Введение  Основной задачей обрабатывающего сектора современного машиностроения, использующего металлорежущее оборудование, является изготовление деталей с квалитетами точности, соответствующими заданным значениям [1].Решение указанной задачи осложняется постоянным расширением и обновлением номенклатуры изготовляемых деталей; необходимостью обработки заготовок из новых материалов, применения новых технологических процессов обработки и прогрессивных режущих инструментов; повышением требований по производительности обработки. При этом на одном станке выполняют и черновую и чистовую обработку.В связи с указанным развитие металлообрабатывающей промышленности возможно только при широком использовании современных станков с ЧПУ, к которым предъявляются требования высокой производительности и точности в сочетании с широкой универсальностью и высокой гибкостью, позволяющих производить быструю переналадку с изготовления одних деталей на изготовление других в пределах широкой номенклатуры [2].  Методы исследования Анализ, проведенный авторами работы [1], показал, что наибольшее влияние на показатели качества обрабатываемых деталей оказывают узлы станка, которые непосредственно участвуют в процессе резания, то есть приводы, реализующие главное движение резания, и движение подачи. Для токарных станков при отсутствии необходимости использования оборудования для высокоскоростной или сверхточной обработки, а также в связи с созданием станков с ЧПУ на базе отработанных конструкций приводов универсального оборудования и проведения модернизации действующего станочного парка следует обратить внимание на структуру приводов на базе коробок скоростей, встроенных в шпиндельный узел (ШУ), которая не требует существенных дополнительных затрат и при соответствующем анализе принимаемых проектных решений обеспечивает высокую точность. Необходимость учета вибрационных характеристик приводов главного движения станков с ЧПУ подтверждается тем, что в них возникают механические колебания практически всех видов [3, 4]: - свободные колебания, происходящие за счет начальных условий (начальное отклонение, начальная скорость);- вынужденные колебания, происходящие под действием перемен­ных вынуждающих сил;- параметрические колебания, связанные с изменением во времени приведенных масс, моментов инерции и коэффициентов жесткости;- автоколебания, которые можно рассматривать как свободные коле­бания, поддерживаемые внешним источником энергии, компенсирующим отрицательную работу диссипативных сил.В металлорежущих станках (МРС) доля, вносимая механизмами привода главного движения в общий уровень вибрации станка, составляет 90 % [5].Значимость и важность проблемы снижения вибрации в приводах станков возрастает как при создании станков нового поколения, так и проведения модернизации действующего оборудования. Успешному решению этой проблемы препятствует недостаточность теоретических и практических разработок по выбору конструктивных параметров станков.Раскрытие механизма генерирования вибрации в приводах МРС расширяет эффективность их использования, заключающуюся в обоснованном выборе проектных параметров и обеспечении рациональных режимов обработки заготовок по условию минимизации амплитуд вибрации [5-7].При этом особый интерес представляет случай, когда на колебательную систему воздействует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой f. В начальный момент в колебательной системе возбуждаются вынужденные колебания на частоте f и свободные колебания на собственной частоте fc. [8]. При приближении частоты f внешней силы к собственной частоте fc возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний (резонанс), которые могут быть настолько сильны, что приведут к повышенному износу или даже разрушению элементов системы.В связи с этим уже на стадии проектирования принимаются специальные меры, чтобы избежать резонанса или ослабить его действие. Для этого необходимо иметь четкое представление о динамических процессах, происходящих в приводе [3].В приводах главного движения существует значительное число источников, вызывающих гармонические колебания. В первую очередь это: - колебания с оборотными частотами, связанные с вращением неуравновешенных масс (шкивов, валов, шестерен и т.п.): , где п - частота вращения неуравновешенной массы в минуту;- колебания с частотами пересопряжения зубьев зубчатых и ременных передач: ,где  - число зубьев шестерни (шкива).Таким образом, все вынужденные частоты в приводе формируются в соответствии с частотами вращения валов привода, в то время как положение собственных частот системы в спектре колебаний не зависит от скоростного режима. Совпадение вынужденных и собственных частот вызывает увеличение амплитуд соответствующих спектральных компонент [9]. Изучение динамических процессов начинается с составления динамической модели, под которой понимают идеализированное отображение рассматриваемой системы, используемое при ее теоретическом исследовании и инженерных расчетах.В инженерных расчетах большое распространение получили динамические модели, при построении которых исходят из двух принципов [3]:- инерционные свойства системы отображаются массами или моментами инерции, которые сосредотачиваются в отдельных точках или сечениях;- эти точки или сечения соединяются между собой упругими, диссипативными и геометрическими (или кинематическими) связями, лишенными инерционных свойств.