ВведениеПроблемы рационального использования трудовых ресурсов в настоящее время приобретают все большее значение [1–5]. При изучении процессов движения трудовых ресурсов (межотраслевого, межпрофессионального, территориального и т.д.), являющихся сложными социально-экономическими процессами, широкое применение находят марковские модели [6–10]. Эти модели позволяют учитывать случайный характер поведения отдельных индивидуумов в движении потоков людских масс. Специфической чертой рассматриваемых процессов является необходимость учета прогнозируемого поведения потоков трудовых ресурсов при выборе плановыми отделами того или иного решения [11–15, 25]. Это обстоятельство обуславливает целесообразность развития и применения управляемых марковских моделей. В простейших моделях этого типа рассматриваются управления, обеспечивающие сохранение или достижение некоторой заданной структуры распределения трудовых ресурсов внутри некоторой системы. Двумя основными способами управления являются изменение величины потока ресурсов при обмене с внешней средой и изменение величины потоков внутреннего перераспределения ресурсов. Отметим, что второй способ более сложен и менее изучен, но представляется более эффективным. В статье рассматривается один из вопросов, возникающих при выборе управления, а именно, вопрос описания множества допустимых целей и множества допустимых управлений.   Типовая исходная задача Простейшая закрытая марковская модель. Необходимо начать с рассмотрения регулярной цепи Маркова с конечным числом состояний  и дискретным временем. Вероятности переходов некоторой частицы (единицы трудовых ресурсов, в предельном случае – индивидуума) задаются матрицей и известно начальное распределение  Как известно, распределение  вероятностей пребывания частицы в состояниях системы в момент времени определяется следующим образом где – векторы-строки.К марковской модели можно прийти при различных исходных предположениях о характере движения трудовых ресурсов. Мы будем предполагать, что поведение каждого отдельного индивидуума в процессе движения потока трудовых ресурсов с помощью случайного блуждания частицы по состояниям некоторой системы, являющегося цепью Маркова. Предполагается также, что движение потока трудовых ресурсов можно рассматривать как движение – общее число индивидуумов. Нас будет интересовать поведение вектора среднего числа частиц в каждом из состояний через достаточно большой промежуток времени. Из теории регулярных цепей Маркова известно, что существует предел limt→∞ ,где  – вектор финальных вероятностей, не зависящий от начальных условий.Более реальная модель, известная под названием «mover-stayer model», была предложена в работе [6], являющейся, одной из первых работ, посвященных применению теории марковских процессов при изучении вопросов движения трудовых ресурсов. В основе этой модели лежит предположение, что вся совокупность частиц может быть разделена на две совокупности частиц разного типа. Частицы одного типа (stayer) – с вероятностью 1 остаются в первоначальных состояниях, а частицы другого типа (mover) – перемещаются из состояния в состояние с вероятностями переходов, задаваемыми матрицей . В этом случае ,где S – диагональная матрица, задающая доли числа частиц первого типа в каждом из состояний.Простейшая управляемая марковская модель.Более реальной, чем простейшая марковская модель, является и открытая модель. Пусть  среднее число единиц трудовых ресурсов, прибавившихся в состоянии (если ) или покинувших его (если ) за единицу времени в результате обмена. В этом случае при условии, что                                                                                                              (1)Предполагается также, что общее число единиц трудовых ресурсов N неизменно, а вектор удовлетворяет условию =0.                                                                                                                     (2)В рамках этой модели становится возможным обсуждение задачи достижения и устойчивости некоторой целевой структуры , при этом вектор  играет роль постоянного по времени управляющего воздействия. Независимо от начальной структуры , устойчивая цепь достигается при следующем выборе управляющего вектора                                                                                                           (3)Отметим, что соотношение (3) можно рассматривать как условие устойчивости структуры во времени и получить его непосредственно из уравнения, связывающего и При обсуждении этих вопросов возможен и другой подход, использующий методы теории поглощающих цепей. В этом случае предполагается, что кроме обмена с внешней средой возможно исчезновение трудовых ресурсов внутри рассматриваемой системы, для чего вводится дополнительное, поглощающее состояние. Вектор  определяется теперь соотношением где Q – матрица вероятностей переходов между непоглощающими состояниями, и   где  – вероятность исчезновения единицы трудовых ресурсов из i-го состояния. Формализованное представление исследуемой моделиВ данном исследовании рассматривается открытый вариант модели. Рассмотрим простейший случай, когда основное уравнение имеет вид ,где постоянны. Но, в отличие от модели работы [6], теперь предполагается, что каждая единица трудовых ресурсов из состояния может быть в момент времени либо пассивной и с вероятностью 1 оставаться в i-ом состоянии, либо активной и тогда ее поведение описывается i-ой строкой регулярной матрицы . Предполагается также, что поведение каждой единицы трудовых ресурсов является рандомизацией этих двух возможных способов поведения с вероятностью выбора активного поведения, равной . В этом случае матрица переходов  и представима в виде где М – диагональная матрица.Управление и допустимые цели.В рассматриваемой модели условие устойчивости некоторой структуры имеет вид или Необходимо заметить, что при устойчивости некоторой структуры будет постоянным и вектор  среднего числа единиц трудовых ресурсов с активным поведением и общее среднее число А единиц ресурсов с таким поведением. 4. ЗаключениеВсе большая острота проблемы рационального использования трудовых ресурсов настоятельно требует создания и применения экономико-математических моделей, позволяющих не только прогнозировать движение людей, но и управлять ходом этого движения и давать прогноз с учетом этого управления [16–19]. Существенной его особенностью является то, что управляющее воздействие оказывается на людей, поэтому оно может носить лишь опосредованный характер, изменяя условия и факторы, влияющие на поведение людей. Необходимость учета неопределенности, присущей поведению каждого индивидуума, обуславливает рассмотрение стохастических управляемых моделей движения трудовых ресурсов, которые в настоящее время мало исследованы. Сложность проблем, стоящих перед исследователями, делает логичным рассмотрение сначала простейших моделей, позволяющих осуществлять экспериментальную проверку [20, 21]. При этом естественно, в первую очередь, рассматривать управление в марковских моделях, находящих самое широкое применение при изучении рассматриваемых процессов.При рассмотрении вопросов управления возникает ряд проблем, как, например: необходимость учета различных альтернативных вариантов управления, приводящую к увеличению объема вычислений и прогнозировании, более точное описание «механизма» распределения потоков трудовых ресурсов, оценивание величины ошибки прогноза с учетом управления. Полученные результаты позволяют описывать множества допустимых целей и управлений, что позволяет при прогнозировании исключать из рассмотрения заведомо неприемлимые цели и способы управления и учитывать ограничения, наложенные на параметры модели. Основное внимание сосредоточено на рассмотрении вопроса выбора управления, изменяющего «механизм» внутреннего перераспределения потоков трудовых ресурсов, являющегося, на наш взгляд, ключевым вопросом при рассмотрении класса управляемых моделей.Более подробно обсуждение экономического смысла предпосылок, лежащих в основе модели, можно найти в работах [10, 22, 23, 24]. Предложенная в них модификация марковской модели применялась при изучении межотраслевого движения трудовых ресурсов. Оценка параметров модели производилась на основе межотраслевого баланса движения трудовых ресурсов. Рассматриваемая модель является достаточно общей и может быть применена не только при изучении межотраслевого движения трудовых ресурсов.