доктор технических наук;
doctor of technical sciences;
При изучении многомерных пространств и множеств подпространств обычно пользуются синтетическими и аналитическими методами. Недостатки синтетического метода — обращение к пространственному воображению и интуиции исследователя, невозможность формализации, необходимость построения больших и сложных логических конструкций — не позволяют, за редкими исключениями, выйти за пределы четырехмерного пространства. Теория исчислительной геометрии, представляемая как геометрия условий с основным элементом – условием инцидентности многомерных флагов позволяет решать многие задачи, которые до сих пор считались неразрешимыми. Самой простой из таких задач является классическая задача подсчета конечного числа подпространств данного пространства, удовлетворяющих множеству заданных условий (нормальная проблема алгебраической геометрии). Более серьезная задача – подсчет числа и значения алгебраических характеристик данного многообразия в данном пространстве. Для их решения была необходима разработка формализованного метода и алгоритмизация методики. Эта проблема была решена проф. В.Я. Волковым в его докторской диссертации при помощи разработанного им так называемого е-исчисления. Для понимания основ е-исчисления, или исчисления условий Шуберта, необходима достаточно хорошая математическая подготовка и популяризация метода. Последнее требует рассмотрения различных подходов к проблеме исчисления условий. В настоящей статье рассматриваются простейшие случаи табличного метода подсчета условий применительно к условиям инцидентности, которая понимается в общем смысле. Рассматривается исчисление единичных условий, условий размерности два, условий размерности (k + 1)(n – k) – 1. Объясняется формализация исчисления условий и редукция условий инцидентности. В качестве примера рассматривается задача о конечном числе прямых, пересекающих в n-мерном пространстве заданное число k-плоскостей. В частности, задача о числе прямых, пересекающих некоторое число заданных прямых, может быть корректна только в трехмерном и четырехмерном пространствах. Условия минимальной кратности, равной трем, существуют только в пространствах размерности 3k + 1. Условия кратности, равной четырем, существуют только в пространствах нечетной размерности. И так далее. Конкретное число прямых во всех случаях можно подсчитать редукцией соответствующих условий.
Synthetic and analytical methods are usually used to investigate multidimensional spaces and sets of subspaces. Shortcomings of a synthetic method — the appeal to spatial imagination and the researcher´s intuition, impossibility of formalization, need of creation of big and complex logical constructions don´t allow to go beyond four-dimensional space, with rare exceptions. The theory of enumerative geometry submitted as geometry of conditions with a basic element – a multidimensional flags incidence condition allows solve many problems which up to now were considered as insoluble ones. The simplest of such problems is a classical problem for calculation of final number of given space’s subspaces meeting the set of given conditions (the normal problem of algebraic geometry). A more serious problem – calculation a number and values of algebraic characteristics for given variety in given space. For this problem solution it was necessary to develop a formalized method, as well as technique algorithmization. This problem has been solved by professor. V.Ya. Volkov in his doctoral dissertation by means of developed by him so-called e-calculations. For an understanding of e-calculation fundamentals or calculation of Schubert conditions a rather good mathematical background and method promotion are necessary. The last demands consideration of various approaches to conditions calculation problem. In the present paper are considered the simplest cases of a tabular method for conditions calculation, in relation to conditions of incidence which is understood in a general sense. Calculation of one-, two- and ((k + 1) (n – k) – 1)-dimensional conditions are considered. Conditions calculation formalization and incidence conditions reduction are explained. The problem about a final number of straight lines crossing the set number of k-planes in n-dimensional space is considered as an example. In particular, the problem about a number of straight lines crossing some number of the set straight lines can be correct only in three- and four-dimensional spaces. Conditions of the minimum multiplicity equal to three exist only in (3k + 1)-dimensional spaces. Conditions of the multiplicity equal to four exist only in odd dimensionality spaces. And so on. The concrete number of straight lines in all cases can be counted by reduction of the corresponding conditions.
При изучении многомерных пространств обычно используют следующие фундаментальные результаты [12; 15; 23; 24]. Во-первых, формулу Грассмана размерности множества k-плоскостей в n-мерном пространствеdim G(n, k) = (k + 1)(n – k).Во многих монографиях и учебниках эта формула легко доказывается аналитически или при помощи исчисления параметров. Во-вторых, формулу размерности k пространства пересечения m-плоскости и p-плоскости общего положенияk = m + p – n. (2)Если значение k оказывается отрицательным, то считают, что данные подпространства не пересекаются или скрещиваются. Из формулы Грассмана можно сделать вывод, что различные множества k-плоскостей в n-мерном пространстве могут иметь размерность0 # dim G(n, k) # (k + 1)(n – k).Если множество k-плоскостей подчинено какому-либо условию, то размерность множества уменьшается. Минимальное значение соответствует конечному числу k-плоскостей, максимальное – грассманову многообразию k-плоскостей, на которое не накладывается никаких условий.