Введение В современном мире для принятия управленческих решений компаниям необходим тщательный и комплексный анализ. Используя методы моделирования и прогнозирования [1, 2], компании могут сформировать правдоподобные сценарии своего будущего. Некоторые предыдущие исследования изучали эффективность ряда российских организаций [3, 4].Большинство методов аппроксимации данных по организациям не учитывают предел роста компании, ряд других ограничений. Между тем, логистическая кривая имеет такой предел [5, 6], из-за чего она представляется наиболее подходящей в задаче прогнозирования с ограничением сверху. При прогнозировании развития организаций интересно рассмотреть быстрорастущие компании (БРК). Эти организации оказывают положительное влияние на экономические показатели страны. Быстрорастущие компании обладают способностью быстро приспосабливаться к изменяющимся рыночным условиям и обрабатывать запросы потребителей, а также принимать стратегические решения в короткие сроки. Таким образом, конкурентоспособность таких организаций достаточно высока.Одним из ключевых аспектов БРК является их относительно короткий срок жизнедеятельности. Соответственно, при анализе результата прогнозирования для этих организаций необходимо учитывать статистическую особенность.В данной работе критерием определения БРК является среднегодовой рост выручки не менее 50 % за последние 5 лет. Обзор Быстрорастущие компании, также известные как «газели», обладают высокой скоростью роста и адаптивностью к изменяющимся рыночным условиям, аналогично одноименному млекопитающему из подсемейства антилоп, развивающему высокую скорость при беге. Термин «газели» был впервые использован в экономической сфере американским экономистом Джоном Берчем и с тех пор широко используется для описания таких организаций [7].Эксперт по ценообразованию Г. Симон считает, что выявлять и изучать необходимо «скрытых чемпионов» быстрого роста, являющихся относительно небольшими и часто неизвестными компаниями и в то же время играющими ключевую роль в экономике страны или даже мира. В частности, в работах [8 – 10] это малые и средние предприятия, которые играют значительную роль в немецкой экономике. Он утверждает, что многие крупные и известные компании используют методы таких организаций, которые чаще всего основываются на обеспечении повышения ценности выпускаемой продукции: например, сознательно ограничивают выпуск товаров, считая, что рост объемов снижает их исключительность, а значит и ценность.Быстрорастущие компании в качестве объекта анализа в России рассмотрены в трудах [11 – 16] – каждый имеет свою особенность. Например, в работе [12] Ю.Г. Кириллов, И.А Коновалов и Э.К. Енза выявляют БРК в рамках одного региона и рассматривают их вклад в валовый региональный продукт. Математическая модель Основанием для создания логистической кривой послужило утверждение Роя Чепмена из области математической биологии, что рост популяции зависит от двух факторов: биотического потенциала, т.е. потенциальной скорости роста популяции в идеальных условиях, и сопротивления среды, т.е. различных факторов, которые могут ограничивать рост популяции, например, нехватка пищи или присутствие хищников. Кривая показывает, как количество особей в популяции изменяется со временем при различных значениях параметров модели. Она используется для описания процессов с ограничениями. Кривая применима к анализу развития быстрорастущих компаний и рынка в целом [7]. Логистическая кривая была названа в честь бельгийского математика Пьера-Франсуа Ферхюльста, который предложил ее математический вид в 1838 году [3, 17].Рассмотрим уравнение кривой Ферхюльста: dQdt=δ*Q*K-QK,                                                              (1)где Q – количество особей популяции; K – предельное значение особей при определенных условиях; δ – потенциальная скорость размножения; t – время.Проведя манипуляции над (1), получаем:QK–Q=C*eδt.