Введение. В настоящее время совместное моделирование (Co-simulation) стало мощным инструментом проектирования инженерных систем. Совместное моделирование заключается в применении комплекса специализированных программных пакетов и позволяет разработчикам исследовать различные аспекты системы, а также обеспечивает автоматическую оценку параметров гораздо большего числа конструктивных вариантов по сравнению с ручным методом проб и ошибок. Совместная симуляция – эффективный метод решения мультифизических задач.Динамический анализ среды совместного моделирования обеспечивает визуальный вывод функциональных параметров изучаемой системы в реальном времени и позволяет проверить ее характеристики на виртуальном прототипе. При разработке системы управления это снижает потребность в прототипировании аппаратной части и последующем тестировании алгоритма управления. Совместное моделирование экономит материальные и временные затраты, дает возможность модифицировать конструктивные элементы в соответствии с требованиями пользователя до того, как будет выполнено изготовление. Одной из актуальных задач, в рамках решения которой может быть использовано совместное моделирование, является исследование кинематики и динамики движения манипуляторов параллельной структуры. Это связано с тем, что в связи с конструктивными особенностями, а именно наличием параллельных кинематических звеньев, недостатком этих механизмов является возможность интерференции (пересечения) отдельных кинематических цепей и как следствие возникновение особых положений, в которых может произойти потеря устойчивости. Кроме того, имеет место нелинейная зависимость кинематики и динамики механизма в зависимости от точки рабочей области, что приводит к анизотропии и неоднородности динамических, упругих и скоростных свойств. В связи с этим решение данных вопросов привлекает внимание многих исследователей [1–17]. Для изучения работы параллельных манипуляторов исследователи используют различные подходы и методы. Ряд исследователей применяет аналитический подход для решения прямой и обратной задач кинематики [1–8]. При этом прямая задача кинематики, заключающаяся в определении координат рабочего органа в зависимости от длин выдвижения штоков, не имеет четко формализованного решения и требует применения более сложных математических методов по сравнению с обратной задачей кинематики – определения длин выдвижения штоков по заданным координатам рабочего органа, решение которой в общем случае свидится к решению шести нелинейных уравнений для шестистепенных манипуляторов типа платформы Гью-Стюарта 6-6. Математические подходы, применяемые для решения прямой задачи кинематики, можно условно разделить на две группы: использование аппарата векторной алгебры и аналитической геометрии. При использовании аппарата векторной алгебры координаты рабочего органа выражаются через орты подвижной системы координат посредством векторов, связывающих основание и подвижную платформу, или через составляющие матрицы поворота. При использовании аналитической геометрии конструкция представлена в виде геометрических соотношений пространственной конфигурации. Функциональные характеристики современных программных средств открывают новые возможности изучения описанных выше вопросов, представим некоторые из них, исследуемые следующими авторами: моделирование геометрии и структурной конфигурации платформы Гью-Стюарта в среде Mathcad [9]; оптимизация угловых и линейных размеров манипуляторов параллельной кинематики с использованием комплекса MatLab/Simulink встроенного пакета с библиотекой визуального моделирования пространственных механизмов SimMechanics и высокоэффективного метода оптимизации SQP [10]; совершенствование пневматической системы управления платформой Стюарта на основе исследования динамических характеристик пневмопривода с использованием программных пакетов MatLab/Simulink и AMESim [11]; моделирование системы управления сервоприводами рычажной платформы Стюарта посредством решения задачи обратной кинематики в MatLab/Simulink с применением библиотеки MatLab/Simulink [12]; решение прямой и обратной задач управления кинематикой платформы Стюарта с использованием MatLab [13]. Как видно из перечисления, одним из популярных программных средств является MatLab. Представленная работа также использует данный пакет, при этом отличительной особенностью является совместное моделирование с Adams.