Geometry & GraphicsGeometry & GraphicsГеометрия и графика2308-4898650710.12737/12163Научные проблемы геометрииScientific problems of geometryНаучные проблемы геометрииAbout the Tasks of Descriptive Geometry With Imaginary SolutionsО задачах начертательной геометрии с мнимыми решениямиИвановГ. С.IvanovG. С.ДмитриеваИ. М.DmitrievaI. M.
кандидат педагогических наук;
candidate of pedagogical sciences;
Мытищинский филиал МГТУ им. Н.Э. БауманаМытищиРоссияМытищинский филиал МГТУ им. Н.Э. БауманаМытищиRussian Federation10062015100620153238https://zh-szf.ru/en/nauka/article/6507/view
Статья посвящена обсуждению научно-методических вопросов начертательной геометрии на примере
решения задач, имеющих наряду с действительными и мнимые решения. Приведены примеры таких задач, графические
решения которых дают неправильные ответы. Как следствие,
они привели к появлению в некоторых учебных пособиях по
начертательной геометрии ложных утверждений типа «кривая
вырождается в точку», «тор является поверхностью второго
порядка», «частными случаями торсовой поверхности являются
конические и цилиндрические поверхности в случае вырождения ребра возврата торсовой поверхности в точку» и т.д.
В статье с помощью примеров определения порядка и
класса плоской алгебраической кривой, изолированной точки
касания, линии пересечения поверхностей второго порядка
с общей плоскостью симметрии дается математически корректное толкование мнимых решений задач. Делается вывод
о необходимости сочетания графических и аналитических
способов решения для получения математически обоснованных ответов. Такой подход отвечает требованиям ФГОС
по обеспечению как внутрипредметных, рассмотренных в
данной публикации, так и междисциплинарных компетенций.
Последние позволяют осуществить выход начертательной
геометрии комплексного пространства в теорию алгебраических кривых и поверхностей, кремоновых преобразований,
теорию поля и т.д.
The article is devoted to the discussion of the scientific
methodological problems of presentation tasks of descriptive
geometry along with having real and imaginary solutions. Examples
of such problems are given, graphics solutions who give the wrong answers. As a consequence they resulted in some the textbooks on
descriptive geometry to the emergence false claims type “ the curve
degenerates to a point”, “a torus is a surface of the second order”,
“conical and cylindrical surfaces are a special cases of the torsoboy
surface in the case of degeneration of the ribs return torsoboy the
surface at the point, etc.”
In the article gives a correct mathematical interpretation of
imaginary solutions the tasks by considering of examples an the
determine the order and class of plane algebraic curve, the isolated
point touch, of the line of intersection of surfaces of the second
order with a common plane of symmetry. To obtain a mathematically
valid answers the conclusion about the need for a combination
of graphical and analytical solutions. This approach meets the
requirements of the GEF on ensure as intrasubject discussed in this
publication, and so interdisciplinary competencies. The latter have
a broad outlet of descriptive geometry in complex space in the
theory of algebraic curves and surfaces, kremenovic transformations,
field theory, etc.
мнимая точкаизолированная точкаизотропные прямыемнимая касательнаяпорядок кривойкласс кривой.the imaginary pointan isolated pointisotropic the
directimaginary tangentthe order of the curveclass curve.
В учебных курсах начертательной геометрии рассматриваются лишь графические способы решения геометрических задач. Поэтому в случае мнимых решений (координаты искомых точек являются комплексными числами, коэффициенты в уравнениях искомых линий или поверхностей также являются комплексными числами) указывают на отсутствие решения. В настоящее время только в классах с математическим уклоном говорят о наличии двух мнимых решений у квадратного уравнения с одной неизвестной, если его дискриминант меньше нуля. Для остальных учеников средней школы такое уравнение решения не имеет.Несмотря на существование решения с позиций алгебры, в начертательной геометрии говорят об отсутствии пересечения кривой линии и поверхности, двух поверхностей, если нет действительных точек или линий пересечения. Такие утверждения, как правило, не влияют на результаты построений в инженерной графике. Но они зачастую искажают результаты решения ряда задач самой начертательной геометрии. Например, графический способ определения порядка алгебраических кривых или поверхностей выше второго обычно дает неправильный ответ. Приведем пример: автор учебного пособия [15], судя по его названию, всерьез считает тор поверхностью второго порядка. Но этот «грех» не идет ни в какое сравнение с уравнением, содержащимся в этом пособии, «заимствованным» из статьи Е.А. Глазунова [2]. Кстати, эта статья содержит великолепный исходный материал для обсуждения темы настоящей публикации.
Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. - М.: ООО «ИПЦ «Маска», 2008.Girsh A.G. Nagljadnaja mnimaja geometrija [Visual imaginary geometry]. Moscow, OOO «IPC «Maska» Publ., 2008.Глазунов Е.А. О проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии. // Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: издво «Советская наука», 1958. С. 35-69.Glazunov E.A. O proekcii linii peresechenija dvuh poverhnostej vtorogo porjadka, imejushhih obshhuju ploskost´ simmetrii [About the projection of the line of intersection of two surfaces of the second order having a common plane of symmetry]. Trudy moskovskogo seminara po nachertatel´noj geometrii i inzhenernoj grafike [Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике]. Moscow, «Sovetskaja nauka» Publ., 1958, pp. 35-69. (in Russian).Графский О.А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях: автореф. дис. доктора техн. наук. М., 2004.Grafskij O.A. Teoretiko-konstruktivnye problemy modelirovanija mnimyh jelementov v nachertatel´noj geometrii i ee prilozhenijah. Dokt. Diss. [Theoretical and constructive problems modeling the imaginary elements of descriptive geometry and its applications. Doct. Diss.]. Moscow, 2004. (in Russian).Иванов Г.С. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных кремоновых инволюций: автореф. дис. канд. техн. наук, М., 1968.Ivanov G.S. Teoreticheskie i konstruktivno-prikladnye voprosy kvadratichnyh kremonovyh involjucij. Kand. Diss. [Theoretical and constructive -applied questions quadratic kremon of involutions. Cand. Diss.]. Moscow, 1968. (in Russian).Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как учебной дисциплины // Геометрия и графика. Т. 1. № 1. С. 26-27. DOI: 10.12737/467.Ivanov G.S. Perspektivy nachertatel´noj geometrii kak uchebnoj discipliny [Descriptive geometry prospects as educational subject]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 26-27. DOI: 10.12737/467. (in Russian).Иванов Г.С. Компетентностный подход к содержанию курса начертательной геометрии // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 2. С. 3-5. DOI: 10.12737/775.Ivanov G.S. Kompetentnostnyj podhod k soderzhaniju kursa nachertatel´noj geometrii [Competence approach to descriptive geometry syllabus]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, v. 1, i. 2, pp. 3-5. DOI: 10.12737/775. (in Russian).Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. М.: изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007.Peklich V.A. Mnimaja nachertatel´naja geometrija [Imaginary descriptive geometry]. Moscow, Associaciya stroitel´nyh vuzov Publ., 2007. (in Russian).Савелов А.А. Плоские кривые. М.: Физматгиз, 1960.Savelov A.A. Ploskie krivye [Flat curves]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960. (in Russian).Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 1. С. 22-23. DOI: 10.12737/2079.Savel´ev Ju.A. Grafika mnimyh chisel. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 22-23. DOI: 10.12737/2079. (in Russian).Серегин В.И., Иванов Г.С., Дмитриева И.М., Муравьев К.А. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 3-4. С. 8-12. DOI: 10.12737/2124.Seregin V.I., Ivanov G.S., Dmitrieva I.M., Murav´ev K.A. Mezhdisciplinarnye svjazi nachertatel´noj geometrii i smezhnyh razdelov vysshej matematiki []. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 3-4, pp. 8-12. DOI: 10.12737/2124. (in Russian).Смогаржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961.Smogarzhevskij A.S., Stolova E.S. Spravochnik po teorii ploskih krivyh tret´ego porjadka [A Handbook on the theory of plane curves of the third order]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961. (in Russian).Умбетов Н.С. Конструирование эквипотенциальной поверхности // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 1. С. 11-14. DOI: 10.12737/2075.Umbetov N.S. Konstruirovanie jekvipotencial´noj poverhnosti []. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2013, v. 1, i. 1, pp. 11-14. DOI: 10.12737/2075. (in Russian).Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1978.Frolov S.A. Nachertatel´naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1978. (in Russian).Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969.Chetveruhin N.F. Proektivnaja geometrija [Projective geometry]. M.: Prosveshhenie, 1969. (in Russian).Чинарева Л.Д. Определение геометрических параметров проекций линии пересечения поверхностей второго порядка на общие плоскости симметрии. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.Chinareva L.D. Opredelenie geometricheskih parametrov proekcij linii peresechenija poverhnostej vtorogo porjadka na obshhie ploskosti simmetrii [The definition of the geometric parameters of the projections of the line of intersection of surfaces of second order on a common plane of symmetry]. Moscow, Izd-vo MGTU im. N.Je. Baumana Publ., 2011. (in Russian).