Показано, что известные методы скалярного и векторного перемножения непригодны в теоретической электротехнике, где токи, напряжения и сопротивления аппроксимируют направленными отрезками, с которыми необходимо выполнять все арифметические операции. В основу математического обоснования предлагаемого графического векторного исчисления положены пары чисел, называемые координатами точки, для которых известен аппарат математических манипуляций. Новизна состоит в том, что названным точкам придан статус конечной точки вектора, исходящего из начала отсчета системы координат. Подтверждением данного допущения служит известный механизм векторного сложения/вычитания. Графическое изображение суммы (разности) векторов на обычной (не комплексной) плоскости согласно излагаемому методу полностью подчиняется известному правилу параллелограмма. Механизм умножения/деления пар чисел позволил сформулировать правило графического выполнения аналогичных действий. Длина вектора произведения на обычной плоскости есть произведение длин векторов сомножителей (модулей), а угол наклона (аргумент) равен сумме их аргументов. Приводимые зависимости полностью совпадают с аналогичными приемами в теории функций комплексного переменного, где подобные действия осуществляются на комплексной плоскости, в которой ось ординат является мнимой. Это же относится и к операции деления векторов. Произведен расчет суммарного сопротивления участка цепи синусоидального тока, содержащего активное, индуктивное и емкостное сопротивления. При этом показан оригинальный прием одновременного графического выполнения операций сложения, умножения и деления векторов.
It is shown that the known methods of scalar and vector multiplication do not fitfor theoretical electrical engineering, where current, voltage and resistance approximate directed segments, with which all arithmetic operationsmust be performed. The mathematical reasoning of the proposed graphical vector calculus relies on number pairs called “point position” with known apparatus of mathematical manipulations. The novelty is that these mentioned points are given the status of the endpoint of the vector emanating from the origin point of coordinate system. Theknown mechanism of vector addition/subtractionconfirms this assumption. Graphical representation of the sum (difference) of vectors on aordinary (non-complex) plane according to the described method completely subordinates to the well-known parallelogram rule. The mechanism of multiplication/division of number pairs made it possible to formulate the rule of graphical performance of similar operations. Vector length on the normal plane is the product of the vectors’lengthsof cofactors (modules), and the tilt angle (argument) equals the sum of its arguments. Given dependences coincide with the analogous methods in the theory of functions of a complex variable,where such operations are performed on the complex plane in which the ordinate axis is imaginary. The same applies to the division of vectors. Combined resistance of harmonic current circuit section containing active, inductive and capacitive resistance is calculated. At the same time the original method of simultaneous performance of graphical addition, multiplication, and division of vectors id displayed.
Векторы, отрезки определенной длины и направления используют для изображения так называемых векторных величин: силы, скорости, ускорений и др. Отсюда возникает необходимость выполнения с ними всех арифметических операций. В частности, это относится к теоретической электротехнике, где аппроксимируемые векторами напряжение, ток и электрическое сопротивление необходимо не только суммировать (вычитать), но умножать и делить.Однако механизм деления векторов в обычной плоскости в математической литературе не приводится. Известные методы перемножения векторов также малопригодны в электротехнике. Так, в скалярном произведении итоговый вектор является проекцией на скаляр, а в векторном расположен в перпендикулярном направлении и результат зависит от порядка расположения сомножителей, что не подтверждается математически в названной дисциплине.Цель данной работы состоит в том, чтобы показать возможность выполнения сугубо графических векторных арифметических операций на обычной плоскости, подтвердив декларируемые действия известными математическими приемами, а также выполнением практических геометрических расчетов в области теоретической электротехники.