Введение. Проектирование строительных конструкций в настоящее время основывается на их расчете по методу предельных состояний. Предельным считается состояние, при котором конструкция перестает удовлетворять эксплуатационным требованиям. Различают две группы предельных состояний. Первая группа квалифицирует непригодность конструкции к эксплуатации по причине потери несущей способности, вторая - нарушение функционирования по таким причинам, как чрезмерные деформации, образование и раскрытие трещин.Расчет по второй группе предельных состояний содержит условие, чтобы перемещения элементов конструкции под нагрузкой не превышали предельного значения, определяемого нормами. При этом актуальной является проблема определения перемещений элементов строительных конструкций, находящихся в упруго-пластической стадии деформирования [1–13]. Методика исследования. В данной работе решение указанной выше проблемы осуществляется применительно к статически неопределимой балке с учетом выполнения нормативных требований (СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия». Актуализированная редакция СНиП 2.01.07-85*). В основу расчета положена диаграмма Прандтля [14–16], начальный участок которой свидетельствует о линейно-упругом деформировании материала вплоть до предела текучести  σy . За ним следует площадка текучести с теоретически неподдающимся ограничением и постоянными деформациями при напряжении σy .Расчет по первой группе предельных состояний ведется при расчетной нагрузке, а по второй - по ее нормативной величине. Исчерпание несущей способности балки сочетается с образованием определенного числа пластических шарниров [17, 18], превращающих геометрически неизменяемую систему в механизм. Из этого условия устанавливается предельная нагрузка. Естественно, при определении перемещений учитывается ее доля, соответствующая нормативной нагрузке. Этот факт имеет формальный характер и не влияет на разработку метода определения перемещений.Основная часть. В качестве примера примем двухпролетную балку, нагруженную силами F так (рис. 1, а), что наибольший изгибающий момент в пролете оказывается равным его аналогу на опоре (рис. 1, б). В этом случае возможно не поэтапное, а одновременное возникновение трех пластических шарниров, превращающих балку в механизм, что приводит к непосредственной картине упруго-пластического состояния балки в момент потери ее несущей способности.   Рис. 1 Двухпролетная балка:а – расчетная схема,  б – эпюра моментов  Для этого состояния представим расчетную схему балки в ином виде (рис. 2, а). На эпюре изгибающих моментов (рис. 2, б) введены обозначения:M(y) – момент, соответствующий появлению пластических деформаций в крайних волокнах по высоте поперечного сечения балки;M(y) lim – предельный момент, соответствующий появлению пластического шарнира.  Рис. 2 Левый пролет на рис. 1: а – расчетная схема, б – эпюра моментов  При этом M(y)=σyW=σybh26 , а Mylim==σyW(y)=σybh24 , где b и h – ширина и высота сечения балки, W – момент сопротивления изгибу, W(y)  – ее аналог в пластическом шарнире. Таким образом, Mylim=0,17 Flim⁡l= 14σybh2 , откуда Flim⁡=1,47 σybh2l .Рассматривая последовательно участки балки с текущими координатами x1(0≤x1≤0,41l) , x2(0,41l≤x2≤0,705l) , x3(0,705l≤x3≤l) , из условия M=M(y)  составляем уравнения для определения координат балки с начальными пластическими деформациями. Для первого участка такое уравнение имеет вид:0,42∙1,47σybh2lx10=σybh26, откуда x10=0,27l.  Аналогично находим x20=0,51l; x30=0,9l. Таким образом, упруго-пластические области в балке имеют границы: 0,27l≤x≤0,51l ; 0,9l≤x≤l. Известно, что формула Мора–Максвелла для перемещений применяется при линейно-упругих деформациях. Чтобы использовать ее в упруго-пластической стадии деформирования материала, вводится приведенный момент.По гипотезе плоских сечений эпюре напряжений, показанной на рис. 3, а сплошной линией, соответствует эпюра деформаций на рис. 3, б. Для эпюры напряжений, продолженной штрихами, соответствующей линейно-упругому материалу, эпюра деформаций не изменится.  