Основная часть. В данной работе предлагается использование совместного моделирования Adams-Matlab для отработки заданной траектории движения рабочего органа параллельного манипулятора и исследования силомоментных характеристик, возникающих в процессе движения. Этот вычислительный подход позволяет численно решать задачи кинематики, динамики и управления движением, а также значительно сократить аналитические и программные усилия. При использовании классических схем Simulink для моделирования движения механизма необходимо определение действующих сил и использование их в качестве входных параметров модели, что в ряде случаев является отдельной, сложно выполнимой задачей. Одним из преимуществ совместного моделирования Adams-Matlab является возможность опустить данный шаг и подавать на вход модели не силовой, а кинематический параметр, например, величину выдвижения штока при моделировании движения параллельного манипулятора типа платформы Стюарта. Это возможно при использовании специальных функций Adams (Joint Motion), отвечающих за осуществление движения механизма.Для реализации предлагаемого подхода необходимо выполнение следующих основных задач:– создание виртуального прототипа в среде Adams;– построение системы управления в Simulink;– экспорт и интеграция физико-механических параметров твердотельной модели из Adams в систему управления, созданную в Simulink;– проведение совместного моделирования Adams View-Matlab Simulink.На рисунке 1 представлена схема Simulink, используемая для моделирования движения рабочего органа параллельного манипулятора. Рассмотрим подробнее функциональное назначение отдельных блоков. Блок Euler XYZ преобразует набор углов Эйлера в соответствующую матрицу поворота. Блок Inverse Kinematics Module предназначен для решения обратной задачи кинематики, генерируя на выходе необходимые длины выдвижения штоков. Блок Saturation имитирует физические ограничения на движение электроцилиндров, связанные с их конструктивным исполнением. Особенностью данной схемы является блок Adams_sub, экспортированный в Matlab из Adams. Блок Adams_sub содержит физико-механические параметры твердотельной модели, созданной в Adams, и позволяет визуализировать траекторию движения рабочего органа, а также определить необходимые силомоментные характеристики механизма. Интеграция этого блока обеспечивает процесс совместного моделирования Adams View-Matlab Simulink. Для правильной интеграции блока и реализации совместного моделирования необходимо задать входные и выходные параметры системы. В качестве входных параметров используются координаты заданной траектории движения рабочего органа, изменяющиеся во времени. За координату рабочего органа принята точка, расположенная в центре подвижной платформы. На выходе блока Adams_sub генерируются фактические координаты рабочего органа, учитывающие конструктивные параметры механизма и его физико-механические свойства. В случае несоответствия заданной траектории движения реальным параметрам механизма, возникнет ошибка симуляции. Это может произойти, например, при возникновении пиковых силовых нагрузок, превышающих допустимые. Таким образом, реализация совместного моделирования позволяет проверять и отрабатывать необходимые траектории движения, определенные в соответствии с функциональным назначением манипулятора. На рисунках 2–4 подробнее представлен состав структурных компонентов схемы Simulink, а именно блоков Euler XYZ и Invers Kinematics Module.   Рис. 1. Схема Simulink для отработки траектории движения рабочего органа параллельного манипулятора Рис. 2. Структура блока Euler XYZ для преобразования углов Эйлера в соответствующую матрицу поворота Рис. 3. Структура блока Inverse Kinematics Module для решения обратной задачи кинематики Рис. 4. Блок Pos Computation, входящий в состав блока Inverse Kinematics Module Рис. 5. Блок Norm n, входящий в состав блока Inverse Kinematics Module  При реализации моделирования использованы две системы координат: глобальная декартова система координат с началом в геометрическом центре основания и локальная относительная декартова система координат с началом в геометрическом центре рабочего органа (подвижной платформы). Входные параметры системы заданы вектором координат точек отрабатываемой траектории как приращения (изменения) относительно нулевого (исходного положения), то есть используют локальную относительную систему координат. Координаты шарниров основания и координаты начальных положений шарниров подвижной платформы заданы в глобальной системе координат. В исходном положении направления осей глобальной и локальной системы координат совпадают. При движении рабочего органа по заданной траектории локальная система координат может разворачиваться под определенными углами по отношению к глобальной системе координат. Для учета этого обстоятельства применяется обобщенная матрица поворота (преобразования): Rj=cosβjcosγj-cosβjsinγjsinβjcosγjsinβjsinαj+cosαjsinγjsinαjsinγj-cosαjcosγjsinβjcosαjcosγj-sinαjsinβjsinγj-sinαjcosβjcosγjsinαj+cosαjsinβjsinγjcosαjcosβj ,      (1) где α, β, γ – углы Эйлера, соответственно углы между осями абсцисс, ординат и аппликат двух принятых систем координат; j – количество точек исследуемой траектории движения рабочего органа.