Vestnik of Don State Technical UniversityVestnik of Don State Technical UniversityВестник Донского государственного технического университета1992-59801089910.12737/18157МеханикаMechanicsМеханикаOn critical loads of compressed elastic rectangular plate with dislocations and disclinations О критических нагрузках сжатой упругой прямоугольной пластины с дислокациями и дисклинациями Пешхоев Иса МусаевичPeshkhoev Isa Мусаевичpeshkhoev@rambler.ru22012016220120161614351https://zh-szf.ru/en/nauka/article/10899/view
Рассматривается задача о критических нагрузках сжатой пря-моугольной пластины, содержащей непрерывно распределенные источники собственных напряжений. Анализ задачи проводится на основе модификации системы нелинейных уравнений Кармана для больших прогибов упругих пластин с дисло-кациями и дисклинациями с различными вариантами краевых условий. Введением замены для функции напряжений задача сводится к исследованию двух задач: линейной краевой задачи относительно функции напряжений, вызванных внутренними источниками и системы нелинейных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, вызванных внешними сжимающими нагрузками, которая имеет тривиальное решение. Классическая критическая нагрузка определяется как наименьшее собственное значение линейной краевой задачи, полученной линеаризацией системы нелинейных уравнений относительно тривиального решения. Рассматриваются четыре типа краевых условий: все края подвижно защемлены; все края шарнирно оперты; два противоположных края свободны от напряжений, а два других подвижно защемлены или шарнирно оперты. Равномерно распределенные сжимающие нагрузки одинаковы на противоположных краях. Установлено, что если мера несовместности является нечетной по одной переменной и четной или нечетной по другой переменной, то напряжения, вызванные только внутренними источниками, не приводят к потере устойчивости плоского равновесного состояния и не влияют на критические значения сжимающих нагрузок.
A problem on critical loads of the compressed rectangular plate containing continuously distributed sources of inherent stress is considered. The task analysis is based on the modification of the Karman nonlinear equations system for large deflections of elastic plates with dislocations and disclinations under different boundary conditions. By the introduction of a replacement for the stress function, the problem reduces to the treatment of two tasks: a linear boundary value problem concerning the stress function caused by internal sources and a system of nonlinear equations concerning the deflection and the stress function caused by external compressive loads, which possesses a trivial solution. The classical critical load is defined as the smallest eigenvalue of the linear boundary value problem obtained by the linearization of the nonlinear equations system relative to the trivial solution. Four types of boundary conditions are treated: all edges are variably restrained; all edges are simply supported; two opposite edges are stress-free, and the other two are either variably restrained or simply supported. Uniformly distributed compressive loads are equal on the opposite edges. It is established that if the measure of inconsistency is odd on one variable and odd or even on another variable, then the stresses caused only by internal sources, do not lead to the loss of the flat equilibrium state and do not affect the critical values of compressive loads.
упругая пластинадислокации и дисклинациикритическая нагрузка.elastic platedislocations and disclinationscritical load.
В работе Л. М. Зубова [1] на основе уравнений Кармана построена система нелинейных уравнений равновесия упругих пластин, содержащих внутренние источники напряжений, вызванных дислокациями и дисклинациями. Рассмотрена задача об изгибе мембраны вследствие релаксации вызванных дефектами внутренних напряжений, которая сведена к уравнению Монжа-Ампера. Найдено несколько точных решений о форме поверхности мембраны, содержащей распределенные дисклинации. В [2] рассмотрена задача о влиянии внутренних напряжений на прогибы и напряженное состояние круглой упругой пластины, испытывающей поперечное давление. Установлено, что наличие дисклинаций приводит к нелинейному увеличению прогиба. Исследованы задачи об устойчивости и послекритическом поведении нагруженной контурным давлением круглой пластины с непрерывно распределенными дисклинациями. Найдены вызванные дисклинациями осесимметричные закритические формы изгиба пластинки, которые существуют при отсутствии внешней нагрузки. Установлено, что при переходе пластинки из плоского состояния в изогнутую форму уменьшается величина внутренних напряжений.В работе В. А. Треногина [3] был развит метод Ляпунова–Шмидта в операторной форме для нелинейных уравнений в банаховых пространствах. В работе [4] Л. С. Срубщик и В. А. Треногин исследовали задачу о влиянии малой поперечной нагрузки на выпучивание и послекритическое поведение пластины произвольной формы под действием параллельных осям координат сжимающих краевых усилий. В работе Рейсснера [5] рассмотрена задача о влиянии нелинейно-упругого основания на выпучивание и начальное послекритическое поведение безмоментного плоско-напряженного состояния в случае бесконечной пластины с малыми геометрическими несовершенствами, а в случае тонкой сжатой пластины строго выпуклой формы со свободным краем при дополнительном действии малой поперечной нагрузки эта задача решена Л. С. Срубщиком [6]. В работах [7, 8] исследована задача о влиянии малой поперечной нагрузки на послекритическое поведение прямоугольной гибкой пластины, лежащей на нелинейно-упругом основании и равномерно сжатой в продольном направлении, а в [9] эта же задача рассмотрена для пластины с дислокациями и дисклинациями. С помощью операторного метода Ляпунова–Шмидта определено количество решений, соответствующих новым формам равновесий, и для каждого из них строятся асимптотические представления.