Рис. 3. Эпюра напряжений (а) и деформаций (б) в поперечном сечении   Фактической эпюре напряжений соответствует момент М, а условной эпюре – приведенный момент Mred. В данном случае имеем [19]:Mred=M(y)3-2MM(y) . (1)Отсчитывая на каждом участке балки с напряжениями σ>σy  локальную координату x  от большей ординаты Mb в направлении меньшей граничной ординаты Mа, представим уравнение в виде:M=Mb-Mb-Mallocx ,       (2)где lloc – длина участка балки, материал которой находится в упруго-пластическом состоянии.Выражение (1) принимает вид:Mred=M(y)3-2My(Mb-Mb-Mallocx) . (3)Для вычисления интегралов в формулеМора–Максвелла по правилу Верещагина необходимо установить площадь и координату xc  центра тяжести эпюры Mred.Площадь эпюры Mred  равна:ω=0llocMreddx,                     (4)статический момент эпюры Mred: S=0llocMredxdx,               (5)расстояние до центра тяжести эпюры Mred от большей ординаты – x0=Sω.                               (6)Балку разбиваем   на  6    участков: 1) 0≤x≤0,27l;  2) 0,27l≤x≤0,41l;  3) 0,41l≤x≤0,51l;  4) 0,51l≤x≤0,705l;  5) 0,705l≤x≤0,9l;  6) 0,9l≤x≤l.  1-му, 4-му и 5-му участкам присущи линейно-упругие деформации, 2-й, 3-й и 6-й участки находятся в упруго-пластическом состоянии.Принимая во внимание, что в рассматриваемом случае Mylim⁡=1,5My  и используя формулы (4) – (6), находим для второго участка:   ω=0,28Myl ; S=0,013Myl2; x0 =0,046l;  для 3-го    и 6-го участков: ω=0,2Myl ;  S=0,0067Myl2; x0=0,033l. Перемещение в точке К балки определяется по формулеf=1EIωy, (7) где y – координата эпюры M от единичной силы в точке К, взятая в точке, соответствующей центру тяжести площади ω;Е – модуль продольной упругости,I – момент инерции поперечного сечения балки.Вычислим перемещение в точке приложения силы F, то есть fF .В табл. 1 представлены необходимые данные, в том числе указанные значения y с «единичной» эпюры, имеющей вид треугольника с максимальной ординатой 0,242l. Таблица 1Компоненты формулы (7) № участка123456ω, M(y)l0,1350,280,20,098-0,098-0,2x0 , l0,180,3640,4430,5610,8480,967y, l0,110,210,230,180,070,01  В итоге получаем:fF=0,128M(y)l2EI. (8)Полученная формула выражает вертикальное перемещение в момент исчерпания несущей способности конструкции. Расчет по второй группе предельных состояний ведется по нормативной нагрузке, которая в определенной мере меньше ее предельного значения. В этом случае      Mylim⁡   ≠1,5My,  ввиду отсутствия пластических шарниров, и формула (8) имеет другой коэффициент (см. ниже).Для определения границ упруго-пластических областей остается прежнее условие: M=M(y) .Следует отметить, что в расчете не учитывалось влияние поперечных сил, которые по имеющимся данным [20] оказывают не столь значительное влияние  на перемещения балки.Для проверки теоретических формул, полученных по предложенной методике, были проведены эксперименты (рис. 4). В одном из них испытывалась двухпролетная балка из дюралюминия. Предварительно были получены механические характеристики материала:σy=343 МПа, E=7,17∙104 МПа.   Рис. 4. Экспериментальная установка  Балка имела пролеты l=50 см, ширину сечения b= 3 см, высоту сечения h=0,42 см.Предельная нагрузка определена из уравненияM(y)lim=0,17Fliml=14σybh2 и составила 534Н.С учетом того, что момент M(y) равен 16σybh2 , то есть в 1,5 раза меньше M(y)lim, его появление   в сечении под   силой   F будет соответствовать нагрузке 356 Н. Интервал нагружения балки находился в пределах от 0 до 428 Н. Балка имела упруго-пластические области 16,83 см≤x≤22,97 см, 47,53 см≤x≤50  см. Формула для перемещений имеет вид:fF=0,072M(y)l2EI. (9)С учетом исходных данных, в том числе M(y)=3025 Н∙см, теоретическое значение перемещения при нагрузке 428 Н равно fF=4,1 см. Эксперимент выявил зависимость F~f , приемлемую для обеих стадий деформирования материала балки. При нагружении в пределах до 356 Н отклонения от линейного графика составили  1–1,5 % от теоретических значений. В дальнейшем наблюдалось искривление графика в связи с развитием пластических деформаций. При нагрузке 428 Н перемещение составило 3,97 см, что на 3,3 % отличается от теоретического значения. Выводы. Формула Мора–Максвелла получила распространение на случай упруго-пластических деформаций в элементах конструкции. Теоретические результаты подтверждены экспериментом. Практическое использование методики исследования деформирования несущих конструкций за пределом упругости связано с их расчетом по второму предельному состоянию, что в конечном итоге позволяет определить оптимальные параметры сечений элементов.