На схеме (рис. 2) углы Эйлера обозначены: α=u[1],  β=u[2],  γ=u[3].  Для каждой точки исследуемой траектории задаются углы Эйлера и пересчитывается матрица поворота.На схеме (рис. 3) используются следующие обозначения математических элементов:– декартовы координаты траектории движения рабочего органа, заданные в локальной системе вектором dj=[dxjdyjdzj] ,                     (2) где j – количество точек исследуемой траектории движения рабочего органа;– исходные координаты шарниров, закрепленных на подвижной платформе, заданы матрицейP=P1xP2xP3xP4xP5xP6xP1yP1zP2yP3yP4yP5yP6yP2zP3zP4zP5zP6z ,     (3) где Pix, Piy, Piz – декартовы координаты i-го шарнира в глобальной системе координат;– координаты шарниров, закрепленных на основании, заданы матрицей B=B1xB2xB3xB4xB5xB6xB1yB1zB2yB3yB4yB5yB6yB2zB3zB4zB5zB6z ,    (4) где Bix, Biy, Biz – декартовы координаты i-го шарнира в глобальной системе координат;– координаты шарниров, закрепленных на подвижной платформе, при отработке заданной траектории рабочего органа заданы матрицейAj=A1xjA2xjA3xjA4xjA5xjA6xjA1yjA1zjA2yjA3yjA4yjA5yjA6yjA2zjA3zjA4zjA5zjA6zj , (5)где Aixj, Aiyj, Aizj – декартовы координаты i-го шарнира для j-ой точки исследуемой траектории движения рабочего органа.В блоке Inverse Kinematics Module (рис. 3, 4) при решении обратной задачи кинематики для определения необходимых величин выдвижения штоков, соответствующих заданной координате рабочего органа при движении по требуемой траектории, сначала определяются требуемые координаты шарниров подвижной платформы: Aj=Dj+Rj∙P-B,                    (6) где матрица Dj получена конкатенацией вектора dj для приведения к размерности [3x6].В блоке 6-Way Column Splitter (рис. 4) матрица Aj подвергается обратной конкатенации для получения шести векторов размерностью [1x3], содержащих декартовы координаты положений шарниров. Для каждого вектора выполняется операция скалярного произведения (рис. 5)vi=vi∙vi .                           (7)Полученные значения vi конкатенацией записываются в матрицу JP (Joint Position) размерностью [1x6] (рис. 3). С помощью встроенной функции Repmat создается матрица NL (Nominal Length) размерностью [1x6]: функция repmat (A, n) возвращает массив, содержащий n копий A в размерностях строки и столбца, при этом используется задаваемое значение первоначальной высоты платформы. На окончательном шаге получаем матрицу длин выдвижения штоков NP (New Position) путем вычитания NL из JP:NP=NL-JP.                        (8)Блок Adams_sub включает блок MSC Software, в настройках которого возможно изменять вид симуляции: с обычного расчетного на интерактивный (рис. 6, 7). В этом случае при запуске симуляции открывается окно Adams и в режиме времени симуляции визуализируется движение системы. Рис. 6. Скриншот при интерактивной симуляцииРис. 7. Окно настроек блока MSC Software  Матрицы P и B, содержащие координаты шарниров, закрепленных на подвижной платформе и основании, а также переменные, связанные с конструктивными особенностями электроцилиндров и используемые в блоке Saturation, рассчитываются в специальной процедуре, написанной на Python, и записываются в Matlab через командую строку. В разработанной авторами процедуре WriteTxtForMatlab выполняется расчет переменных и запись в текстовый файл кода с синтаксисом Matlab, далее текст файла помещается в командную строку Matlab, после чего происходит добавление необходимых для совместного моделирования матриц и переменных.