Vestnik of Don State Technical UniversityVestnik of Don State Technical UniversityВестник Донского государственного технического университета1992-59801224210.12737/20227Информатика, вычислительная техника и управлениеINFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE AND MANAGEMENTИнформатика, вычислительная техника и управлениеSolving eigenvalues problems for Helmholtz equation by point-source methodРешение задач на собственные значения для уравнения Гельмгольца методом точечных источников поляЩербаковаЕлена ЕвгеньевнаShcherbakovaElena ЕвгеньевнаSherbakovaee@mail.ru21062016210620161638795https://zh-szf.ru/en/nauka/article/12242/view
Разработан способ решения задач вычисления собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с произвольной конфигурацией. При разработке способа численного решения задач используется метод точечных источников поля (МТИ). Предлагаемый способ основан на анализе числа обусловленности системы МТИ или погрешности численного решения задачи. Вводится понятие «критерий собственных значений». Результатом работы является разработанный эффективный алгоритм решения задач на нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца. Показано, что при приближении параметра Гельмгольца к собственному значению задачи число обусловленности системы МТИ и погрешность численного решения резко возрастают. Определив зависимость погрешности численного решения задачи или числа обусловленности системы МТИ от параметра Гельмгольца, можно по располо-жению максимума для полученных зависимостей найти собственные значения уравнения Гельмгольца в заданной области. После нахождения собственного значения можно приступить к нахождению собственных функций. При этом, если собственное значение оказывается вырожденным, то есть ему соответствует несколько собственных функций, то, с учетом симметрии области решения, возможно нахождение всех собственных функций. Приведены результаты решения тестовых двумерных и трехмерных задач, на основании которых делается вывод об эффективности предложенного метода.
A method of problem solution of the eigenvalues and eigenfunc-tions for the Helmholtz equation in the domains with arbitrary configuration is worked out. In developing the approach of the numerical solution of problems, the point-source method (PSM) is used. The proposed method is based on the analysis of the condition number of the PSM system or error of the problem numerical solution. The concept of “eigenvalues criterion” is introduced. The research result is a developed effective method — an algorithm for solving problems of eigenvalues and eigen-functions for the Helmholtz equation. It is shown that at the ap-proach of the Helmholtz parameter to the problem eigenvalue, the condition number of the PSM system and the error of the numerical solution rise sharply. Therefore, the dependence of the condition number of the PSM system or the error of the problem numerical solution can be calculated from the Helmholtz parameter. Then, according to the position of the maximum of the obtained dependences, the eigenvalues of the Helmholtz equation in a given domain are found. It allows searching the eigenvalues. After finding the eigenvalues, it is possible to proceed to the determination of the eigenfunctions. At that, if the eigenvalue appears degenerate, that is some eigenfunctions correspond to it, then it is possible to find all the eigenfunctions taking into account the symmetry of the solution domain. The two-dimensional and three-dimensional test problems are solved. Upon the results obtained, the conclusion about the efficiency of the proposed method is made.
метод точечных источниковсобственные значениясобственные функцииуравнение Гельмгольцафундаментальное решениеметод фундаментальных решений.point source methodeigenvalueseigenfunctionsHelmholtz equationfundamental solutionmethod of fundamental solutions.
Важное прикладное значение при разработке электромеханических, оптоэлектронных и радиотехнических устройств имеют задачи математической физики. Ряд таких задач приводит к решению однородного уравнения Гельмгольца с положительным значением параметра Гельмгольца λ>0. Это широкий класс задач, связанных с установившимися колебаниями (механическими, акустическими, тепловыми, электромагнитными и др.). Численное решение задач массой теплопереноса также приводит к уравнению Гельмгольца, уже с отрицательным значением параметра λ<0. Важность решения уравнения Гельмгольца обусловлена также тем, что любые уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами приводятся к уравнению этого вида.При решении ряда прикладных задач требуется нахождение собственных значений и собственных функций для уравнения Гельмгольца в областях с различной конфигурацией. Аналитическое решение таких задач, а также численное решение с использованием традиционных численных методов, может вызвать значительные трудности и не всегда целесообразно, особенно если область решения имеет сложную конфигурацию, а граничные условия содержат производную по нормали. Одним из эффективных методов численного решения граничных задач для ряда уравнений эллиптического типа является метод точечных источников поля (МТИ) [1–7]. Этот метод применяется при моделировании электрических, магнитных, тепловых, концентрационных, упругих напряжений и других физических полей [8–17]. Преимуществом МТИ является его простота и значительно меньший объем вычислений в сравнении с традиционными численными методами решения граничных задач, такими, например, как метод конечных элементов (МКЭ). Применение МТИ может быть оправдано также при решении задач на собственные значения для уравнений эллиптического типа, например, уравнения Гельмгольца [18, 19].
Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Ad. Vol. Comput. Math. - 1998. - Vol. 9. - P. 69-95.Fairweather, G., Karageorghis, A. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems. Ad. Vol. Comput. Math., 1998, vol. 9, pp. 69-95.Alves, C. J. S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems / C. J. S. Alves, C. S. Chen // Advances in Computational Mathematics. - 2005. - Vol. 23. - P. 125-142.Alves, C.J.S., Chen, C.S. A new method of fundamental solutions applied to nonhomogeneous elliptic problems. Advances in Computational Mathematics, 2005, vol. 23, pp. 125-142.Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении кра-евых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Изв. вузов. Электромеханика. - 2010. - № 1. - С. 3-12.Knyazev S.Y. Ustoychivost´ i skhodimost´ metoda tochechnykh istochnikov polya pri chislennom reshenii kraevykh zadach dlya uravneniya Laplasa. [Stability and Convergence of Point-Source Field Method at Numerical Solution to Boundary Value Problems for Laplace Equation]. Russian Electromechanics, 2010, no. 1, pp. 3-12 (in Russian).Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для уравнения Пуассона методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Енгибарян // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2014. - Т. 14., № 2 (77). - С. 15-20.Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Yengibaryan, A.A. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlya uravneniya Puassona metodom tochechnykh istochnikov polya. [Numerical solution of the boundary problems with Poisson equation by point-source method.] Vestnik of DSTU, 2014. Vol. 14. No. 2(77). pp. 15-20 (in Russian).Князев, С. Ю. Решение трехмерных краевых задач для уравнений Лапласа с помощью метода дискретных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2015. - № 5. - С. 25-30.Knyazev S.Y., Shcherbakova E.E. Reshenie trekhmernykh kraevykh zadach dlya uravneniy Laplasa s pomoshch´yu metoda diskretnykh istochnikov polya. [The Decision of the Three-Dimensional Boundary Value Problems for the Laplace Equation Using the Method of Discrete Sources of the Field.] Russian Electromechanics, 2015, no. 5, pp. 25-30 (in Russian).Бахвалов, Ю. А. Погрешность метода точечных источников при моделировании потенциальных полей в областях с различной конфигурацией / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2012. - № 5. - С. 17-21.Bakhvalov, Y.A., Knyazev, S.Y., Shcherbakov, A.A., Shcherbakova, E.E. Pogreshnost´ metoda tochechnykh isto-chnikov pri modelirovanii potentsial´nykh poley v oblastyakh s razlichnoy konfiguratsiey. [Errors of Point Source Method under Simulation of Potential Fields in Areas with Different Shape Configuration.] Russian Electromechanics, 2012, no. 5, pp. 17-21 (in Russian).Князев, С. Ю. Сравнительный анализ двух вариантов метода коллокаций при численном моделировании потенциальных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Элек-тромеханика. - 2014. - № 1. - С. 17-19.Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Zaichenko, A.N. Sravnitel´nyy analiz dvukh variantov metoda kollokatsiy pri chislennom modelirovanii potentsial´nykh poley. [A Comparative Analysis of the Two Variants of the Collocation in Numeri-cal Modeling of Potential Fields.] Russian Electromechanics, 2014, no. 1, pp. 17-19 (in Russian).Князев, С. Ю. Решение задач тепло и массопереноса с помощью метода точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е.Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки. - 2006. - № 4. - С. 43-47.Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E. Reshenie zadach teplo i massoperenosa s pomoshch´yu metoda tochechnykh istochnikov polya. [Solving problems of heat and mass transfer by the point source method.]University News. North-Caucasian region. Technical Sciences Series, 2006, no. 4, pp. 43-47 (in Russian).Князев, С. Ю. Моделирование полей упругих деформаций с применением метода точечных источников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15., № 1 (80). - С. 29-38.Knyazev, S.Y., Pustovoyt, V.N., Shcherbakova, E.E. Modelirovanie poley uprugikh deformatsiy s primeneniem metoda tochechnykh istochnikov. [Modeling the elastic strain fields by point-source method.] Vestnik of DSTU, 2015, vol. 15, no. 1(80), pp. 29- 38 (in Russian).Князев, С. Ю. Моделирование трехмерных полей упругих деформаций с помощью метода точечных ис-точников / С. Ю. Князев, В. Н. Пустовойт, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2015. - Т. 15., № 4 (83). - С. 13-23.Knyazev, S.Y., Pustovoyt, V.N., Shcherbakova, E.E. Modelirovanie trekhmernykh poley uprugikh deformatsiy s pomoshch´yu metoda tochechnykh istochnikov. [Modeling of three-dimensional elastic strain fields by point-source method.] Vestnik of DSTU, 2015, vol. 15, no. 4 (83), pp. 13-23 (in Russian).Князев, С. Ю. Сравнительный анализ различных вариантов использования метода точечных источников поля при моделировании температурных полей / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Физико-математическое моделирование систем : материалы XII междунар. семинара. - Воронеж, 2014. - С. 52-56.Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Shcherbakov, A.A. Sravnitel´nyy analiz razlichnykh variantov ispol´zovaniya metoda tochechnykh istochnikov polya pri modelirovanii temperaturnykh poley. [A comparative analysis of various variants of the point source method application in the temperature field simulation.] Physical and mathematical system modeling: Proc. XII Int. Workshop. Voronezh, 2014, pp. 52-56 (in Russian).Лунин, Л. С. Исследование стабильности термомиграции ансамбля линейных зон с помощью трехмерной компьютерной модели, построенной на основе метода точечных источников поля / Л. С. Лунин, С. Ю. Князев, Б. М. Середин, А. С. Полухин, Е. Е. Щербакова // Вестник Южного научного центра. - 2015. - Т. 11, № 4. - С. 9-15.Lunin, L.S., Knyazev, S.Y., Seredin, B.M., Polukhin, A.S., Shcherbakova, E.E. Issledovanie stabil´nosti termomi-gratsii ansamblya lineynykh zon s pomo-shch´yu trekhmernoy komp´yuternoy modeli, postroennoy na osnove metoda to-chechnykh istochnikov polya. [The study of stability of thermomigration of an ensemble of linear zones using a three-dimensional computer model constructed on the basis of the field point sources method.] Vestnik SSC RAS, 2015, vol. 11, number 4, pp. 9-15 (in Russian).Князев, С. Ю. Математическое моделирование полей упругих деформаций методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков // Математические методы в технике и технологиях. - 2015. - № 5 (75). - С. 21-23.Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Shcherbakov, A.A. Matematicheskoe modelirovanie poley uprugikh defor-matsiy metodom tochechnykh istochnikov polya. [Mathematical modeling of elastic deformation fields by the point source method.] Mathematical Methods in Engineering and Technologies, 2015, no. 5 (75), pp. 21-23 (in Russian).Князев, С. Ю. Компьютерное моделирование потенциальных полей методом точечных источников / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. А. Щербаков. - Ростов-на-Дону : Издательский центр ДГТУ, 2012. - 156 с.Knyazev S.Y., Shcherbakova E.E., Shcherbakov A.A. Komp´yuternoe modelirovanie potentsial´nykh poley metodom tochechnykh istochnikov. [Computer modeling of potential fields by the point source method.] Rostov-on-Don: DSTU Publ. Centre, 2012, 156 p. (in Russian).Князев, С. Ю. Метод точечных источников для компьютерного моделирования физических полей в зада-чах с подвижными границами: дис. …доктора техн. наук / С. Ю. Князев. - Новочеркасск, 2011. - 342 с.Knyazev, S.Y. Metod tochechnykh istochnikov dlya komp´yuternogo modelirovaniya fizicheskikh poley v zadachakh s podvizhnymi granitsami: dis. …doktora tekhn. nauk. [Point source method for computer modeling of physical fields in moving boundary problems: Dr.Sci. (Eng.) diss.] Novocherkassk, 2011, 342 p. (in Russian)Князев, С. Ю. Численное исследование стабильности термомиграции плоских зон / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2007. - № 1. - С. 14-19.Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E. Chislennoe issledovanie stabil´nosti termomigratsii ploskikh zon. [Numerical study of thermomigration stability of flat bands.] Russian Electromechanics, 2007, no. 1, pp. 14-19 (in Russian).Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Известия Российской академии наук. Серия физическая. - 2008. - Т. 72., № 9. - С. 1259-1261.Bakhvalov, Y.A., Knyazev, S.Y., Shcherbakov, A.A. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskikh poley metodom tochechnykh istochnikov. [Mathematical modeling of physical fields by a method of dot sources.] Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics, 2008, vol. 72, no. 9, pp. 1259-1261 (in Russian).Князев, С. Ю. Численное решение уравнений Пуассона и Гельмгольца с помощью метода точечных ис-точников / С. Ю. Князев // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2007. - № 2. - С. 77-78.Knyazev, S.Y. Chislennoe reshenie uravneniy Puassona i Gel´mgol´tsa s pomoshch´yu metoda tochechnykh isto-chnikov. [Numerical solution of Poisson and Helmholtz equations using the point source method.] Russian Electromechanics, 2007, no. 2, pp. 77-78 (in Russian).Князев, С. Ю. Численное решение краевых задач для неоднородных уравнений Гельмгольца методом то-чечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова, А. Н. Заиченко // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 2014. - № 4. - С. 14-19.Knyazev, S.Y., Shcherbakova, E.E., Zaichenko, A.N. Chislennoe reshenie kraevykh zadach dlya neodnorodnykh uravneniy Gel´mgol´tsa metodom tochechnykh istochnikov polya. [Numerical solution for inhomogeneous Helmholtz equation by the point source method.] Russian Electromechanics, 2014, no. 4, pp. 14-19 (in Russian).Абрамовиц, А. Справочник по специальным функциям / А. Абрамовиц, И. Стиган. - Москва : Наука, 1979. - 832 с.Abramowitz, A., Stegun, L. Spravochnik po spetsial´nym funktsiyam. [Handbook of Mathematical Functions.]. Moscow, Nauka, 1979, 832 p. (in Russian).Полянин, А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики / А. Д. Полянин. - Москва : Физматлит, 2001. - 576 с.Polyanin, A.D. Spravochnik po lineynym uravneniyam matematicheskoy fiziki. [Handbook of linear equations in mathematical physics.] Moscow, Fizmatlit, 2001, 576 p. (in Russian).