В настоящее время большое распространение получили многоядерные компьютеры. Основными их преимуществами перед одноядерными является возможность осуществлять распараллеливание процессов при проведении большого объема вычислений. Это позволяет использовать более сложные, а, следовательно, более точные алгоритмы для управления различными техническими системами в реальном масштабе времени.Рассмотрим возможность распараллеливания в исследованиях по динамике вращающегося кольца [1–5]. Получение решения системы уравнений динамики вращающегося на опорах кольца с нерастяжимой средней линией связано с большим количеством вычислений системы уравнений, вследствие необходимости учета нерастяжимой средней линии и нулевых перемещений в точках опор [6].При обработке крупногабаритных тел возникает задача управления резанием, которая требует для своей реализации интегрирование уравнения динамики кольца в реальном масштабе времени.Сложность решения этой системы уравнений обусловлена необходимостью учета неопределенных множителей Лагранжа, обусловленных условием нерастяжимости средней линии и наличием опор.Систему уравнений динамики кольца в общем виде можно записать так:  (1)Здесь W – вектор неизвестных функций времени, которые надо определить, размером 4N, где N – количество гармоник;А2, А1, А0 – матрицы коэффициентов, размером 4N×4N;MH  – матрица частных производных условий связи вследствие нерастяжимости средней линии по вектору W, размером 4N×2N;M0 – матрица частных производных условий связи, обусловленных наличием опор по вектору W, размером 4N×2;λH. λ0 – векторы неопределенных множителей Лагранжа, размерами 2N и 2, соответственно:Q – вектор внешних сил, размером 4N.Для преобразования системы (1) к виду, пригодному для численного интегрирования, необходимо исключить неопределенные множители Лагранжа и учесть условия связей на переменные. Осуществляется это путем использования матричных преобразований системы (1).Для дальнейших вычислений будем использовать преобразованную систему с общим вектором:         (2)Тогда система (1) примет вид:        (3)Получить окончательные формулы для элементов системы уравнений (3) с исключенными множителями Лагранжа проблематично, поэтому используются матричные преобразования. Необходимо исключить из системы (3) вектор λ. Для этого представим каждую матрицу системы (3) в виде двух матриц:                                (4) Размеры матриц: A21, A11, A01 (2N+2)×4N; A22, A12, A02 (2N-2)×4N;  Mλ1 (2N+2)×(2N+2); Mλ2 (2N-2)×(2N+2); векторов: Q1 (2N+2); Q2 (2N-2).Вычисления по формуле (4) можно распараллелить. Стоит отметить, что на тестовом компьютере четыре ядра и вычисления будут распараллеливаться не более чем на четыре потока.Так же стоит заметить, что вычисления матриц из формулы (4) можно распараллелить и на 10 потоков, но стоит соблюдать баланс между временем выполнения и количеством потоков.  Заполнение A2, A1, A0, Mλ, Q.Параллельные вычисления:1234 Рис. 1. Параллельные вычисления по формуле (3) На рис. 1 числами обозначены параллельные области выполнения, разделенные на четыре потока. В четвертом обрабатываются вместе Mλ1, Mλ2 и Q1, Q2, так как количество операций обращения к Mλ и Q суммарно меньше, чем к любой из Ai (i = 0, 2).Таким образом можно распараллелить механизм получения матриц B2, B1, B0 и BQ из [6] (стр. 44), рис. 2.  Параллельные вычисления:1234 Рис. 2. Участок блок-схемы параллельных вычислений Для упрощения понимания и не загромождения статьи изобразим схематично в виде упрощенной блок-схемы участки кода, которые можно распараллелить на рис. 3.Таким образом в итоге получаем систему:                 (5)В системе (5) неизвестные функции P получены вследствие преобразования неизвестных функций W, после получения решения системы уравнения (3) относительно неизвестных avi и bvi после получения условий связи, обусловленных нерастяжимостью средней линии, в которой фигурируют только обобщенные координаты, исключения неопределенных множителей Лагранжа и учета условий связи в точках опор, получим:          (6)  Вычисл. D22, D12Вычисл. D21, D11Вычисл. D23, D13Вычисл. D24, D14Вычисл. T2a, T2bВычисл. T1a, T1bВычисл. T0a, T0bВычисл. R, MВычисление D1Вычисление D2 Вычисление D1Вычисление FВыч. T2a1, T2a2, T2b1Выч. T2b2, T1b1, T1b2Выч. T1a1, T1a2, T0a1Выч. T0a2, T0b1, T0b2Вычисление E2Вычисление E1Вычисление E0 Рис. 3. Упрощенная блок-схема с параллельными вычислениями Дальнейшее решение системы уравнений (5) является итеративным процессом и плохо поддаётся методам распараллеливания.Эксперимент проводился на компьютере с процессором AMD A10-5745M 2.10 Гц, ОЗУ 6 Гб, среда разработки Visual Studio 2015, язык C#. Результаты экспериментов представлены в таблице 1. Замеры времени проводились непосредственно в области распараллеливания – приведение системы к виду, пригодному для численного интегрирования. Таблица 1 Замеры времени проведения экспериментаКоличество процессов, kКол-во гармоник, N2468101210,008860,014180,027520,040950,071780,1057720,017810,016740,020180,028360,047460,0686230,033500,023160,021900,028280,038640,0586240,035830,029870,026600,028160,037950,05250 При анализе данных из таблицы 1 видно, что при малом количестве гармоник применение распараллеливания нецелесообразно и ведет к увеличению работы программы. Это объясняется затратой ресурсов на инициализацию дополнительных процессов и передачу данных. В распараллеливании при N = 6 наблюдается уменьшение времени на вычисления при k = 2. Время вычисления при k = 2 меньше, чем при k = 3 и k = 4, но время при k = 1 больше, чем при параллельном выполнении. При N ≥ 8 время при параллельном выполнении меньше, чем при последовательном и распараллеливание алгоритма можно считать эффективным. В таблице 2 представлены коэффициенты ускорения, рассчитанные по формуле K = t1 / tn. Таблица 2Коэффициенты ускоренияКоличество процессов, kКол-во гармоник, N24681012111111120,497660,847221,363761,443751,512561,5412730,264500,612331,256471,448301,857541,8043840,247300,474661,034561,454381,891462,01455 Рис. 4. Графики коэффициентов ускорения