Введение Резистивный нагревательный кабель (далее по тексту «нагревательный кабель») – это электротехническое устройство, преобразующее электрическую энергию в тепловую и передающее её какому-либо объекту.В настоящее время благодаря своим техническим особенностям нагревательный кабель получил широкое распространение в быту и промышленности.Нагревательный кабель применяется: для работы в составе системы «теплый пол»; для поддержания требуемой температуры твердеющего бетона при строительстве в холодное время года; для обогрева стёкол и зеркал; для защиты бытовых трубопроводов от промерзания; для работы в составе антиоблединительных систем кровли, грунта и других открытых площадей; для обогрева технологических трубопроводов и других промышленных объектов (в том числе и в пожароопасных и взрывоопасных средах);Такой широкий спектр применения нагревательного кабеля диктует необходимость в разработке математической модели расчета его конструктивных параметров, обеспечивающих качество изделия, его надежность и длительный срок службы с сохранением эксплуатационных характеристик. Актуальность данной работы заключается в разработке типовой математической модели расчета конструкции резистивных нагревательных кабелей, удовлетворяющей современным требованиям к их стабильному качеству и надежности.  Постановка проблем Качество продукции – совокупность свойств продукции, обусловливающих ее пригодность удовлетворять определенные потребности в соответствии с ее назначением [1].Качество продукции в настоящее время заняло одно из важнейших мест в экономической и предпринимательской деятельности современного общества [2]. Поэтому обеспечение качества, в частности надежности, изделий стало одной из основных проблем, присущей всем видам продукции. В то же время проблема обеспечения качества является одной из составляющих процесса управления уровнем качества изделия и осуществляется на всех этапах жизненного цикла, а именно: проектирования, прототипирования, производства, распределения и эксплуатации конечным потребителем [3]. Процесс проектирования является одним из важнейших этапов жизненного цикла, на котором создается макет и соответствующая спецификация изделия, формирующие свойства и параметры, обеспечивающие требуемые эксплуатационные характеристики, качество, надежность и длительный срок службы изделия.Целью данной работы является рассмотрение основных этапов проектирования нагревательного кабеля и разработка математической модели, позволяющей провести расчет электрических и массогабаритных параметров. Результаты исследования Процесс проектирования нагревательного кабеля можно разделить на следующие этапы:Постановка технического задания (ТЗ).Техническое задание должно содержать в себе следующую информацию:среда эксплуатации нагревательного кабеля:– на открытом воздухе (кровля, водосток, трубопровод и др.);– в бетоне (или в асфальте);– грунт;– возможная пожароопасность и взрывоопасность среды;температура окружающей среды во время эксплуатации;площадь обогрева (м2);удельная мощность на единицу обогреваемой площади (Вт/м2);линейная мощность кабеля (Вт/м).Подбор материалов с эксплуатационными параметрами, обеспечивающими работоспособность и надежность кабеля.На основе требований, отраженных в техническом задании, производится:определение максимальной и минимально допустимой рабочей температуры материала изоляции и оболочки;анализ диэлектрической прочности материала изоляции и оболочки кабеля;определение механических параметров материалов изоляции и оболочки;устойчивость материала оболочки к воздействию агрессивных сред.