Введение Анализ рынка аккумуляторных батарей источников бесперебойного питания показывает постоянный рост, их количество в России в настоящее время составляет несколько миллионов. Расширение диапазона применения аккумуляторных батарей происходит не только в промышленности, но и на транспорте и энергетике [1,2]. Наибольшая доля аккумуляторов произведена и поставлена зарубежными компаниями (DELTA Battery, Ippon, CSB Energy Technology, Leoch Battery Technology, Ventura и др.). Большая часть аккумуляторов для источников бесперебойного питания имеет срок эксплуатации 5 – 12 лет.  При этом опыт использования таких аккумуляторов показывает, что средний ресурс их эксплуатации составляет 3 – 5 лет, а зачастую и меньше. Основную долю рынка аккумуляторных батарей для источников бесперебойного питания в настоящее время занимают свинцово-кислотные аккумуляторы.По типу электролита свинцово-кислотные аккумуляторы делятся на три вида:1. Негерметичные с жидким электролитом в виде разбавленной серной кислоты. 2. Герметизированные батареи Gel с электролитом, загущенным при помощи силикагеля (SiO2). 3. Герметизированные батареи AGM (Absorbent Glass Mat или «абсорбирующее стекловолокно») с электролитом в виде пропитанного волокна. Результаты сравнения аккумуляторных батарей GEL и AGM показаны на рис. 1. Рис. 1. Сравнение свинцово-кислотных аккумуляторов GEL и AGMFig. 1. Comparison of lead-acid GEL and AGM batteries  Анализ результатов сравнения показывает, что аккумуляторы с AGM используются в источниках бесперебойного питания в основном для буферного режима с неглубокими разрядами, поскольку обладают преимуществом в стоимости и не требуют повышенного количества зарядно-разрядных циклов. Проблеме компьютерного и математического моделирования аккумуляторных батарей посвящен ряд работ [3,4]; имеются исследования, учитывающие изменение срока службы из-за деградации параметров [5,6]. В [7] описано применительно к свинцово-кислотным батареям несколько методов в оценке срока службы. Первый метод использует физико-химическую модель старения, основанную на изучении химических и электрохимических реакций. Второй метод основан на предположении, что деградация батареи влияет на ее первоначальную номинальную емкость. Третий метод основан н использовании кривой Велера, которая моделирует скорость старения в зависимости от количества циклов. Для электрохимических систем такой подход справедлив при выполнении нескольких условий. В [8] приведены эмпирические зависимости количества циклов от ряда эксплуатационных факторов. В [9] приведен анализ физических процессов старения в зависимости от температуры аккумулятора и ее колебаний, в [10] проанализированы методы исследования влияния температуры на срок службы аккумулятора. В [11] исследованы зависимости параметров эквивалентной схемы замещения аккумуляторной батареи от тока заряда-разряда, количества заряда и температуры. Особенностям процесса нагрева и охлаждения аккумуляторных батарей и проблеме управления ими посвящены работы [12,13,14].Целью настоящей статьи является разработка нового подхода к моделированию оценки срока службы свинцово-кислотных аккумуляторных батарей. Предлагаемая методика основана на математических моделях старения в зависимости от глубины разряда θР  и температуры T . Новая модель разработана с использованием экспериментальных значений, указанных в технической документации основных производителей свинцово-кислотных аккумуляторов, численных методов обработки экспериментальных данных. Адекватность математической модели подтверждается удовлетворительным совпадением полученных результатов со справочными данными. Модель определения срока службы относительно глубины разрядаНа основе данных от основных производителей аккумуляторных батарей, предназначенных для источников бесперебойного питания, составлена таблица 1, характеризующая срок службы, взаимосвязанный с количеством циклов и глубиной разряда. Таблица 1Зависимость количества циклов от глубины разрядаTable 1Dependence of number of cycles on discharge depth№ п.