Зубов, Л. М. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями // Доклады РАН. - 2007. - Т.412, № 3. - С. 343-346.Zubov, L.М. Uravneniya Karmana dlya uprugoy plastinki s dislokatsiyami i disklinatsiyami. [Karman equations for an elastic plate with dislocations and disclinations.] Doklady Akademii Nauk, 2007, vol. 412, no. 3, pp. 343-346 (in Rus-sian).Зубов, Л. М. Сильный изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями / Л. М. Зубов, Т. Х. Фам // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2010. № 4. - С. 28-33.Zubov, L.М., Pham Thu Huong. Sil´nyy izgib krugloy plastinki s nepreryvno raspredelennymi disklinatsiyami. [Strong bending of circular plate with continuously distributed disclinations.] Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskiy region. Natural Sciences. 2010, no. 4, pp. 28-33 (in Russian).Треногин, В. А. Разветвление решений нелинейных уравнений в банаховом пространстве / В. А. Треногин // Успехи матем. наук. - 1958. - Т. 13. Вып. 4.Trenogin, V.А. Razvetvlenie resheniy nelineynykh uravneniy v banakhovom prostranstve. [Branching of so-lutions of non-linear equations in Banach space.] Russian Mathematical Surveys, 1958, vol. 13, iss. 4 (in Russian).Срубщик, Л. С. О выпучивании гибких пластин / Л. С. Срубщик, В. А. Треногин // ПММ. - 1968. - Т. 32. Вып.4. - С. 721-727.Srubshchik, L.S., Trenogin, V.А. O vypuchivanii gibkikh plastin. [On buckling of flexible plates.] Journal of Ap-plied Mathematics and Mechanics, 1968, vol. 32, iss. 4, pp. 721-727 (in Russian).Reissner E. On Postbuckling Behavior and imperfection sensitivity of Thin Elastic Plates on a Non-linear Elastic Foundation / E. Reissner // Studies in Appl. Math. - 1970. - Vol. XLIX, N. 1. - P. 45-57.Reissner E. On Postbuckling Behavior and imperfection sensitivity of Thin Elastic Plates on a Non-linear Elastic Foundation. Studies in Appl. Math., 1970, vol. XLIX, no. 1, pp. 45-57.Срубщик, Л. С. Краевой эффект и выпучивание тонких пластин на нелинейно-упругом основании / Л. С. Срубщик // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. XXI, № 10. - С.1790-1794.Srubshchik, L.S. Kraevoy effekt i vypuchivanie tonkikh plastin na nelineyno-uprugom osnovanii. [The edge effect and buckling of thin plates on nonlinear elastic foundation.] Differential Equations, 1985, vol. XXI, no. 10, pp.1790-1794 (in Russian).Пешхоев, И. М. Выпучивание и послекритическое поведение сжатой прямоугольной пластины на нели-нейно-упругом основании / И. М. Пешхоев, Л. С. Срубщик. - Ростов-на-Дону, 1983. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.83, № 4037-83.Peshkhoev, I.M. Srubshchik, L.S Vypuchivanie i poslekriticheskoe povedenie szhatoy pryamougol´noy plastiny na nelineyno-uprugom osnovanii. [Buckling and post critical behavior of compressed rectangular plate on nonlinear elastic foundation.] Rostov-on-Don, 1983, 17 p. Dep. in VINITI 07.83, no. 4037-83 (in Russian).Баул А. В. Влияние начальных несовершенств на выпучивание продольно сжатых прямоугольных цилин-дрических панелей и пластин / А. В. Баул, И. М. Пешхоев, Л. С. Срубщик // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 1986. - № 1. - С.34-37.Baul, А.V., Peshkhoev, I.M., Srubshchik, L.S Vliyanie nachal´nykh nesovershenstv na vypuchivanie prodol´no szhatykh pryamougol´nykh tsilindricheskikh paneley i plastin. [Influence of initial imperfections on the buckling of longitudi-nally compressed rectangular cylindrical panels and plates.] Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskiy region. Natural Sciences.1986, no. 1, pp. 34-37 (in Russian).Пешхоев, И. М. Ветвление равновесий сжатой упругой прямоугольной пластины с дислокациями и дис-клинациями / И. М. Пешхоев // XI всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, сб. докл., Казань, 20 - 24 августа 2015 г., - С. 2989-2991.Peshkhoev, I.M. Vetvlenie ravnovesiy szhatoy uprugoy pryamougol´noy plastiny s dislokatsiyami i disklinatsiyami. [Branching of equilibria of compressed elastic rectangular plate with dislocations and disclinations.] XI vse-rossiyskiy s´´ezd po fundamental´nym problemam teoreticheskoy i prikladnoy mekhaniki, sb. dokl., Kazan´, 20 - 24 avgusta 2015 g. [Proc. XI All-Russian Congress on fundamental issues of Theoretical and Applied Mechanics, Kazan, 20 -. 24 August, 2015] pp. 2989-2991 (in Russian).Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - Москва : Физматгиз, - 1966. - 636 с.Timoshenko, S.P., Voynovsky-Krieger, S. Plastinki i obolochki. [Plates and shells.] Moscow: Fizmatgiz, 1966, 636 p. (in Russian).Ворович, И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек/ И. И. Ворович. - Москва : Наука, 1989. - 376 с.Vorovich, I.I. Matematicheskie problemy nelineynoy teorii pologikh obolochek. [Mathematical problems of non-linear shallow-shell theory.] Moscow: Nauka, 1989, 376 p. (in Russian).Морозов, Н. Ф. К нелинейной теории тонких пластин / Н. Ф. Морозов // Доклады АН СССР. - 1957. -Т.114, № 5. - С. 968-671.Morozov, N.F. K nelineynoy teorii tonkikh plastin. [On nonlinear theory of thin plates.] Doklady AN SSSR, 1957, vol. 114, no. 5, pp. 968-671 (in Russian).Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. - Москва : Наука, 1969. - 528с.Weinberg, М.М., Trenogin, V.А. Teoriya vetvleniya resheniy nelineynykh uravneniy. [Theory of branching of nonlinear equation solutions] Moscow: Nauka, 1969, 528 p. (in Russian).Пешхоев, И. М. Асимптотика и ветвление равновесий сжатых упругих прямоугольных пластин и стержней на нелинейно упругом основании : диссерт. … к-та физ.-мат. наук / И. М. Пешхоев. - Ростов-на-Дону, 1991. - 146с.Peshkhoev, I.M. Asimptotika i vetvlenie ravnovesiy szhatykh uprugikh pryamougol´nykh plastin i sterzhney na nelineyno uprugom osnovanii: dissert. … k-ta fiz.-mat. nauk. [Asymptotics and branching of equilibria of compressed elastic rectangular plates and rods on nonlinear elastic foundation: Cand.Sci. (Phys.-Math.) diss.]. Rostov-on-Don, 1991, 146 p. (in Russian).Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. - Москва : Наука, 1970. - 512с.Mikhlin, S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike. [Variational methods in mathematical physics] Moscow: Naukа, 1970, 512 p. (in Russian).Bauer, L. Block five diagonal matrices and the fast numerical solution of the biharmonic equation / L. Bauer, E. Reiss // Math. Comput. - 1972. - V.26, 118. - P. 311-326.Bauer, L., Reiss, E. Block five diagonal matrices and the fast numerical solution of the biharmonic equation. Math. Comput., 1972, vol. 26, 118, pp. 311-326.