Электрический расчет.Расчет электрических параметров кабеля состоит из нескольких этапов:Расчет номинальной мощности кабеля (Вт):Pном= S∙ps , (1)где Pном – номинальная мощность (Вт); S – обогреваемая площадь; ps – удельная мощность (Вт/м2).Расчет электрического сопротивления кабеля:R= U2Pном ,(2)где R – электрическое сопротивление кабеля (Ом); U – напряжение питающейсети (В).Расчет длины кабеля, исходя из требуемой линейной мощности:l= Pномpl ,(3)где l – длина кабеля (м); pl – линейная мощность (Вт/м).Подбор токопроводящей жилы (ТПЖ), исходя из её удельного электрического сопротивления:– выбор материала проволоки (нихром, фехраль, нержавеющая и оцинкованная сталь, медь и др. сплавы на её основе);– определение диаметра проволоки и её количество в скрутке.Зная электрическое сопротивление и длину кабеля, можно определить расчетное значение линейного сопротивления:Для одножильного кабеля:r= R∙l ,(4)где r – линейное электрическое сопротивление (Ом/м).Для двухжильного кабеля:r= R2∙l .(5)Далее подбирается материал проволоки, её диаметр, количество проволок в скрутке и вычисляется фактическое линейное сопротивление получившейся ТПЖ.Для однопроволочной ТПЖ:r1= ρS ,(6)где ρ – удельное сопротивление материала ТПЖ (Ом·мм2/м); S – площадь поперечного сечения ТПЖ (мм2).Для многопроволочной ТПЖ:rn=r1n ,(7)где n – количество проволок (шт.).На этом электрический расчет завершается. Далее необходимо определить габаритные параметры нагревательного кабеля.Расчет габаритных параметров кабеля.Габаритные размеры кабеля напрямую влияют на его эксплуатационные параметры, к которым относятся:– диэлектрическая прочность изоляции и оболочки;– минимальный радиус изгиба кабеля;– класс механической прочности кабеля (М1 или М2 согласно ГОСТ Р МЭК 60800-2012, ГОСТ IEC 62395-1-2016) [4, 5];– удельная теплоемкость материала изоляции и оболочки.Среди нагревательных кабелей можно выделить два основных типа, отличающиеся друг от друга конструкцией электромагнитного/заземляющего экрана:кабель с экраном в виде заземляющей жилы и фольги, обёрнутой по всему диаметру кабеля;кабель с экраном в виде оплетки.Оплетка может быть выполнена из медной, медной луженой и никелированной проволоки.Для наглядного понимания конструкции кабелей на рис. 1 – 4 приведены эскизы кабелей в разрезе с указанием основных конструктивных элементов и параметров.     Рис. 1. Нагревательный кабель с экраном из медной жилы и фольгиFig. 1. Heating cable with copper and foil screenРис. 2. Обозначение основных геометрических параметров кабеля с экраном из заземляющей жилы и фольгиDоб – диаметр оболочки; Dэк – диаметр экрана; Dскр – диаметр скрутки изолированных жил; Dиз – диаметр изоляции; Dтпж – диаметр токопроводящей жилыFig. 2. Designation of the main geometric parameters of the cable with ground wire and foil shieldDоб – shell diameter; Dэк – screen diameter; Dскр – diameter of twisting of insulated cores; Dиз – insulation diameter; Dтпж – diameter of the conductive core.      Рис. 3. Нагревательный кабель с экраном в виде оплеткиFig. 3. Braid-screened heating cable Рис. 4. Обозначение основных геометрических параметров кабеля с экраном в виде оплетки:Dоб – диаметр оболочки; Dэк – диаметр экрана; Dскр – диаметр скрутки изолированных жил; Dиз – диаметр изоляции; Dтпж – диаметр токопроводящей жилы; dоп – диаметр проволокиFig. 