ПроизводительМодель (тип электролита AGM)Тип элект-ролитаСрок службы в буферном режиме, летКоличество циклов при различной глубине разряда30%50%100%1DELTA BatteryHR6-4.5...HR12-26AGM812004502502DELTA BatteryHR12-40...HR12-100AGM10-1213005503003DELTA BatteryHR12-21W...HR12-80WAGM812005503004DELTA BatteryHRL12-7.2X...HRL 12-180X, HRL12-155W...HRL 12-890WAGM1213006003005CSB Energy TechnologyGP645…GP121000, HR12120W, UPS123606, GPL12120…GPL12260,GPL12400…GPL121000AGM5-1012004502606IPPONIP12-5…IP12-17, IP12-100…IP12-200, IPL12-7…IPL12-65AGM5-1012004502507Leoch Battery TechnologyDJW12-4,5…DJW12-33,DJM12-38…DJM12-250AGM8-1212004502508VenturaGP, GPL, HR, HRLAGM6-121200450250Анализ данных, приведенных в таблице 1, показывает, что максимальное количество циклов во всем диапазоне изменения глубины разряда имеет модель в п. 4; минимальное количество циклов имеют модели в пп. 1, 6 – 8. На основе полученных данных для определения области зависимостей максимального количества циклов от глубины разряда и дальнейшего построения математической модели, проведем степенную интерполяцию для минимальных и максимальных значений:N1678=205,05θР-1,446                                                  (1)N4=268,27θР-1,338                                                     (2)где N1678  – количество циклов заряда-разряда в части пп. 1, 6 – 8 таблицы 1; N4  – количество циклов заряда-разряда в части п. 4 таблицы 1; θР  – глубина разряда (в долях).Таким образом, получены две зависимости (рис. 2, а), характеризующие диапазон срока службы различных типов герметичных свинцово-кислотных аккумуляторов, массово применяемых для источников бесперебойного питания.Для сравнения полученных результатов используем справочную зависимость числа зарядно-разрядных циклов от глубины разряда [8]:lgNC=lgN1-b(1-θР)                                                (3)где N C – число циклов заряда-разряда; N1  – число циклов при θР=0 ; b – эмпирический коэффициент равный -0,9…-0,97.На основе приведенной формулы построены справочные зависимости и показаны на рис. 2, б.  а)                                                                                б)Рис. 2. Зависимости максимального количества циклов NC1678 (1), NC4 (2) от глубины разряда θР Fig. 2. Dependencies of the maximum number of NC1678 (1), NC4 (2)  cycles on the θР  discharge depth Модель влияния температуры на срок службы аккумуляторов Одной из серьезных проблем, влияющих на ресурс герметизированных свинцово-кислотных аккумуляторов является отвод тепла, возникающего в результате реакции восстановления кислорода и реакции рекомбинации газов. Основными производителями герметичных аккумуляторов оценивается влияние температуры на количество циклов заряда-разряда относительно контрольной температуры 20 ⁰С. При этом следует учитывать, что согласно закону Аррениуса свинцово-кислотные аккумуляторы, при повышении температуры свыше 20 ⁰С, на каждые 10 ⁰С снижают срок службы на 50% [9]. Также указанная зависимость подтверждается экспериментальными данными от производителей аккумуляторных батарей. Для определения количества циклов NT  в зависимости от рабочей температуры T  при интерполяции математической модели учтем значения представленные в таблице 2.Процент числа циклов аккумуляторной батареи по сравнению эталоном, измеренным при 20оС, определяется уравнением:NT%=NθTNθ20oC                                              (4)где NT%  - число циклов аккумуляторной батареи в процентах; NθT  – число циклов при температуре T ; Nθ20oC  – число циклов аккумуляторной батареи при температуре 20оС.Таблица 2Зависимость количества циклов от температурыTable 2Number of cycles versus temperatureT , оС2025304050NT , %10071502512,5 С использованием экспоненциальной интерполяции на основе данных, полученных в таблице 2, синтезирована математическая модель, отражающая изменение количества циклов NT%  в зависимости от температуры T :NT%=100401,07e-0,069T               0<T≤20℃T>20℃                             (5)Чтобы определить рабочую температуру аккумулятора используем следующее соотношение:T=Tокр+∆T,                                                  (6)где Tокр  – температура окружающей среды; ∆T  – разница температур, связанная с внутренними тепловыми потерями PT .Связь между разницей температур ∆T  и тепловыми потерями PT  определим, используя тепловую модель свинцово-кислотной аккумуляторной батареи, которая оценит потери тепла, вызванные внутренними и внешними воздействиями. Внешний нагрев связан с температурой окружающей среды, в то время как внутренние потери тепла зависят от омического сопротивления R℧  токопроводящих частей электродов, их активных масс и сопротивления электролита, а также поляризационного сопротивления Rпол , отражающего динамику электрохимических реакций аккумуляторной батареи [10].