Введение. При проектировании и строительстве оснований и фундаментов необходимо учитывать влияние фильтрации подземных вод на прочность грунта. Задача фильтрации суспензии в пористой среде описывает изменение характеристик горной породы при осаждении в порах твердых частиц [1–3].Пористая среда – это твердое тело, содержащее тонкие полые каналы различной длины и поперечного сечения (поры). При прохождении потока суспензии (несущей жидкости с взвешенными частицами) через пористую среду некоторые частицы застревают в порах и образуют осадок. Геометрическая модель захвата частиц предполагает, что частицы застревают на входе малых пор, и беспрепятственно проходят через поры большого поперечного сечения. Базовая модель фильтрации монодисперсной суспензии предполагает, что скорость частиц в пористой среде постоянна, и осадок не влияет на пористость и проницаемость пористой среды [4–6]. Более сложные модели фильтрации в однородной пористой среде учитывают изменение пористости и проницаемости при образовании осадка, и непостоянство скорости движения взвешенных частиц [7].В ряде задач фильтрации найдено точное решение [7–9], в других строится асимптотика [10–14]. Если аналитическое решение отсутствует, для решения задачи используются численные методы [15–17].В работе рассматривается математическая модель фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде, учитывающая изменение пористости и коэффициента фильтрации при образовании осадка. Суспензия постоянной концентрации впрыскивается в пористую среду, не содержащую взвешенных и осажденных частиц. Задача состоит в нахождении концентраций взвешенных  и осажденных  частиц в пористой среде. Получено численное решение задачи методом конечных разностей [18].Постановка задачи. Одномерная модель фильтрации суспензии в неоднородной пористой среде с изменяющейся пористостью и проницаемостью состоит из двух уравнений в частных производных ;     (1) .                       (2)Здесь коэффициент фильтрации , пористость  и проницаемость пористой среды  являются непрерывными функциями,  неотрицательная,  и  строго положительны при .Система уравнений (1), (2) рассматривается в области .Краевые условия для системы (1), (2) ставятся на входе фильтра  и в начальный момент времени : ,                          (3) ;  .              (4)Условия (3), (4) определяют единственное решение задачи в области W.Подвижная граница области, заполненной частицами, и пустой части пористой среды называется фронтом концентраций взвешенных и осажденных частиц. Фронт концентраций является характеристической линией уравнения (1), выходящей из начала координат.Поскольку условия (3) и (4) не согласованы в нуле, то согласно теории характеристик на фронте концентраций решение  имеет сильный разрыв; а решение  – слабый разрыв (разрыв производных первого порядка).  За фронтом концентрации в области  решение положительно ; перед фронтом в  задача  (1)-(4) имеет нулевое решение .Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц распространяется в пористой среде с переменной скоростью .                           (5)Точное решение на входе фильтра. Уравнение (2) на входе фильтра  имеет вид .                         (6)Делим обе частей уравнение (6) на                          (7)и интегрируем (7) относительно переменной   .                    (8)Используя условие (4), преобразуем интеграл в левой части (8) .                       (9)Формула (9) задает концентрацию осажденных частиц на входе фильтра.Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации  называется блокирующим, если он положителен при , и обращается в ноль при . В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной .Рассмотрим наиболее важные примеры коэффициентов фильтрации. Коэффициент фильтрации  называется блокирующим, если он положителен при , и обращается в ноль при . В этом случае концентрация осажденных частиц ограничена величиной .А) Для линейного блокирующего коэффициента фильтрации ,                   (10)где , интеграл в левой части (9) вычисляется явно: .            (11)Концентрация осажденных частиц на входе фильтра для коэффициента фильтрации (10) имеет вид .           (12)Б) Для квадратичного блокирующего коэффициента фильтрации           (13)интеграл (9) равен .(14)Зависимость от времени концентрации осажденных частиц на входе фильтра задается соотношением .            (15)Формулы (12), (15) показывают, что функция  монотонно возрастает и при больших значениях времени t стремится к предельному значению .На рис. 1 а), б) показаны графики концентрации осажденных частиц на входе фильтра для блокирующих коэффициентов фильтрации (12) и (15) для значения параметров .Численный расчет. Расчет осуществляется методом конечных разностей. Для уравнения (1) применяется TVD-версия схемы Лакса-Вендроффа. Для уравнения (2) используется метод Рунге-Кутта второго порядка. Решение системы (1)-(4) получено в области . Шаг интегрирования по x: , шаг по t: . Схема удовлетворяет условию Куранта-Фридрихса-Леви: .Численный расчет задачи выполнен для коэффициентов уравнений (1), (2)  , , .   Рис. 1. a) Концентрация осажденных частиц .б) Концентрация осажденных частиц . На рис. 2 а) и б) представлены 3-D графики концентраций взвешенных и осажденных частиц.  Рис. 2. а) Концентрация взвешенных частиц .б) Концентрация осажденных частиц .   Графики концентраций взвешенных частиц при фиксированном времени  и при фиксированном расстоянии  изображены на рис. 3 а) и б).    Рис. 3. а) Концентрация взвешенных частиц .б) Концентрация взвешенных частиц . Графики концентраций осажденных частиц при фиксированном времени  и при фиксированном расстоянии  изображены на рис. 4 а) и б).  Рис. 4. а) Концентрация осажденных частиц . б) Концентрация осажденных частиц . Заключение. В работе найдено численное решение одномерной задачи фильтрации монодисперсной суспензии в неоднородной пористой среде. В отличие от стандартных моделей, рассматривающих однородную пористую среду, рассчитана задача, в которой пористость и коэффициент фильтрации зависят не только от концентрации осажденных частиц , но и от расстояния  до входа фильтра. Рис. 2 показывает, как взвешенные и осажденные частицы постепенно заполняют пористую среду, двигаясь от входа  к выходу . Фронт концентраций взвешенных и осажденных частиц - граница раздела двух частей пористой среды - пустой и заполненной частицами движется со скоростью , и в некоторый момент времени достигает выхода (рис. 2). В каждой точке  пористой среды происходит накопление осадка. Чем больше значение , тем позже в эту точку доходит фронт концентраций и начинается образование осадка (рис. 2). С ростом осадка скорость прироста осажденных частиц уменьшается. С увеличением времени концентрация осажденных частиц стремится к предельному значению . При больших временах накопление осадка прекращается и концентрация взвешенных частиц стремится к максимальному значению на входе пористой среды .