Scientific Research and Development. Socio-Humanitarian Research and Technology Scientific Research and Development. Socio-Humanitarian Research and Technology Научные исследования и разработки. Социально-гуманитарные исследования и технологии 2306-1731 2587-912X 15698 10.12737/24985 Современные проблемы образования Modern problems of education Современные проблемы образования Didactic Features of Studying the Real Numbers in the School Course of Mathematics Дидактические особенности изучения действительных чисел в школьном курсе математики Алексеенко А. С. Alekseenko A. С. ann-206@yandex.ru Лихачева М. В. Likhacheva M. В. 72@edu.mos.ru 13 03 2017 13 03 2017 6 1 65 70 https://zh-szf.ru/en/nauka/article/15698/view

Статья посвящена особенностям изучения дейст- вительных чисел в рамках дисциплины «Алгебра и начала анализа» в средней общеобразовательной школе. Тема «Действительные числа» не является легкой для понимания, часто вызывает затруднения у учащихся. Однако изучению этой темы в настоящее время уделяется недостаточно внима- ния и времени. Следствием этого является непонимание школьниками и выпускниками школ, что собой представля- ют действительные числа, иррациональные числа. В то же время понятие действительного числа необходимо для даль- нейшего успешного изучения математики. Для повышения эффективности изучения этой темы и формирования четко- го представления о различных числах предложено существен- но дополнить материал современных школьных учебников, увеличить количество часов на изучение действительных чисел, а также включить в школьный курс алгебры разделы «Комплексные числа» и «Алгебраические структуры».

The article is devoted to the study of the peculiarities of real numbers in the discipline "Algebra and analysis" in the secondary school. The theme of "Real numbers" is not easy to understand and often causes difficulties for students. However, the study of this topic is now being given enough attention and time. The consequence is a lack of understanding of students and school-leavers, what constitutes the real numbers, irrational numbers. At the same time the notion of a real number is required for further successful study of mathematics. To improve the efficiency of studying the topic and form a clear idea about the different numbers offered to add significantly to the material of modern textbooks, increase the number of hours in the study of real numbers, as well as to include in the school course of algebra topics "Complex numbers" and "Algebraic structures".

 алгебра и начала анализа действительныечисла иррациональные числа среднее общее образование дидактика. algebra and analysis real numbers irrational numbers secondary education didactics.

I. ВведениеВ настоящее время программы изучения математики в общеобразовательных школах по учебникам, рекомендованным Министерством образования и науки Российской Федерации, предполагают последовательное изучение школьниками натуральных чисел, дробей, целых чисел, рациональных чисел, иррациональных чисел и действительных чисел. Процесс изучения чисел начинается в 1-м классе начальной школы знакомством с натуральными числами, которые используются для счета предметов, далее на наглядных примерах вводятся дроби, целые числа, рациональные числа.

Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа. 10-11-е классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень / Ш.А. Алимов [и др.]. - М.: Просвещение, 2012. - 384 c. Alimov Sh.A. Algebra i nachala analiza. 10-11 klassy: ucheb. dlya obshcheobrazovat. uchrezhdeniy: bazovyy uroven´ [The algebra and analysis. 10-11: Proc. for general education. Institutions: baseline]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 2012. 384 p. Арсентьева И.В. Интеграция науки и образования в процессе изучения алгебраических структур школьного курса математики [Текст] / И.В. Арсентьева // Интеграция образования. - 2007. - № 1. Arsent´eva I.V. Integratsiya nauki i obrazovaniya v protsesse izucheniya algebraicheskikh struktur shkol´nogo kursa matematiki [Integration of science and education in the study of algebraic structures school mathematics]. Integratsiya obrazovaniya [Integration of education]. 2007, I. 1. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11-е классы [Текст]: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / М.И. Башмаков. - 3-е изд. - М.: Дрофа, 2001. - 400 c. Bashmakov M.I. Algebra i nachala analiza. 10-11 klassy: ucheb. dlya obshcheobrazovat. ucheb. Zavedeniy [Algebra and analysis. 10-11: Proc. for general education. Proc. institutions]. Moscow, Drofa Publ., 2001. 400 p. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 11-го класса [Текст]: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998. - 288 c. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematicheskiy analiz dlya 11-go klassa [Algebra and mathematical analysis for 11 Class]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1998. 288 p. Емелин А.В. Самоподобные визуальные модели как эффективное средство изучения иррациональных чисел в школьном курсе алгебры [Текст] / А.В. Емелин // Современные проблемы науки и образования. - 2012. - № 3. Emelin A.V. Samopodobnye vizual´nye modeli kak effektivnoe sredstvo izucheniya irratsional´nykh chisel v shkol´nom kurse algebry [Self-similar visual model as an effective means of studying the irrational numbers in a school course of algebra]. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya [Modern problems of science and education]. 2012, I. 3. Имайкин В.М. Из опыта изучения элементов теории групп в непрофильных старших классах средней школы [Текст] / В.М. Имайкин // Математическое образование. - 2009. - Вып. 3. - С. 17-26. Imaykin V.M. Iz opyta izucheniya elementov teorii grupp v neprofil´nykh starshikh klassakh sredney shkoly [From the experience of studying the elements of group theory in non-high school]. Matematicheskoe obrazovanie [Mathematical Education]. 2009, I. 3, pp. 17-26. Киселев А.П. Алгебра [Текст] / А.П. Киселев: В 2 ч.; под ред. и с доп. Н.А. Глаголева. - М.: Физматлит, 2005. Kiselev A.P. Algebra [Algebra]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2005. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа [Текст]: учеб. для 10-11-х кл. общеобразоват. учреждений / А.Н. Колмогоров [и др.]. - М.: Просвещение, 2008. - 384 c. Kolmogorov A.N. Algebra i nachala analiza: ucheb. dlya 10-11 kl. obshcheobrazovat. uchrezhdeniy [The algebra and analysis: Textbook. For 10-11. general education. institutions]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 2008. 384 p. Кочетков Е.С. Алгебра и элементарные функции [Текст]: учеб. пособие для учащихся 10-го класса средней школы / Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова: В 2 ч. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1968. Kochetkov E.S., Kochetkova E.S. Algebra i elementarnye funktsii: ucheb. posobie dlya uchashchikhsya 10-go klassa sredney shkoly [Algebra and elementary functions: Proc. A manual for students of 10 secondary school]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1968. Лихачева М.В. О содержании математических дисциплин образовательных программ среднего и высшего образования [Текст] / М.В. Лихачева, А.С. Алексеенко / Сб. трудов межд. конф. «Прикладные исследования и технологии ART-2016». - М.: Изд-во МТИ, 2016. - С. 171-172. Likhacheva M.V., Alekseenko A.S. O soderzhanii matematicheskikh distsiplin obrazovatel´nykh programm srednego i vysshego obrazovaniya [About the contents of mathematical disciplines of educational programs of secondary and higher education]. Sbornik trudov mezhdunarodnoy konferencii «Prikladnye issledovaniya i tekhnologii ART-2016» [Proceedings of the international conference "Applied research and ART2016 technology"]. MTI Publ., pp. 171-172. Малова И.Е. Теория и методика обучения математике в средней школе [Текст] / И.Е. Малова [и др.]. - М.: Владос, 2009. - 445 c. Malova I.E. Teoriya i metodika obucheniya matematike v sredney shkole [Theory and methods of teaching mathematics in high school]. Moscow, VLADOS Publ., 2009. 