Рассмотрим наиболее известный вид логистической кривой:Ft=L1+e–kt-t0,                                                                (2)где F(t) – функция, зависящая от времени; t0 – год перегиба; k – параметр, определяющий скорость роста; L – предел роста. Идентификация параметров L, k, t0 по критерию минимизации корня среднеквадратичного отклонения выглядит следующим образом:D=0tNYt-L1+e-kt-t02N+1L,k,t→0min,                                    (3)t0min≤t0≤t0max,                                                                (4)YN≤L.                                                             (5)где D – корень среднеквадратичного отклонения; Y – значение выручки; k – параметр роста; t – индекс времени; t0 – точка перегиба; tN – последний период фактических данных;t = 0 – начальный период фактических данных. Можно выделить три фазы в динамике этой кривой [3, 18]:– начальная фаза медленного роста, который в некоторой степени напоминает экспоненциальный рост;– фаза быстрого роста, которая имеет сходство с линейным ростом;– заключительная фаза замедления, когда рост близок к гиперболическому – стремится к своему пределу.Можно провести аналогию вышеописанных фаз с утверждением Роя Чепмена из математической биологии (рис. 1): кривая также имеет предел, к которому стремится при увеличении времени [19]. Рис. 1. График уравнения Ферхюльста на примере численности популяцииFig. 1. Graph of the Verhulst equation using population size as an example Для проведения экстраполяции необходимо идентифицировать параметры логистической кривой. Это можно сделать, используя метод наименьших квадратов (МНК), в котором параметры кривой выбираются так, чтобы минимизировалась сумма квадратов разностей исходных и оценочных значений. Исходные данные За статистическую основу были взяты данные российских компаний из открытых источников: Росстат [20] с 2014 по 2018 годы и сервис Государственного информационного ресурса бухгалтерской (финансовой) отчетности (БФО) ФНС России [21] с 2019 по 2022 гг. На момент подготовки работы данные за 2023 г. начали поступать, но пока в начальном объеме. Общее количество обработанных финансовых отчётов составило около 2,5 млн. российских компаний, среди которых приблизительно 0,8 млн. компаний имели нулевую выручку. Нужно отметить, что в условиях действующих санкций сбор данных ограничен рядом факторов. Были выявлены компании, значение выручки которых составило более 1 млрд руб. – около 48 тыс. компаний из различных отраслей. Из данного набора выделено около 900 БРК с данными за 2014 – 2022 гг. Результаты численного моделирования Более подробно прогнозирование рассмотрено на БРК «Вайлдберриз» (ИНН 7721546864) – всем известный маркетплейс Wildberries. Данными является выручка компании с 2016 по 2022 гг. (табл. 1, рис. 2). Отметим, что финансовая отчетность организации включает только «свою» выручку. В маркетинговых исследованиях используется «оборот» организации с учетом выручки агентов компании. Следует отметить, что расчеты для Вайлдберриз проводились до большого пожара на складе под Санкт-Петербургом 13 января 2023 г. По нашим экспертным оценкам это происшествие повлияет на затраты, но не на выручку (модельный параметр) организации.Для расчетов принято для (4) tmin = 2016, tmax = 2045.  Таблица 1Выручка Вайлдберриз – фактическая и оценочнаяTable 1Wildberries revenue – actual and estimatedГодФакт. выручка, млн. руб.Оценка выручки, млн. руб.Отношение оценки и фактической выручки201637 60137 6901,002201747 47054 2621,143201869 50977 9781,1222019116 946111 7660,9562020169 773159 5990,9402021224 940226 7091,0082022317 212319 6901,008 Рис. 2. Аппроксимация выручки Вайлдберриз по логистической кривойFig. 2. Approximation of Wildberries revenue using a logistic curve В результате идентификации параметров по формуле (3) для исходных данных «Вайлберриз» предел роста оценен L ≈ 4 трлн. руб., темп роста k ≈ 37 %, год перегиба t0 ≈ 2028 г.На рис. 3 показана фактическая выручка за 2016 – 2022 гг., оценка и экстраполяция по формуле (2) выручки до насыщения (в расчете до 2045 года). По модельной оценке, в 2040 году выручка организации начинает стремиться к предельному значению.  Рис. 3. Прогноз выручки Вайлдберриз до 2045 годаFig. 