Введение. В основу системы расчета здания положен принцип: «один стержневой элемент – один суперэлемент» [1]. В отличие от традиционного подхода, состоящего в приписывании конечному элементу полиномиальных функций формы, суть принятой концепции заключается в использовании аналитических решений задач статики и динамики прямого стержня, которым придается специфический, характерный для МКЭ, вид.Уравнения для стержневых элементов. Напряженно-деформированное состояние (НДС) стержня в каждом взятом сечении может быть описано с помощью двух групп параметров. Одна группа представляет кинематические характеристики (деформированное состояние), а вторая – возникающие в ходе этого внутренние силовые факторы:                                       (1) В системе расчета удобно применить принцип гипотезы Бернулли о плоских сечениях и о ненадавливании слоев [2] и подходы, рассмотренные в [3, 4, 5]. Необходимо отметить, что не для всех условий деформирования, например, железобетонных элементов строительных конструкций использование гипотезы плоских сечений является справедливым [6].В соответствии с принятыми нами гипотезами движение описывается системой дифференциальных уравнений движения, геометрическими и физическими соотношениями:                                    (2)                                              (3) Здесь введены следующие обозначения: A – площадь поперечного сечения стержня; Jn, Jb – главные   центральные моменты инерции поперечного сечения, Jp = Jn+Jb – полярный момент инерции, E – модуль упругости (модуль Юнга), G – модуль сдвига.Используя для (4) матричную форму записи, получим:                                                                  (4)где  вектор состояния:                                          (5) вектор распределенных нагрузок:     (6)матрица жесткости S и матрица инерции D, структура которых очевидна из (2, 3). При решении статических задач матрицу D следует положить равной нулю.Решение статических задач. Для решения статических задач имеем решение задачи Коши:         (7)где введена матрица влияния V(x), которая может быть элементарно получена аналитическим решением системы (2, 3) при известных внешних распределенных нагрузках F. Компоненты матрицы V представляют собой степенные функции не выше 3 степени. Решение (7) можно представить разделением на две части, первая из которых определяет кинематические факторы в произвольной точке стержня через силовые и кинематические параметры состояния в начале стержня:                                     (8) Записывая первое уравнение (8) для конца стержня, исключим силовые факторы yF(0) через кинематические факторы в конце стержня yC(L), где L – длина стержня:                                (9) Записывая второе уравнение (8) для конца стержня, и исключая силовые факторы в начале стержня через (9) получаем выражения для силовых факторов в начале и конце стержня через кинематические факторы в начале и конце стержня. Уравнению (9) и его аналогу для x=L можно придать вид, характерный для МКЭ:                (10)где  – вектор узловых сил;  – вектор узловых перемещений, КFE – матрица жесткости КЭ, FFE – вектор узловых сил от заданных распределенных нагрузок.Так как выражение (10) имеет такой же физический смысл, что и аналогичное выражение МКЭ, то для формирования матричных характеристик ансамбля элементов следует использовать известный алгоритм метода конечных элементов [7, 8].Решение статических задач очевидно: так как выражение имеет смысл внутренних сил, действующих на начало и конец стержня, то после вычисления МЖ ансамбля КЭ получается система уравнений равновесия узлов:.              (11)Так решается задача о состоянии стержневой системы под действием собственного веса, под действием сборных перекрытий, перегородок и т.п.Решение динамических задач. Для решения динамических задач используем метод модального разложения, в соответствии с которым перемещения представляются обобщенным рядом Фурье по формам свободных колебаний стержня (а для системы стержней – по ее формам свободных колебаний) [9, 10]. Таким образом, определяющим является решение задачи о свободных колебаниях одного стержня.Для этого запишем однородное уравнение динамики, сопутствующее (4):.                  (12)Полагая, что свободные колебания упругого стержня представляются гармонической функцией времени: , из (12) получим спектральное уравнение:                (13)Его решение получается с использованием преобразования Лапласа через балочные функции Крылова и тригонометрические функции [11, 12]. Так как (13) представляет собой задачу Коши, то его можно записать в форме (7), где вектор внешних нагрузок следует опустить. Но в силу этой аналогии можно провести те же рассуждения, что и в статике и получить решение в той же форме, что и (10) (конечно, без внешних сил):                    (14)Отметим, что физический смысл (14) такой же, как и (10); следовательно, при моделировании стержневой системы можно также применить алгоритма МКЭ [4]. В отличие от статической задачи, задача (14) содержит неизвестный параметр w - частоту свободных колебаний стержневой системы. Этот параметр определяется из трансцендентного уравнения                   (15)где КAFE – матрица жесткости ансамбля КЭ. Решить это частотное уравнение можно, используя метод половинного деления. Собственные векторы системы определяются методом обратных итераций.Для решения неоднородных динамических задач используется метод модального разложения, в соответствии с которым узловые перемещения представляются в виде разложения по собственным векторам hk задачи (15). Пусть задача (15) решена, то есть определены первые N собственных частот и соответствующие им собственные векторы hk, записанные в виде прямоугольной матрицы Н (6Nуз´N). Тогда узловые перемещения в неоднородной задаче можно записать в следующем виде:                         (16)Собственные формы упругой задачи обладают свойствами полноты и ортогональности:                                      (17)Составим вариационное уравнение Лагранжа – Д'Аламбера [13]:                                                           (18)где введен вектор обобщенных деформаций                                                                             (19)матрица обобщенных жесткостей                                                      (20)матрица обобщенных масс    (21)Подставим в (18) разложение (16). Учитывая свойство ортогональности (18) и вытекающее из него          (22)получим, считая, что компоненты dа – независимые функции времени, систему обыкновенных дифференциальных уравнений с диагональной матрицей:       (23)Здесь diag(w02) – диагональная матрица, составленная из квадратов частот свободных колебаний упругой системы. Нам удобно записать решение (23) в виде: (24)Здесь введена матрица весовых функций W(t), зависящая только от структуры и закреплений системы, которая в случае упругих свойств системы является диагональной и определяется следующим образом:              (25)Векторы определяются разложением начальных условий по формам свободных колебаний, равно как и вектор R.Алгоритм. При исследовании, например, запроектных воздействий используется пошаговый алгоритм, суть которого в следующем:решается статическая задача о проектном состоянии системы при заданных нагрузках;принимается решение о возможном разрушении одной или нескольких связей между элементами системы в некоторый момент времени t* и модифицируется матрица жесткости ансамбля (МЖА) конечных элементов;определяется спектр свободных колебаний модифицированной системы;состояние системы в момент времени t* представляется разложением по спектру модифицированного состояния, тем самым определяя начальные условия для расчета модифицированного состояния;производится динамический расчет модифицированного состояния при заданных нагрузках и начальных условиях.Заключение. Вопрос об устойчивости системы в целом решается с помощью критерия Рауса-Гурвица [14, 15] для динамических систем: если среди корней частотного уравнения есть отрицательные, то система в целом считается неустойчивой (по Ляпунову [16]) и такой вариант запроектных воздействий считается приводящим к лавинному сценарию разрушения, т.е. расчет на этом прекращается. Если же критерий Гурвица дает положительный ответ на вопрос об устойчивости системы, то упомянутый алгоритм следует повторить с п.2.Если предположить внутреннюю перестройку структуры одного из стержней системы, то модификация МЖА выполняется заменой КЭ для идеального элемента на КЭ с несовершенствами [1, 4]; алгоритм в целом сохраняется – изменяется содержание п.2.Помимо упомянутых в разд. Алгоритм запроектных воздействий следует предусмотреть потерю устойчивости некоторых стержней. Для этого в уравнение (18) следует добавить слагаемое, учитывающее работу продольных сил в стержнях на перемещениях изгиба. Технически это достигается добавлением к уравнениям состояния слагаемого, зависящего от продольной силы. При этом алгоритм исследования динамической устойчивости сохраняется, если считать начальную продольную силу в каждом стержне постоянной, определенной решением статической задачи.Предложенный вариант расчета удобно применять при моделировании пространственных конструктивных систем каркасного типа при расчете, например, живучести зданий [17, 18, 19].