметра щупа увеличивается производительность контроля при прочих равных условиях. Наименьшее из известных значений радиуса сферы наконечника 0,03-0,01 мм имеется у КИМ фирмы «Лапик» - единственного отечественного производителя координатно-измерительных машин. Также КИМ имеет большую дискретность отсчета - 5 мкм, в то время как у профилометра она обычно составляет 0,5 мкм. Получение шага менее 5 мкм возможно, но требует большего времени при контактном способе. Использование сканирующих датчиков контакта позволяет многократно увеличить число измеренных точек, но при этом увеличивается погрешность. Таким образом, специфика измерения шероховатости с применением КИМ обусловливает необходимость оценки влияния радиуса щупа на параметры шероховатости. Для этого необходима математическая модель контакта сферического щупа и шероховатой поверхности. Постановка задачи Для аналитического описания измерения на КИМ требуется решение нескольких последовательных и взаимосвязанных задач: компенсация радиуса сферического щупа, выравнивание систем координат КИМ и детали, фильтрация результатов и исключение грубых ошибок. Компенсация радиуса сферического щупа позволяет получить координаты точек касания с поверхностью на основе координат центра щупа. Выравнивание систем координат исключает из рассмотрения номинальный профиль, что важно для криволинейных поверхностей. Фильтрация призвана отсечь шум (вибрации), а также выявить дефекты поверхности.Одной из важных задач при измерении шероховатости является обоснование выбора метода фильтрации. Традиционно применяют три типа фильтров, имеющих одну передаточную функцию, но разные длины отсечки (ISO 16610-1:2006): 2RC - линейный Гаусса; 2RC PC - линейный Гаусса с коррекцией фазы; фильтр двойной фильтрации Гаусса - фильтр подавления впадин. Для КИМ, в отличие от профилометров, не делают аппаратную фильтрацию, поэтому данный вопрос остается актуальным. Вопросы фильтрации изложены в работах [12; 13].Таким образом, при измерении шероховатости на КИМ актуальной будет задача определения влияния радиуса щупа на параметры шероховатости. Для этого необходимо разработать математическую модель контакта щупа и измеряемой поверхности. Указанная задача в известной литературе описана только с эвристической точки зрения [1]. Попытка аналитического описания была предложена в работе [14]. В настоящей статье представлено развитие аналитической модели и приведены результаты математического моделирования на основе реальных данных и с использованием метода Монте-Карло.  Математическая модель измерения Математическая модель плоского контакта сферического щупа и шероховатой поверхности построена на положениях аналитической геометрии. Расчетная схема приведена на рис. 1. В качестве исходных данных выступают: исходный профиль поверхности в виде координат (xi, yi), радиус r сферического щупа, дискретность Dxj перемещения щупа вдоль измеряемого профиля.  Рис. 1. Расчетная схема измерения шероховатости  Исходные допущения модели:профиль шероховатой поверхности задан дискретно, так как аналитическое описание отсутствует;погрешность формы и расположения поверхности исключена до рассмотрения шероховатости;центр сферы щупа рассматривается в плоскости профиля измеряемой поверхности, поэтому его сечение представляет собой окружность с радиусом, равным радиусу сферы;направление подвода щупа совпадает с направлением координатной оси Y;радиус щупа больше, чем дискретность Dxj перемещения, поэтому контакт осуществляется только в точках xi;фильтрация шероховатости выполняется стандартными методами.Аналитическое описание процесса измерения сводится к следующему. Сферический щуп (окружность в сечении) перемещается по оси из некоторого исходного положения yj, заведомо с зазором до поверхности, до касания с точкой поверхности. Касание находится в результате расчета минимального зазора между окружностью щупа и всеми точками поверхности в пределах диаметра щупа. Для этого решается параметрическое уравнение окружности, приравненное к xi, относительно угла ji. После этого центр окружности 0j смещается в направлении поверхности на величину Di min.Схема алгоритма расчета представлена на рис. 2. Точка касания окружности щупа и профиля находится численным методом, исходя из минимума начального зазора Di min.                                                      Рис. 2. Схема алгоритма моделирования измерения                                                                                      шероховатости  Организуется два вложенных цикла: по j от 1 до n и по i от 1 до m, где m - число точек измеряемого профиля, n - число положений щупа при измерении. В общем случае числа n и m не равны, но для последующего моделирования они приняты равными. В первом цикле моделируется перемещение щупа по длине измерения по дискретно заданным координатам xj, yj. Вертикальное положение yj min соответствует минимальному расстоянию xi min между окружностью щупа и дискретно заданным профилем поверхности. Во втором (внутреннем) цикле определяются расстояния от всех точек профиля до окружности в пределах от xj – r до xj + r. Затем из этих расстояний выбирается минимальное значение xi min. Предполагается, что именно эта точка станет точкой контакта при вертикальном перемещении щупа.   Моделирование измерения шероховатости На основе разработанных математической модели контакта щупа и шероховатой поверхности и программы расчета выполнены тестовые примеры для предварительно измеренной на профилометре поверхности. Для получения статистически достоверных данных проведено моделирование измерения 100 профилей, полученных по методу Монте-Карло по аналогии с работой [10]. Исследовались параметры шероховатости: среднеарифметическое отклонение профиля Ra, наибольшая высота профиля Rmax, среднеквадратичное отклонение профиля Rq. Усредненные данные по результатам моделирования приведены в таблице. ТаблицаИзмеренные параметры шероховатости в зависимости от радиуса щупаПараметры шероховатостиРадиус щупа, мкм52050100Ra, мкм0,860,840,800,78Rmax, мкм1,541,541,401,34Rq, мкм20,690,680,670,63  Пример на рис. 3 иллюстрирует моделирование измерения шероховатости поверхности с различными радиусами сферического щупа (5, 20 и 100 мкм). Дискретность отсчета по оси X составляла 5 мкм, дискретность отсчета по оси Y - 0,1 мкм. Из профиля предварительно была исключена постоянная составляющая на основе фильтрации Гаусса. Рис. 3. Моделирование измерения шероховатости сферическим щупом:а - исходный профиль; б - радиус 5 мкм; в - радиус 20 мкм; г - радиус 100 мкм  Анализ результатов моделирования показал, что с увеличением радиуса сферического щупа уменьшается его проникающая способность. Поэтому происходит недоощупывание профиля, что уменьшает получаемые значения Ra, Rmax, Rq на 10-20 %. Шаговые параметры профиля, например средний шаг неровностей Sm, искажаются незначительно.    Заключение Проведенные исследования позволяют сделать вывод, что измерение шероховатости с применением координатно-измерительных машин дает положительный результат при использовании сферических щупов диаметром 0,01-0,03 мм.