кандидат технических наук;
candidate of technical sciences;
Фракталы – геометрические объекты, каждая часть которых подобна целому, так что если взять часть и увеличить до размеров целого, разницы заметить будет невозможно. Иными словами, фракталы – множества, обладающие масштабной инвариантностью. В математике они, прежде всего, связаны с недифференцируемыми функциями. Само понятие «фрактал» (от лат. fractus – сломанный, разбитый) ввел Бенуа Мандельброт (1924–2010), французский и американский математик, физик, экономист. Мандельброт обнаружил, что произвольные внешне колебания цены на товары имеют определенную тенденцию изменения: колебания в течение дня оказались симметричны длительным колебаниям цены. По сути, Бенуа Мандельброт применил для решения этой проблемы своего рекурсивного (фрактального) метода. Начиная с последней четверти девятнадцатого века, было создано большое количество фрактальных кривых и плоских объектов, разработаны методы их применения. Наиболее интересными, с геометрической точки зрения, фракталами, являются снежинка Коха и дерево Пифагора. С помощью современной программы трехмерного моделирования были созданы два класса объемных аналогов данных фракталов («фракталы роста» – подобны дереву Пифагора, «фракталы деления» – снежинке Коха), разработана первичная классификация, изучены их свойства. Эмпирические данные обрабатывались как с помощью простейших арифметических вычислений, так и с использованием компьютерных программ. Кроме прочего, для фракталов деления была поставлена задача создания объекта с бесконечной площадью поверхности, который, в перспективе, может приобрести немаловажное значение для развития химической и прочих отраслей промышленности.
Fractals are geometric objects, each part of which is similar to the whole object, so that if we take a part and increase its size to the size of the whole object, it would be impossible to notice a difference. In other words, fractals are sets having scale invariance. In mathematics, they are associated primarily with non-differentiable functions. The concept of "fractal" (from the Latin "Fractus" meaning «broken») had been introduced by Benoit Mandelbrot (1924–2010), French and American mathematician, physicist, and economist. Mandelbrot had found that seemingly arbitrary fluctuations in price of goods have a certain tendency to change: it turned out that daily fluctuations are symmetrical with long-term price fluctuations. In fact, Benoit Mandelbrot applied his recursive (fractal) method to solve the problem. Since the last quarter of the nineteenth century, a large number of fractal curves and flat objects have been created; and methods for their application have been developed. From geometrical point of view, the most interesting fractals are "Koch snowflake" and "Pythagoras Tree". Two classes of analogues of the volumetric fractals were created with modern three-dimensional modeling program: "Fractals of growth” – like Pythagoras Tree, “Fractals of separation” – like Koch snowflake; the primary classification was developed, their properties were studied. Empiric data was processed with basic arithmetic calculations as well as with computer software. Among other things, for fractals of separation the task was to create an object with an infinite surface area, which in the future might acquire great importance for the development of the chemical and other industries.
История фракталовФракталы – геометрические объекты, каждая часть которых подобна целому, так что если взять часть и увеличить до размеров целого, разницы заметить будет невозможно. Иными словами, фракталы – множества, обладающие масштабной инвариантностью [1]. В математике же фракталы, прежде всего, тесно связаны с недифференцируемыми функциями. Так, до XIX в. математики имели дело только с функциями, которые задают гладкие кривые [8]. Однако 18 июля 1872 г. Карл Вейерштрасс [12] в Королевской Академии наук Пруссии представил работу, в которой было показано, что для натурального числа a и числа 0 < b < 1 ряд не дифференцируем (рис. 1).