4. Designation of the main geometric parameters of the cable braided screen:Dоб – shell diameter; Dэк – screen diameter; Dскр – diameter of twisting of insulated cores; Dиз – insulation diameter; Dтпж – diameter of the conductive core; dоп – wire diameter    Расчет геометрических параметров кабеля состоит из следующих этапов:расчет диаметра ТПЖ:Dтпж=dпр∙kу ,(8)где dпр – диаметр проволоки (мм); kу – коэффициент укрутки.Коэффициент укрутки изменяется в зависимости от количества проволоки в скрутке и её типа: правильная или неправильная (дикая).На рис. 5 представлены примеры скрученных жил из 7 и 19 проволок:   Рис. 5. ТПЖ, скрученная из 7 и 19 проволок соответственноFig. 5. A conductive core consisting of 7 and 19 twisted wires respectively По количеству проволок ТПЖ может быть: однопроволочная; многопроволочная.На практике для изготовления многопроволочных ТПЖ применяют скрутку из 2, 3, 4, 5, 7 и 19 проволок. В табл. 1 представлены значения коэффициента укрутки в зависимости от количества проволок в ТПЖ.Таблица 1Зависимость коэффициента укрутки от количества проволок в ТПЖTable 1Dependence of the wrapping ratio on the number of wires in the coreКоличество проволок (n)Коэффициент укрутки (kу)112232,15542,41352,773195расчет диаметра изоляции:Dиз=Dтпж+(2∙hиз) ,(9)где Dиз – диаметр изоляции (мм); hиз – радиальная толщина изоляции (мм). расчет диаметра по скрутке изолированных жил:Dскр=2∙Dиз ,(10)где Dскр – диаметр по скрутке.расчет геометрических параметров экрана, исходя из его конструкции:заземляющая жила и фольга.Для обеспечения надежного экранирования и заземления фольга должна перекрывать весь диаметр кабеля.Исходя из геометрических параметров изоляции и заземляющей жилы, расчет ширины фольги сводится к определению периметра эллипса (рис. 7). Также необходимо учитывать то, что оболочка накладывается обжатием, т.е. фольга подвергается усадке и плотно прилегает к изоляции ТПЖ и медной заземляющей жиле (см. рис. 1).    Рис. 6. Обозначение геометрических параметров для расчета диаметра изоляцииFig. 6. Designation of geometric parameters for calculating the diameter of the insulation Рис. 7. Обозначение геометрических параметров эллипса, образуемого фольгойFig. 7. Designation of the geometric parameters of the ellipse formed by the foil  Исходя из вышесказанного, формула расчета ширины фольги имеет вид:Pэк=2π∙R2+r22∙kус ,(11)где Pэк – периметр эллипса (или ширина фольги); R – большая полуось эллипса; r – малая полуось эллипса; kус – коэффициент усадки фольги.Из-за меньшего диаметра заземляющая жила частично находится в межизоляционном пространстве (см. рис. 7). Исходя из этого, малая полуось эллипса рассчитывается следующим образом:r=Dиз2+hзж ,(12)где hзж – расстояние между крайними точками изоляции ТПЖ и заземляющей жилы.Подставив формулу (12) в (11) имеем:Pэк=2π∙R2+Dиз2+hзж22∙kус .(13)На практике существует большая номенклатура производимых кабелей, имеющих различную конструкцию ТПЖ и, соответственно, различные диаметры изоляции ТПЖ. Всё это приводит к усложнению подбора ширины фольги. Недостаточная ширина фольги приводит к неполному оборачиванию диаметра кабеля и появлению зон, незащищенных экраном. Избыточная же ширина фольги приводит к её замятиям при наложении оболочки, что уменьшает её радиальную толщину и негативно сказывается на диэлектрической прочности. Исходя из вышесказанного, эмпирическим путём с помощью полиномиальной интерполяции были выведены формулы расчета hзж и kус:hзж=-0,0855Dиз6+0,9052Dиз5-3,8232Dиз4+8,2002Dиз3--9,3729Dиз2+5,1056Dиз-0,3276 ;(14)kус=0,0215Dиз3-0,1322Dиз2+0,3712Dиз+0,7492 .