Эквивалентная электрическая схема, приведенная на рис. 3, отражает тепловую модель, которая содержит тепловую емкость двойного слоя Cдв , тепловое сопротивление переноса заряда Rо  и источник тока с омическим сопротивлением R℧ .  Рис. 3. Тепловая модель аккумуляторной батареиFig. 3. Thermal model of the battery Тепловые потери рассчитываются, исходя из тока I  в аккумуляторной батарее и внутреннего сопротивления Rвн :PT=RвнI2.                                                              (7)Зависимость внутреннего сопротивления от тока заряда-разряда, количества заряда и температуры имеет следующий вид [11]: RвнT=R1+R2+R31-αT∆T=k11+Ik2+k3(1-QCT)k4+k51-αT∆T,          (8)где CT  – максимальная емкость АБ; Q  – количество заряда, передаваемого в единицу времени; k1,  k2,  k3,  k4,  k5,  αT  – эмпирические постоянные; R1, R2  – сопротивления активных масс и сопротивления электролита, определяющие влияние зарядно-разрядного тока I  и количества заряда Q  на химическое состояние аккумулятора; R3=k5=R℧  – омическое сопротивление.Разница температур ∆T  определяется тепловой моделью АБ (рис. 3):∆T=ZTPT=ZTRвнI2,                                                  (9)где ZT  – тепловой импеданс электрохимической системы [12], состоящий из тепловой емкости двойного слоя Cдв  параллельно с тепловым сопротивлением переноса заряда Rо . Полученную тепловую модель интегрируем в модель старения аккумуляторной батареи и используем для оценки теплопередачи за счет проводимости и конвекции. Из-за сложности динамических процессов импеданс считаем постоянным во время циклов заряда-разряда [13, 14]. Обобщенная модель старения свинцово-кислотной аккумуляторной батареи Объединив уравнения (1), (5) и (6), получим выражение зависимости максимального количества циклов NθT  от глубины разряда θР  и температуры T : NθT=205,05θР-1,446,  0<T≤20℃205,05θР-1,446401,07e-0,069T, T>20℃                         (10)                  Как уже определили ранее – влияние температуры на процесс старения свинцово-кислотной аккумуляторной батареи в диапазоне 0 – 20 ⁰С незначительно. Модель старения в данном случае соответствует зависимости (1). При T>20 ℃  влиянием внутренней температуры можно пренебречь и максимальное количество циклов NθT  получается путем перемножения правых частей уравнений (1) и (5).Для определения скорости старения RСтθKTK  для каждого цикла k примем обратное значение максимального количества циклов (10):RСтθKTK=1NθKTK                                                (11)Таким образом, получена скорость старения, зависящая от глубины разряда и температуры (рис. 4).   Рис. 4. Зависимость скорости старения RСтθKTK  за цикл от глубины разряда θР  и температуры T Fig. 4. Dependence of aging rate RСтθKTK  per cycle on θР  discharge depth and temperature T В период эксплуатации свинцово-кислотные аккумуляторные батареи с источниками бесперебойного питания работают с различными амплитудами разряда при различных температурах. Для определения скорости старения RСт  предлагается суммировать скорость старения каждого цикла RСтθKTK  для N  циклов:  RСт=k=1NRСтθT.                                                             (12)В случае приближения накопленной скорости старения к максимальному значению происходит завершение срока службы свинцово-кислотной аккумуляторной батареи.Для практического использования разработанной методики необходимо предусмотреть систему мониторинга состояния аккумуляторной батареи, позволяющую определять количество циклов заряда-разряда, глубину разряда и ее температуру.  ЗаключениеВ результате проведенного анализа установлено, что основную долю рынка аккумуляторных батарей для источников бесперебойного питания занимают свинцово-кислотной химические источники тока. При построении математических моделей с целью определения скорости старения и количества циклов аккумуляторных батарей необходимо использовать экспериментальные данные и/или данные, указанные в руководствах по эксплуатации от производителей. Для интерполяции дискретных данных применена степенная функция. Полученная обобщенная математическая модель скорости старения от глубины разряда и температуры позволяет на основе текущих данных систем мониторинга или телеметрии прогнозировать оставшееся количество циклов заряда-разряда до завершения срока службы различных герметизированных свинцово-кислотных аккумуляторных батарей.