Результаты. В соответствии с представленной выше методикой для проверки правильности интеграции и взаимодействия программных пакетов Adams View и Matlab Simulink были проведены серии вычислительных экспериментов по отработке нескольких характерных типов траектории рабочего органа. Условия выполнения экспериментов представлены в таблице 1. Таблица 1Условия проведения серий вычислительных экспериментов№ серии вычислительного экспериментаТип заданной тестируемойтраектории, функция движенияот временКоличество точектраекторииВремясимуляции, секШаг повремени, сек1y = 0.25*sin(i) 1000100,012x = -0.25*sini, y = 0.25*sin(i) 1000100,013x  = 0.25*sini, y = 0.25*sin(i) 1000100,014α=0.4sin(i) 1000100,015β=0.4sin(i) 1000100,016γ=0.4sin(i) 1000100,01 Для всех серий вычислительных экспериментов в качестве функции, характеризующей траекторию движения во времени, была принята периодическая функция синуса. Для разных серий варьировалась форма движения относительно координатных осей. Первые три серии характеризуют движения по координатным осям с нулевыми углами Эйлера (поворота), то есть на всей траектории движения подвижная платформа горизонтальна и параллельна основанию. В первой серии выбрана самая простая траектория: вертикальное перемещение (рис. 8). Вторая и третья серии – одновременное движение по двум осям: вверх и влево (вправо), вниз и вправо (влево) (рис. 9, 10). На рисунках 8-10 представлены графики отработки траектории (красным – исходная заданная, синим – полученная в результате симуляции) и крайние положения манипулятора при движении по траектории. Началом траектории во всех случаях является середина графика. Как видно из графиков, простая траектория отрабатывается с высокой точностью, практически с нулевыми отклонениями (рис. 8, табл. 2). Траектории второй и третьей серий оказались весьма проблематичны при отработке. В связи с конструктивными особенностями и поставленным ограничением на отсутствие возможности поворота подвижная платформа конструктивно не может выполнить данный тип траекторий, об этом свидетельствуют существенные отклонения от заданной траектории, в особенности в крайних положениях (рис. 9, 10, табл. 2). Рис. 8. Результаты симуляции и отработки траектории вычислительного эксперимента серии №1Рис. 9. Результаты симуляции и отработки траектории вычислительного эксперимента серии №2Рис. 10. Результаты симуляции и отработки траектории вычислительного эксперимента серии №3 Вычислительные серии № 4, 5 и 6 поочередно задействуют один из углов Эйлера (поворота) и характеризуют три возможных поворота подвижной платформы относительно основания, при этом движение центра платформы (рабочего органа) по координатным осям отсутствует. На рисунках 11-13 представлены крайние положения манипулятора при осуществлении указанных поворотов, а в таблице 3 – результаты проверки точности движения. Данные повороты платформы не представляют сложности отработки и имеют высокую точность. Все траектории движения отрабатывались по множеству циклов движения. Точность воспроизведения заданных траекторий оценивалась по двум критериям: среднеарифметическому и среднеквадратичному отклонению (табл. 2, 3). Рис. 11. Крайние положения при отработке траектории вычислительного эксперимента серии №4Рис. 12. Крайние положения при отработке траектории вычислительного эксперимента серии №5Рис. 12. Крайние положения при отработке траектории вычислительного эксперимента серии №6Таблица 2Результаты проведения серий вычислительных экспериментов (№ 1, 2, 3) № сериивычислительного экспериментаОтклонение от заданной траекторииx y z α β γ среднеарифметическое отклонение11.5∙10-12 0.00137.4∙10-15 1.3∙10-10 2.3∙10-13 5.9∙10-13 20.3176 0.29961.3∙10-14 0.0391 3.2∙10-13 7.9∙10-13 30.2148 0.21341.3∙10-14 0.0391 3.2∙10-13 7.9∙10-13 среднеквадратичное отклонение17.8∙10-13 0.00091.1∙10-14 3.2∙10-13 3.1∙10-13 8.4∙10-13 20.1777 0.15411.1∙10-14 0.0354 2.6∙10-13 7.6∙10-13 30.1586 0.15141.1∙10-14 0.0354 2.6∙10-13 7.6∙10-13 Таблица 3Результаты проведения серий вычислительных экспериментов (№ 4, 5) № серии вычислительного экспериментаОтклонение от заданной траекторииα β γ среднеарифметическое отклонение40.06290.06290.062950.31380.25140.2514среднеквадратичное отклонение40.03170.03170.031750.33320.12660.1266 Выводы. Представленная методика совместного моделирования движения параллельного манипулятора посредством интегрированного применения Matlab Simulink и Adams View с целью отработки заданной траектории движения рабочего органа показывает хорошие результаты и может использоваться при выполнении кинематического, динамического и силового анализа механизма с учетом его конструктивных особенностей посредством использования виртуального прототипа. Методика позволяет определять конструктивную возможность отработки заданной траектории, оценить ее точность, выявить проблемные зоны и недостижимые координатные положения. Представленный подход применим в рамках разработки, модернизации, оптимизации конструктивных элементов манипуляторов параллельной структуры, определения рабочей зоны, а также разработки систем управления движением.