(15)   Фактическую ширину фольги необходимо подобрать таким образом, чтобы обеспечить полное перекрытие диаметра скрученных изолированных жил. Для этого фактическую ширину фольги выбирают на 10…15 % больше, чем расчетную, чтобы обеспечить её нахлест.Pэк.ф=2π∙R2+Dиз2+hзж22∙kус∙1,1…1,15 ,(16)где Pэк.ф – фактическая ширина фольги.Далее рассчитывается диаметр по экрану:Dэк=Dскр+(3∙hф) ,(17)где hф – толщина фольги.В формировании диаметра по экрану участвует 3 слоя фольги. Это связано с тем, что фольга накладывается внахлест. В расчете диаметра по экрану диаметром медной жилы пренебрегают, т.к. он значительно меньше диаметра изолированных ТПЖ.оплетка из медной проволоки.Основными параметрами в конструкции оплетки являются: угол наложения оплетки; шаг оплетки; плотность оплетки.На рис. 8 представлена развертка пряди оплетки одного направления на плоскости. Рис. 8. Развертка пряди оплетки одного направления на плоскостиFig. 8. Development of a braided strand in one direction on a plane Ширина развернутой оплетки равняется периметру окружности, её описывающую:Pокр=2∙π∙Rокр=2∙π∙Dокр2=2∙π∙D=2∙π∙Dоп ,(18)где Pокр – периметр окружности или ширина оплетки (мм); Dоп – диаметр по оплетке (мм).Dоп=Dскр+2∙dпр.оп. ,(19)где Dскр – диаметр по оплетаемой заготовке или диаметр по скрутке изолированных ТПЖ (мм); dпр.оп – диаметр проволоки оплетки (мм).Из рис. 8 следует, что угол наложения оплетки можно рассчитать, как арктангенс отношения противолежащего катета к прилежащему, а именно:α=arctghопπDоп=arctghопπ∙(Dскр+2∙dпр.оп.) ,(20)где α – угол наложения оплетки (град.); h – шаг оплетки (мм);Чтобы исключить возможное сползание оплетки, необходимо контролировать расчетный угол наложения оплетки. Он должен находится в пределах от 35º до 65 º.Линейная плотность оплетки определяется по следующей формуле [6]:pлин=nпряд∙aпряд∙dпр.опhоп∙cos⁡(α) ,(21)где pлин – линейная плотность оплетки; aпряд. – количество прядей (шт.) nпряд. – число проволок в пряди (шт.).Линейная плотность оплетки – величина, представляющая собой отношение площади поверхности, закрытой прядями одного направления, к полной площади поверхности оплетаемого сердечника.Так как оплетка имеет 2 направления, то линейная плотность оплетки будет определяться следующим образом [6]:pлин=nпряд∙aпряд∙dпр.оп2∙hоп∙cos⁡(α). (22)Далее рассчитывается плотность оплетки:pоп=2∙pлин-pлин2=1-1-nпряд∙aпряд∙dпр.оп2∙hоп∙cos⁡(α)2 .(23)Диаметр по оплетке:Dэк=Dскр+4∙dпр.оп .(24)На первый взгляд формулы (19) и (24) противоречат друг другу. Но формула (19) отражает расчет диаметра по оплетке, образуемого прядями одного направления, а формула (24) – диаметр по оплетке, образуемого прядями двух направлений.расчет диаметра оболочки:Dоб=Dэк+(2∙hоб) ,(25)где hоб – радиальная толщина оболочки. Рис. 9. Обозначение геометрических параметров для расчета диаметра оболочкиFig. 9. Designation of geometric parameters for calculating the shell diameter На данном этапе расчет геометрических параметров кабеля завершается. Далее определяется расход материалов, затрачиваемых на производство кабеля.Определение расхода материалов на производство кабеля Определение расхода материалов – один из важнейших этапов проектирования кабеля. От номенклатуры используемых материалов и их количества непосредственно зависит себестоимость продукта и его соответствие необходимым требованиям. Как правило, процесс проектирования нагревательного кабеля сводится к поиску оптимального соотношения цены и качества.  