Введение. В России около 80 % всего объема выпуска железобетона приходится на различные виды плоских и линейных конструкций (плиты пустотного настила, балки, ригели и др.) [1]. С целью их получения широко используют технологические комплексы (агрегатно-поточный, конвейерный, стендовый), определяющие общие удельные энергозатраты, производительность, ассортимент и себестоимость выпускаемой продукции [2–4].Производство преднапряжённого железобетона, полученного непрерывным безопалубочным способом формования, относится к числу прогрессивных технологий и заслуженно пользуется популярностью в последние годы у производителей [5].Реализация этого способа осуществляется машинами, перемещающимися относительно неподвижного стенда, и выполняющими различные технологические функции, центральными из которых являются формообразование и уплотнение бетонной массы [6, 7]. Среди машин данного назначения наибольшее эксплуатационное применение, с долей около 72 %, на заводах и предприятиях РФ заняли формующие агрегаты объёмного вибровоздействия [8, 9]. Платформа, входящая в конструкцию, и являющаяся одним из основных органов этих машин, приводит посредством вибровозбудителя в колебательное движение вязкую бетонную среду. В ее устройстве предусмотрены возможности конструктивных и технологических изменений для совершенствования, часть из которых касается режимов работы, включающих параметры вибрационного воздействия определённой продолжительности [10, 11]. Предлагаются и условия, обеспечивающие процесс передачи виброколебаний на бетонную среду непосредственно закреплёнными на платформе пуансонами. Однако, их влияние на вибровоздействие в процессе уплотнения бетонной среды недостаточно изучено, что значительно усложняет подбор рациональных значений рассматриваемых параметров для получения бетонной массы плотной структуры.Обычно, в качестве определяющих эффективность вибрационного воздействия характеристик, отмечают амплитудно-частотный режим колебаний и длительность его воздействия [12–15]. Вместе с тем, встречаются работы [16, 17], в которых отмечается, что ее эффективного уплотнения можно достичь изменяя, в зависимости от реологических свойств бетонной смеси, виброскорость колебательного воздействия.Методология. Описание распространения колебаний, передаваемых платформой (виброформой) на вязкую бетонную среду с заданной частотой и амплитудой, можно произвести на основе уравнения Навье – Стокса.Опишем распространение вибрационных колебаний в вязкой среде, излучаемых поверхностью помещённого в бетон пуансона – пустотообразователя цилиндрической формы, применяемого при изготовлении пустотных изделий в виде плит перекрытия. Так как вибрирующая цилиндрическая поверхность обладает аксиальной симметрией, то математическое описание процесса распространения колебаний следует провести в цилиндрической системе координат (r, φ, z) с центром на оси симметрии (рис. 1).В силу её аксиальной симметрии вектор скорости частиц в вязкой среде будет иметь отличную от нуля лишь радиальную компоненту вектора скорости υr, изменение которой, будет зависеть от времени "t" и радиального размера "r" – удаленности рассматриваемой частицы от центра цилиндра. Поэтому применительно к рассматриваемому случаю изменение скорости смещения частиц бетонной смеси будет описываться уравнением вида: где ν – коэффициент кинематической вязкости; Δr – радиальная часть оператора Лапласа.Рис. 1. Иллюстрация распространения вибрации в вязкой бетонной среде, возбуждаемой поверхностью погружённого в бетон цилиндрического пуансона В свою очередь, скорость колебаний поверхности цилиндра υ0 задаёт начальное значение скорости распространения колебаний вязкой среды и определяется: где A0 и ω0 – амплитуда и частота колебаний поверхности цилиндра пуансона.Решение уравнения, описывающего распространение колебаний в бетонной среде, находим в рамках линейной комбинации тригонометрических функций синус и косинус: где A1(r) и A2(r) – амплитуды гармонических колебаний, изменение значений которых происходит в радиальном направлении.На основании (3) находим: На основании тождества (4) получаем следующие уравнения: Полученные соотношения (5), (6) представляют собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для нахождения неизвестных функций A1(r) и A2(r). Поиск решений (5), (6) проведём в поле комплексных чисел. где и введём параметр: Уравнение (7) можно привести к виду: здесь r1 – безразмерный аргумент, связанный с радиальным размером соотношением: С математической точки, уравнение (10) представляет собой уравнение Бесселя, решение которого является линейная комбинация модифицированных функций Бесселя I1(r1) и K1(r1): где c1, с2 – произвольные постоянные.По данным работы [18] модифицированная функция Бесселя I1(r1) является неограниченно возрастающей функцией при увеличении аргумента, а функция K1(r1) с ростом аргумента наоборот монотонно убывающей.В силу того, что функция z(r1) должна удовлетворять соотношению:  где неравенство означает ограниченность функции (12), а его применение к выражению (12) приводит к необходимости приравнять к нулю первое слагаемое этой функции, необходимо положить равенство нулю произвольной постоянной c1.Поэтому решение уравнения (10) имеет вид: Постоянную величину c2 можно найти из начального условия:где R0 – радиус основания цилиндрической поверхности пуансона.