445 p. Методика изучения комплексных чисел в общеобразовательной школе [Электронный ресурс]. - URL: http://www. pedagogyflow.ru/flowen-682.html%2023/ (дата обращения: 06.01.2017). Metodika izucheniya kompleksnykh chisel v obshcheobrazovatel´noy shkole [Methods of study of complex numbers in secondary school]. PEDAGOGYFLOW.RU [PEDAGOGYFLOW. RU]. Available at: http://www.pedagogyflow.ru/flowen-682. html%2023/ (accessed 06 January 2017). Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-й класс [Текст]: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов; в 2 ч. Ч. 1. - М.: Мнемозина, 2009. - 424 с. Mordkovich A.G., Semenov P.V. Algebra i nachala matematicheskogo analiza [Algebra and beginning of mathematical analysis]. Moscow, Mnemozina Publ., 2009. 424 p. Нараленкова И.И. Природа чисел на уроках геометрии [Текст] / И.И. Нараленкова, Е.В. Шивринская // Наука и современность. - 2014. - № 29. Naralenkova I.I., Shivrinskaya E.V. Priroda chisel na urokakh geometrii [The nature of the numbers on the geometry lessons]. Nauka i sovremennost´ [Science and modernity]. 2014, I. 29. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа. 11-й класс [Текст]: учебник / С.М. Никольский [и др.]. - М.: Просвещение, 2008-2009. - 464 c. Algebra i nachala matematicheskogo analiza. 11 klass [Algebra beginning of mathematical analysis. Grade 11]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 2008-2009. 464 p. Официальный информационный портал единого государственного экзамена. [Электронный ресурс]. - URL: http:// www.ege.edu.ru/ru/ (дата обращения: 06.01.2017). Ofitsial´nyy informatsionnyy portal Edinogo gosudarstvennogo ekzamena [Official information portal of the Unified State Examination]. Available at: http://www.ege.edu.ru/ru/ (accessed 06 January 2017). Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры [Текст]: Кн. для учащихся 7-9-х кл. сред. шк. / Л.Ф. Пичурин. - М.: Просвещение, 1990. - 224 c. Pichurin L.F. Za stranitsami uchebnika algebry [For algebra textbook pages]. Moscow, Prosveshchenie Publ., 1990. 224 p. Ульянова Т.В. Методические акценты в преподавании темы «Действительные числа» на профильном уровне [Текст] / Т.В. Ульянова // Омский научный вестник. - 2011. - № 4.19. Фихтенгольц Г.М. Иррациональные числа в средней школе [Текст] / Г.М. Фихтенгольц // Математическое просвещение. - М.: Гостехиздат, 1957. - Вып. 2. - С. 133-148. Ul´yanova T.V. Metodicheskie aktsenty v prepodavanii temy «Deystvitel´nye chisla» na profil´nom urovne [Methodical emphasis in teaching the topic "Real numbers" at profile level]. Omskiy nauchnyy vestnik [Omsk Scientific Bulletin]. 2011, I. 4. Фихтенгольц Г.М. Иррациональные числа в средней школе [Текст] / Г.М. Фихтенгольц // Математическое просвещение. - М.: Гостехиздат, 1957. - Вып. 2. - С. 133-148. Fikhtengol´ts G.M. Irratsional´nye chisla v sredney shkole [Irrational numbers in high school]. Matematicheskoe prosveshchenie [Mathematical education]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1957, I. 2, pp. 133-148. Чаплыгин В.Ф. Задачи в формировании понятия действительного числа [Текст] / В.Ф. Чаплыгин // Математика в школе. - 1997. - № 1. - С. 26-27 Chaplygin V.F. Zadachi v formirovanii ponyatiya deystvitel´nogo chisla [Problems in the formation of the concept of a real number]. Matematika v shkole [Mathematics at school]. 1997, I. 1, pp. 26-27. Чаплыгин В.Ф. Основные понятия анализа в школьном курсе математики. Некоторые методические подходы [Текст] / В.Ф. Чаплыгин // Ярославский педагогический вестник. - 2003. - № 1. Chaplygin V.F. Osnovnye ponyatiya analiza v shkol´nom kurse matematiki. Nekotorye metodicheskie podkhody [Basic concepts of analysis in a school course of mathematics. Some methodological approaches]. Yaroslavskiy pedagogicheskiy vestnik [Yaroslavl Pedagogical Gazette]. 2003, I. 1. Fischbein E., Jehiam R., Cohen D. The concept of irrational numbers in high-school students and prospective teachers // Educational Studies in Mathematics. July 1995, vol. 29, i.1, pp. 29-44. DOI: 10.1007/BF01273899. URL: www.dx.doi.org/ BF01273899/ Fischbein E., Jehiam R., Cohen D. The concept of irrational numbers in high-school students and prospective teachers // Educational Studies in Mathematics. July 1995, vol. 29, i.1, pp. 29-44. Available at: www.dx.doi.org/ BF01273899. Giannakoulias E., Sougioul A., Zachariades T. Students’ thinking about fundamental real numbers properties. In D. Pitta-Pantazi & G. Philippou (Eds.) // Proceedings of the 5th Conference of European Research in Mathematics Education (CERME5) Larnaca, Cyprus: ERME, 2007. Pp. 1955-1964. Giannakoulias E., Sougioul A., Zachariades T. Students’ thinking about fundamental real numbers properties. In D. Pitta-Pantazi & G. Philippou (Eds.) // Proceedings of the 5th Conference of European Research in Mathematics Education (CERME5) Larnaca, Cyprus: ERME, 2007. pp. 1955-1964. Zazkis R., Sirotic N. Making sense of irrational numbers: focusing on representation // Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2004, vol. 4, pp. 497-504. Zazkis R., Sirotic N. Making sense of irrational numbers: focusing on representation // Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2004, vol. 4, pp. 497-504.