ВведениеРазвитие любой социально-экономической системы в значительной степени зависит от организации и претворения в жизнь рациональной инновационной политики. Реализация такой политики объективно нуждается в наличии сформированного механизма привлечения инвестиций в инновационную деятельность [1−5]. При этом привлечение инвестиций, как правило, осуществляется в форме соответствующих инвестиционных проектов. В рыночной экономике цель инвесторов заключается в обеспечении достаточной (а в идеале − максимально возможной) в сложившихся условиях прибыли от использования инвестируемых ценностей (средств). Прибыль от их использования в существенной мере определяется временем окупаемости инвестиций в инновационные проекты [6−13]. В связи с этим имеет место важная практическая задача оценки времени их окупаемости. На этапе инициации инновационных проектов ее решение осуществляется в условиях существенной неопределенности [14–17, 25]. Учет этой неопределенности, в частности, обеспечивается применением соответствующих стохастических моделей оценки сроков окупаемости инвестиций в инновационные проекты. Целью данной статьи является разработка методического подхода к построению стохастической модели оценки сроков окупаемости инвестиций в инновационные проекты в условиях ограниченности исходной статистической информации. Типовая исходная статистическая информация для оценки окупаемости инвестиций Особенности инновационных проектов состоят в уникальности. Поэтому на этапе их инициации исходная статистическая информация, как правило, исчерпывается знанием объемов инвестиций и сроков окупаемости достаточно небольшого количества проектов, близких по характеристикам к оцениваемому.Вариант представления этой информации приведен в табл. Таблица Окупаемость инвестиций в инновационные проектыИдентификатор проекта (n)12…NОбъем инвестиций (Ci)C1C2…CNСрок окупаемости (Ti)T1T2…TNСредний темп окупаемости …  Различие инновационных проектов приводит к различию необходимых для их реализации объемов инвестиций, а следовательно, и времени их окупаемости. Поэтому имеющиеся на этапе инициации инновационных проектов аналоги неоднородны по этим показателям. Вместе с тем средние темпы окупаемости близких инновационных проектов являются более устойчивыми [18−20]. Именно они определяют однородность рассматриваемых проектов. Это обусловило целесообразность включения средних темпов окупаемости проектов в таблицу исходных данных.  Формализованное представление модели Срок  окупаемости инвестиций в рассматриваемый инновационный проект определяется соотношением  ,                                                                                                               (1)где    C – объем инвестиций в инновационный проект;  − средний темп окупаемости инвестиций в инновационный проект.В соотношении (1) величина V, а следовательно, и величина T являются случайными. Наиболее полную информацию о случайной величине содержит функция ее распределения. Поскольку каждое значение величины T однозначно определяется значением величины V, то функция распределения случайной величины V содержит полную информацию и о случайной величине T. Следовательно, для оценки срока окупаемости инвестиций в инновационный проект достаточно определить функцию                                                                                                    (2)распределения случайной величины V. Исходную статистическую информацию для ее определения составляет приведенная в табл. выборка                                                                                                         (3)из генеральной совокупности распределения случайной величины V.Особенность этапа инициации инновационного проекта состоит в невозможности формирования достаточно большого объема выборки (3). Это приводит к необходимости определения функции (2) по малой выборке. Если объем выборки (3) позволяет оценить только математическое ожидание случайной величины V темпов окупаемости инвестиций в оцениваемый инновационный проект, то в качестве функции (2) для этой величины в соответствии с принципом максимума энтропии целесообразно принять экспоненциальное распределение [21−23] ,                                                                                   (4)где ;                                                                                                                  (5)m – оценка математического ожидания случайной величины V.Оценка m определяется соотношением .                                                                                                        (6)Она представляет собой выборочное среднее случайной величины V и, в свою очередь, является случайной величиной, распределенной в соответствии с гамма-распределением с параметром формы N, равным объему выборки (3) и параметром масштаба .                                                                                                                 (7)Для доказательства этого рассмотрим характеристическую функцию распределения (4). Она имеет вид ,                                                                                               (8)где  − мнимая единица.Так как выборка (3) по определению может рассматриваться как набор независимых случайных величин, имеющих функции распределения, совпадающие с (4), то на основании мультипликативного свойства характеристическая функция распределения случайной величины m выборочного среднего равна .                                                                                       (9)Из (9) следует, что функция f(m) плотности распределения выборочного среднего равна .                                                                  (10)Из (10) следует (см. [24]), что ,                                                                                     (11)т.е. выборочное среднее является случайной величиной, распределенной в соответствии с гамма-распределением. С учетом закона (11) распределения параметра m, математическое ожидание  значения функции (2) равно .                               (12)Обозначим . Тогда соотношение (12) примет вид .                                                                                     (13)Интеграл в (13) является табличным (см.[24] с. 354). Поэтому окончательно получим ,                                                                   (14)где  − цилиндрическая функция (модифицированная функция Бесселя третьего рода) (см. [24] с.  965).Функция в (14) определяется соотношением  (15)где  − пси-функция Эйлера.С учетом (14) вероятность  того, что средний темп окупаемости инвестиций в инновационный проект будет не ниже величины v, определяется соотношением .                                                                           (16)С учетом (1) для окупаемости за время T инвестиций объема S в рассматриваемый инновационный проект, средний темп v их окупаемости должен быть равен .                                                                                                                           (21)Следовательно, величина  отражает и вероятность окупаемости указанных инвестиций за время, не превышающее соответствующее (17) время T.4. ЗаключениеОсновные задачи экономики решаются с помощью инвестиций. В рыночной экономике цель инвестиций, как правило, состоит в максимизации прибыли от использования инвестируемых ресурсов. Объем прибыли в существенной мере зависит от сроков их окупаемости. Следовательно, имеет место проблема оценки окупаемости инвестиций. Особенно остро она проявляется при обосновании решений по инвестированию инновационных проектов. Предложенный в статье методический подход к построению моделей оценки окупаемости инвестиций в инновационные проекты позволяет учитывать характерную для этапа инициации этих проектов ограниченность исходной статистической информации. Универсальный характер подхода обеспечивает возможность его использования при разработке конкретных моделей для систем поддержки принятия решений при управлении инновационной деятельностью.