Желание получить более точные результаты за счет увеличения числа степеней свободы динамической модели, часто не дает ожидаемого результата в связи с недостаточным уровнем достоверности исходных данных, определяющих ее отдельные параметры (в первую очередь коэффициенты жесткости и диссипативные характеристики). Все это может свести на нет уточнения, ожидаемые за счет усложнения модели [3]. Поэтому существует проблема выбора адекватных динамических моделей механических систем, базирующегося в основном на опыте проектировщика. При этом приходится находить компромисс между достаточно простой динамической моделью, обеспечивающей практическою осуществимость и эффективность расчетных процедур, и достаточно сложной, гарантирующей достоверность получаемых на ее основе результатов.  Результаты В связи с использованием в современных приводах главного движения двигателей с бесступенчатым регулированием частот вращения (асинхронные двигатели с частотным регулированием (АДЧР) и двигатели постоянного тока) оборотные частоты возмущающего воздействия на привод носят не дискретный, а псевдонепрерывный характер. Таким образом, речь следует вести о диапазонах оборотных частот возмущающего воздействия на привод. Так, например, для привода, кинематическая схема которого приведена на рис. 1, а график частот вращения - на рис. 2, диапазоны оборотных fo и зубцовых fz частот возмущающего воздействия на привод определяются диапазонами частот вращения валов (табл. 1).  Таблица 1Диапазоны оборотных fo и зубцовых fz частот возмущающего воздействия на приводTable 1Ranges of reverse fo and gear fz frequencies of disturbing influence on the driveВалnmax,об/минnmin,об/минfo max, Гцfo min, Гцzfo max, Гцfo min, ГцI300045050,07,5---II220031536,75,25341248178,5III125018020,83,068141420448998,4144IV71010011,81,780944136  Рис. 1. Кинематическая схема привода главного движенияFig. 1. Kinematical scheme of the main motion drive  Таким образом, общий диапазон оборотных вынужденных частот составляет 1,7...50 Гц, а зубцовых частот 136...1414 Гц. В связи с указанным для исключения опасности возникновения резонанса крутильных колебаний собственные частоты привода (с учетом 20% запаса) должны располагаться в диапазоне (50·1,2)...(136·0,8) Гц, то есть 60...109 Гц.Анализ опубликованных результатов исследований показывает, что для проведения оценки динамического качества приводов с требуемой для инженерных расчетов точностью многомассовые расчетные схемы могут быть приведены к схемам с меньшим числом масс (инерционных элементов). Наибольшее распространение в задачах исследования динамических процессов металлорежущих токарных станков получила двух- и трехмассовая расчетная схема [10]. Это объясняется тем, что наибольшие амплитуды колебаний проявляются на низких частотах. Использование проверенных на практике методик приведения многомассовых систем к системам с меньшим числом масс позволяет значительно упростить математическую модель системы, уменьшить время проведения расчетов при анализе имеющейся конструкции и повысить эффективность аналитических исследования при проектировании за счет увеличения вариантности проектных решений при синтезе конструкции приводов.Суть упрощения заключается в представлении расчетной схемы набором парциальных одно- или двухмассовых подсистем, выделением среди них подсистемы (одномассовой или двухмассовой), имеющей наибольшую собственную частоту, и последовательной ее замене: одномассовой парциальной подсистемы двухмассовой или наоборот с соответствующими перераспределениями инерционных и упругих параметров [11]. В результате любого из этих преобразований порядок исходной системы уменьшается на единицу.  Рис. 2. График частот вращенияFig. 2. Rotation frequency graph  На рис. 3 представлен алгоритм упрощения расчетной схемы упругой системы привода и определения собственных крутильных частот привода.Процесс упрощения является достаточно трудоемким, поэтому была разработана программа, позволяющая проводить упрощение линейных динамических систем и определять собственные частоты.Задание параметров (рис.4) в программе происходит путем ввода данных вручную в поле «Исходные данные».  Рис. 3. Алгоритм упрощения расчетной схемы упругой системы привода и определения собственных крутильных частотFig. 3. Algorithm for simplifying the design scheme and determining the own torsional frequencies  Рис.4.  Скриншот интерфейса программы с заполненными исходными параметрамиFig. 4. Screenshot of the program interface  После этапа определения максимального значения среди рассчитанных квадратов частот одномассовых и двухмассовых парциальных подсистем программа выполняет преобразование одномассовой парциальной подсистемы в двухмассовую или, наоборот, в зависимости от того, где была определена наибольшая частота. При преобразовании одномассовой подсистемы расчет параметров преобразованной парциальной подсистемы производится по формулам:   ; ; .  После преобразования происходит перенумерация исходного массива моментов инерции и податливостей: - вместо податливостей ei и ei+1 вставляется , а нумерация элементов ei+1,…, en заменяется на ,…, en-1;   - вместо моментов инерции Ii-1,  Ii , Ii+2 вставляются  и .Элемент   перенумеровывается в Ii, а нумерация остальных элементов Ii+3,…, In заменяется на Ii+2,…, In-1.