3. Wildberries revenue forecast until 2045 Аналогично проведена идентификация параметров логистического приближения для выборки выявленных быстрорастущих компаний. Результаты расчета для некоторых организаций приведены в табл. 2. Таблица 2Некоторые быстрорастущие организации РоссииTable 2Some fast growing organizations in RussiaНаименование организацииВыручка за 2014 г., млрд руб.Выручка за 2022 г., млрд руб.Среднегодовой рост выручки 2014 – 2022, %Потен­циал L, млрд руб.Рост k, %Пере­гиб t0, годКоэф. детер­мина­ции, R²Критерий Фише­ра, FПара­метр PАлгоритм топливный интегратор3,842288,771,6 %2 099107,4 %2023,70,98463840,185Альбион-20027,665236,453,5 %49738,3 %2022,40,99066310,413Эльгауголь1,261162,883,6 %239125,4 %2021,40,97382230,231Газэнергосеть Санкт-Петербург0,064155,9164,8 %23253,4 %2020,00,95321220,464Ситилинк3,819137,456,5 %22045,7 %2020,00,95171180,528Мирогрупп ресурсы2,811105,657,3 %20247,0 %2021,20,94731080,454 Критерии достоверности модели Для оценки приближения и проверки адекватности построенной регрессии для быстрорастущих организаций были рассчитаны коэффициент детерминации R2 и критерий Фишера F (табл. 2). Для определения прогнозируемого и непрогнозируемого показателя БРК приближением в виде логистической кривой выявлен параметр P, характеризующийся как отношение среднего значения показателя по годам к значению за последний год – в нашем случае за 2022 год.Pj=0tNSj,tN+1Sj,N,                                                              (6)где Р – параметр отношения; S – выручка; j – номер компании.Ниже приведены расчеты критерия Фишера F по множеству выявленных БРК для приближения логистической кривой. Пороговое значение критерия Фишера для уровня статистической значимости α = 5 %, количества измерений (точек) N = 9, степеней свободы dN = 6 составляет Fкрит = 5,82.Результаты критерий Фишера по каждой из БРК показаны на рис. 4 (по оси X – номер БРК j в списке, сортировка по выручке 2022 г., черта – Fкрит). Из 884 выявленных БРК критерий Фишера Fj ≥ Fкрит выполняется для 714 БРК, для которых логистическое приближение можно признать статистически значимым. Ручной анализ БРК с не выполняющимся критерием Fj ≥ Fкрит показывает, что такие компании имеют негладкий профиль роста. Например, после бурного взлета происходит падение. Но организация формально остается БРК, так как итоговый рост удовлетворяет критериям БРК. Отметим по рис. 4, что с уменьшением размера организации с номерами более 800 (после сортировки по выручке 2022 г.) не удовлетворяют критерию Фишера. Для данной выборки БРК это соответствует порогу 1 000 млн. руб. Рис. 4. Критерий Фишера по всем быстрорастущим организациямFig. 4. Fisher's criterion for all fast-growing organizations На рис. 5 представлен график с параметром Pj отношения средней выручки к последней по всем БРК. Из графика видны выпадающие из полосы значения – эти компании относятся к «спадающим» или «скачущим» видам роста значений показателя (выручки) с течением времени, поэтому модель логистической кривой для прогнозирования им не подходит. Рис. 5. Критерий P отношения среднего значения к последней выручке по всем быстрорастущим организациямFig. 5. P criterion of the ratio of the average to the latest revenue for all fast-growing organizations Заключение В рамках работы были рассмотрены быстрорастущие компании (БРК). Для описания их роста была использована логистическая кривая с идентификацией параметров.Для выборки БРК с ростом выручки более 50 % за последние 8 лет была проведена идентификация параметров логической кривой и сделан прогноз выручки до 2050 года. Более подробно приведены расчеты прогнозной выручки для компании «Вайлдберриз». Результаты демонстрируют, что с полученными значениями параметров «Вайлдберриз» может достичь выручки около 4 трлн. рублей и сохранить доминирующую позицию на рынке.Прогнозы на значимый период времени до 2045 – 2050 гг. выглядят нахальными с учетом текущей турбулентности макроэкономической среды, но в сочетании с другими методами предлагаемый подход к оценке возможностей быстрорастущих компаний позволяет выделять и анализировать наборы компаний – «газелей» с учетом верхнего предела их роста.