Процесс расчета расхода материалов, как и расчет геометрических параметров, можно разделить на несколько этапов:расчет массы ТПЖ:      mтпж=Sпр∙nпр∙nж∙ρпр∙kу ,(26)где mтпж – масса ТПЖ (кг/км); Sпр – площадь поперечного сечения проволоки (мм2); nпр – количество проволок в скрутке (шт); nж – количество нагревательных жил в кабеле (шт); ρпр – плотность материала проволоки (г/см3); kу – коэффициент укрутки жил.Площадь поперечного сечения проволоки рассчитывается по следующей формуле:Sпр=π∙dпр24 ,(27)где dпр – диаметр проволоки (мм);расчет массы изоляции ТПЖ:      mиз=Sиз-Sтпж∙ρиз∙kт∙nж ,(28)где mиз – масса изоляции (кг/км); Sиз – площадь поперечного сечения изоляции (мм2); Sтпж – площадь поперечного сечения ТПЖ (мм2); ρиз – плотность материала изоляции (г/см3); kт – коэффициент технологических факторов.Sтпж=π∙Dтпж24 ,(29)Sиз=π∙Dиз24 .(30)   Подставив формулы (29), (30) в (26) получаем:mиз=π∙(Dтпж+2∙hиз)24-π∙Dтпж24∙ρиз∙kт∙nж= =π∙Dтпж2+4∙hиз∙Dтпж+4∙hиз24-π∙Dтпж24∙ρиз∙kт∙nж= =π∙Dтпж2+4∙π∙hиз∙Dтпж+4∙π∙hиз24-π∙Dтпж24∙ρиз∙kт∙nж= =π∙hиз∙Dтпж+π∙hиз2∙ρиз∙kт∙nж Произведя последнее преобразование, получаем формулу расчета массы изоляции в зависимости от её радиальной толщины:mиз=π∙hиз∙Dтпж+hиз∙ρиз∙kт∙nж (32)расчет массы экрана:3.1) заземляющая жила и фольга.Расчет массы заземляющей жилы производится аналогично расчету массы ТПЖ (26), (27).Масса фольги вычисляется по формуле:      mф=Sф∙ρф, (33)где mф – масса фольги (кг/км); Sф – площадь поперечного сечения фольги (мм2); ρф – плотность материала фольги (г/см3).Sф=hф∙tф, (34)где tф – толщина фольги (мм).Подставив формулу (34) в (33) получаем:      mф=hф∙tф∙ρф (35)3.2) оплетка из медной проволоки.Масса оплетки определяется следующим образом:mоп=Sоп∙ρпр.опsin⁡(α) ,(36)где mоп – масса оплетки (кг/км); Sоп – суммарное сечение всех проволок в оплетке (мм2); ρпр.оп – плотность материала оплетки (г/см3).Sоп=π∙dпр.оп24∙nпряд∙aпряд .(37)Подставив формулу (37) в (36) получаем:mоп=π∙dпр.оп2∙ρпр.оп∙nпряд∙aпряд4∙sinα (38)Расчет массы оболочки.Формула расчета массы оболочки, исходя из геометрии кабеля, выглядит следующим образом:mоб=Sоб-2∙Sиз-Sзж-Sф∙ρоб ,(39)где mоб – масса оболочки (кг/км); Sоб – площадь поперечного сечения оболочки (мм2); Sзж – площадь поперечного сечения заземляющей жилы (мм2); Sф – площадь поперечного сечения фольги (мм2); ρоб – плотность материала оболочки (г/см3).Sоб=π∙Dоб24 ,(40)Sзж=π∙dпр.зж24∙nпр.зж ,(41)   где dпр.зж – диаметр проволоки заземляющей жилы (мм); nпр.зж – количество проволок в скрутке заземляющей жилы (шт.).Подставив формулы (30), (34), (40), (41) в (39) получаем:mоб=π∙Dоб24-π∙Dиз22-π∙dпр.зж2∙nпр.зж4-hф∙tф∙ρоб .(42) Выводы В данной статье были рассмотрены основные этапы проектирования резистивного нагревательного кабеля, а также предложена математическая модель, позволяющая определить электрические и конструктивные параметры кабеля.Современные требования к качеству нагревательного кабеля, отраженные в стандартах и технических регламентах защищают потребителя от продукции, не отвечающей требованиям к качеству. Они стимулируют производителя изготавливать продукцию требуемого качества. Предложенная же в данной статье математическая модель позволяет производителю спроектировать нагревательный кабель с экономически обоснованной оптимальной конструкцией, отвечающей всем современным техническим и технологическим требованиям.