При преобразовании двухмассовой подсистемы расчет параметров преобразованной парциальной подсистемы производится по формулам:    , ,  .  Перенумерация исходного массива моментов инерции и податливостей осуществляется по следующим правилам:- вместо моментов инерции Ii и Ii+1, вставляется , а нумерация элементов Ii+2, …, In заменяется на Ii+1, …, In-1;- в массиве податливостей вместо ei  ,  ei+1 , ei+2 вставляются   и , элемент  перенумеровывается в , а нумерация остальных элементов ei+3, ...,en заменяется на ei+2, ...,en-1. Обсуждение Использование разработанной программы не только существенно ускоряет процесс расчета собственных частот, но и позволяет быстро принять проектные решения, целенаправленно меняющие массовые и упругие параметры и значения собственных частот, исключающие появление резонансных явлений. Так, например, для привода (рис. 1 и 2) две низшие собственные частоты привода составили: при работе с перебором – fc1=21,3 Гц и fc2=61,2 Гц; при работе без перебора - fc1=21,5 Гц и fc2=78,5 Гц. Собственные частоты fc2 попадают в допустимый безрезонансный диапазон (60...109 Гц), формируемый оборотными и зубцовыми частотами вынужденных колебаний. Однако нижняя собственная частота находится в резонансной зоне, создаваемой оборотными частотами валов I (7,5...50 Гц) и II (5,25...36,7 Гц). Возможность исключения резонансных явлений была оценена исследованием влияния инерционных и упругих характеристик привода на значения собственных частот. Было установлено, что возможные изменения моментов инерции шпинделя (табл. 2), переборного вала (табл. 3) и ведущего шкива ременной передачи на валу двигателя (табл.4) практически не оказывают влияния на значения собственных частот (выделенные в табл. 2-4 значения соответствуют конструктивным размерам базового станка). Более существенное влияние на собственные частоты оказывает момент инерции ведомого шкива с элементами разгрузки (табл. 5): значения fc1 изменяются в пределах ~5,0 Гц , а значения fc2 - ~0,9 Гц. Таблица 2Влияние момента инерции шпинделя на собственные частоты приводаTable 2Influence of the moment of inertia of the spindle on the own frequencies of the drive Момент инерции шпинделя, кг×м2 3·10-23,5·10-23,75·10-24·10-24,5·10-2fc1, Гц61,20561,08561,2361,14161,109fc2, Гц21,29521,27321,321,28521,281 Таблица 3Влияние момента инерции переборного вала на собственные частоты приводаTable 3Influence of the moment of inertia of the third shaft on the own frequencies of the drive Момент инерции переборного вала, кг×м2 1,4·10-21,8·10-22,18·10-22,8·10-23,2·10-23,6·10-2fc1, Гц61,9361,5261,2363,78963,50163,221fc2, Гц21,41321,34721,2821,05820,98920,923 Таблица 4Влияние момента инерции ведущего шкива ременной передачи на собственные частоты приводаTable 4Influence of the moment of inertia of the driving pulley of the belt gear on the own frequencies of the drive Момент инерции ведущего шкива ременной передачи, кг×м22,06·10-33,06·10-34,06·10-35,06·10-36,06·10-37,06·10-3fc1, Гц61,2961,15161,01561,14361,06860,99fc2, Гц21,621,50721,421,2921,1821,08  При изменении податливости динамической системы путем выполнения посадки приемной шестерни на шпинделе (z=80 на рис. 1) на две шпонки (т.е. податливость соединения уменьшится вдвое), получим fc1=21,3 Гц и fc2=64,8 Гц. Указанные значения свидетельствуют о том, что нижняя собственная частота не меняется и продолжает находиться в резонансной зоне, создаваемой оборотными частотами валов I и II.Другим возможным путем является замена двигателя. Но даже использование двигателя другого типоразмера, у которого момент инерции составляет 0,029 кг×м2 против 0,067 кг×м2 у базового привода, обеспечивает fc1=26,5 Гц и fc2=68,3 Гц, что является недостаточным для исключения резонанса. Таблица 5Влияние момента инерции ведомого шкива ременной передачи с элементами разгрузки на собственные частоты приводаTable 5Influence of the moment of inertia of the driving pulley of the belt gear with unloading elements on the own frequencies of the drive Момент инерции ведомого шкива ременной передачи с элементами разгрузки, кг×м21,08·10-21,38·10-21,68·10-22,0·10-22,3·10-22,6·10-2fc1, Гц63,1562,1261,1463,7763,0958,70fc2, Гц21,6721,4721,2821,3220,7520,79  Таким образом, изменение инерционных характеристик элементов привода и повышение жесткости отдельных соединений, не требующее значительных конструктивных изменений, не позволяет исключить опасность появления резонансов на нижней собственной частоте. То есть единственным мероприятием, позволяющим снизить опасные последствия резонанса без применения дополнительных демпфирующих устройств, является снижение амплитуд колебаний от оборотных частот валов I и II за счет ужесточения требований к балансировке деталей, расположенных на этих валах, и самих валов в сборе.  ЗаключениеПредложенный анализ динамического качества привода с бесступенчатым регулированием частоты вращения шпинделя позволяет по диапазонам частот вращения валов определить безрезонансные зоны привода по оборотным и зубцовым частотам вынужденных колебаний. Предложенное программное обеспечение дает возможность на этапе проектирования оперативно провести упрощение динамической системы и определить низшие собственные частоты крутильных колебаний и наметить мероприятия по исключению резонансных явлений.