Решение уравнения (3) можно привести к виду:     где: Применив (14) к решению уравнения (13) находим: На основании решения (13) с учётом (18) находим:где l – кратчайшее расстояние от цилиндрической поверхности пуансона с радиусом R0 до рассматриваемой колеблющейся в бетонной среде частицы (глубина проникновения колебаний).Подстановка (19) и (20) в (15) и (14) приводит к следующему результату:)Полученные соотношения (21) и (22) определяют соответственно изменение амплитуды и сдвига фазы скорости распространения колебаний в вязкой бетонной среде.Основная часть. Полученные выражения применим к описанию поэтапного виброуплотнения бетонной смеси виброформой с цилиндрической поверхностью пуансонов, состоящей из двух частей и колеблющихся с различными частотами и амплитудами [19]. Построим графические зависимости изменения амплитуды и сдвига фазы скорости распространения колебаний от частоты колебаний поверхности пуансонов ω0 и радиального размера r. Примем радиус цилиндрической поверхности пуансона, в соответствии с промышленно изготавливаемыми изделиями, R0 = 0,078 м, а плотность бетонной смеси ρ равной 2400 кг/м3.Графики функций Ap(r) от ω0 при r = 0,078…0,100 м (рис. 2) имеют монотонно возрастающий характер до некоторых значений ω0, различных для каждой из частей виброформы. Из зависимостей следует, что с увеличением частоты колебаний ω0 первой части виброформы от 35 Гц до 55 Гц, при амплитуде A0 = 0,0007 м (рис. 2, a), амплитуда скорости распространения колебаний у основания поверхности пуансона возрастает линейно с 0,0255 до 0,0385 м/с, т.е. на 50,9 %. Меньший прирост амплитуды скорости распространения колебаний у основания цилиндрической поверхности пуансона наблюдается для второй части виброформы. Так, при A0 = 0,0004 м, изменение частоты колебаний ω0 от 55 Гц до 75 Гц и постоянной r = 0,078 м, приводит к возрастанию Ap(r) на 0,008 м, т.е. на 36,4 %. Значения амплитуды скорости распространения колебаний Ap(r) зависят и от величины амплитуды колебаний поверхности цилиндра A0. Рис. 2. Зависимости изменения амплитуды скорости распространения колебаний Ap(r) от частоты колебаний поверхности цилиндрического пуансона ω0 и радиального размера r: a – для первой части виброформы при A0 = 0,0007 м; b – для второй части виброформы при A0 = 0,0004 мРассмотрим изменение величины Ap(r) на исследуемом диапазоне значений r. Изменение амплитуды скорости распространения колебаний Ap(r), при удалении частицы материала от поверхности пуансона, носит нелинейный резко убывающий характер. Это характеризует затухание колебаний на относительно небольшой, в сравнении с R0, глубине их проникновения. По мере затухания колебаний изменяется характер зависимости Ap(r) от ω0. Так, для первой части виброформы при радиальном размере r = 0,085 м (глубина проникновения колебаний l = 0,007 м) наблюдается отсутствие влияния частоты колебаний поверхности цилиндрического пуансона ω0 на изменение величины амплитуды скорости распространения колебаний, которая принимает значение Ap(r) = 0,0043 м/с (рис. 2, a). Для второй части виброформы аналогичное явление наблюдается при r = 0,084 м (l = 0,006 м), где величина амплитуды скорости распространения колебаний принимает значение Ap(r) = 0,0034 м/с (рис. 2, b). Амплитуда скорости распространения колебаний, по мере отдалённости от поверхности пуансона, в бетонной среде первой части виброформы уменьшается в 8,2 раза, а во второй части виброформы – в 8,8 раза.Рис. 3. Зависимости изменения сдвига фазы скорости распространения колебаний φ0 от радиального размера r:  a – для первой части платформы при A0 = 0,0007 м; б – для второй части платформы при A0 = 0,0004 мГрафические зависимости изменения сдвига фазы скорости распространения колебаний φ0 от r, (рис. 3), носят линейный, убывающий характер. По мере удаления частиц материала от поверхности пуансона изменяется фаза скорости распространения колебаний. При этом величина промежутка с положительной фазой скорости распространения колебаний зависит от частоты колебаний поверхности пуансонов ω0. Так в промежутке, ограниченном поверхностью пуансона и r = 0,0832 м, при ω0 = 55 Гц, скорость распространения колебаний имеет положительную фазу, за его пределами – отрицательную. Для второй части виброформы при ω0 = 75 Гц рассматриваемые промежутки разделяются радиальным размером r = 0,0824 м.Выводы. Получены аналитические выражения, позволяющие описать изменения амплитуды и сдвига фазы скорости распространения колебаний в вязкой бетонной среде применительно к виброформе с цилиндрическими пуансонами.С использованием построенных графических зависимостей для виброформы с пуансонами радиусом R0 = 0,078 м выполнен анализ исследуемых параметров в зависимости от частоты колебаний их поверхностей ω0 (для первой части виброформы ω0 = 35…55 Гц, для второй – 55…75 Гц), радиального размера r (r = 0,078…0,100 м) при амплитуде колебаний A0 = 0,0004 м и A0 = 0,0007 м соответственно первой и второй частей виброформы.Установлено влияние на изменение амплитуды и сдвига фазы скорости распространения колебаний в вязкой бетонной среде частоты и амплитуды колебаний поверхностей пуансонов, радиального размера r.Источник финансирования. Статья подготовлена в рамках программы развития опорного университета на базе БГТУ им. В.Г. Шухова.