Введение. Одним из основных тормозов в развитии оптимального проектирования ферм явилось обеспечение устойчивости сжатых стержней. Эта проблема отражена в работе [1].Практическая ценность использования теорем Леви невысока из-за неучета потери устойчивости. Попытки использовать метод последовательных приближений, в котором принимают на каждом шаге коэффициент продольного изгиба , отвечающий усилию, найденному на предыдущем шаге, к успеху не приводят: процесс расходится. Поэтому задача оптимизации ферм с учетом устойчивости должна ставиться как существенно нелинейная.Теория Максвелла – Мичелла [2, 3] и ее развитие не получили большого практического применения при проектировании ферм, главным образом из-за того, что проектируемые конструкции неудовлетворительны с точки зрения устойчивости и технологичности.Попытки вовлечения проблемы устойчивости сжатых стержней в теорию оптимизации ферм на основе критерия минимума объема (массы) материала оказались неудачными из-за трудностей отыскания глобального минимума. Решение этой проблемы стало возможным после установления вариационных принципов структурного синтеза [4], из которых вытекает формулировка универсального энергетического критерия оптимальности, обеспечивающего глобальный минимум объема (массы) материала.  Основная часть. Решение изопериметрической задачи при заданном объеме материала виртуальной фермы с внутренними силами Ni/ⱷi [5] свидетельствует о ее квазиравнонапряженности. Тем самым определяется критерий оптимальности проектируемой фермы.В металлических фермах равнонапряженность связывают с расчетным сопротивлением R [6], принятие которого рассматривают как дополнительное условие в оптимизационной задаче.Поскольку площадь поперечного сечения равна                         (1)выражение потенциальной энергии деформации фермы принимает вид:                      (2)где Е – модуль продольной упругости, li – длина стержня, n – число стержней. Выражение объема материала с учетом (1) и (2) представляется в виде                     (3)Следовательно, в случае глобального минимума функционала (2) объем материала фермы также достигает глобального минимума.Методика СНиП, построенная на зависимости коэффициента  от гибкости стержня, требует дополнительного обоснования с позиции стесненной или принужденной потери устойчивости [7–9].Потенциальная энергия деформации Ui сжатого стержня фермы с жесткими узлами при его бифуркации равна сумме работ концевых сил:Ui = Аi (Ni) + Аi (Mi , Qi),                (4)где Аi (Ni)= Ni ∆i – работа продольных сжимающих сил на сближении концов стержня от изгиба; Аi (Mi , Qi) – работа изгибающих моментов и поперечных сил на перемещениях при изгибе стержня.Так как Ui >0, то сумма работ (4) также всегда больше нуля. Но знаки слагаемых Аi (Ni) иАi (Mi , Qi) могут быть либо одинаковы, либо различны. Для сжимающей силы Ni ее работа Аi (Ni)>0, и это значит, что она способствует бифуркации стержня, то есть активной потери устойчивости. Работа других концевых усилий может быть больше, меньше или равна нулю.Аi (Mi, Qi) >0 означает, что работы одной продольной силы Ni недостаточно для компенсирования приращения величины Ui, и окружающие стержни помогают его потере устойчивости (пассивная, или принужденная, потеря устойчивости). Аi (Mi, Qi) < 0 свидетельствует о том, что окружающие стержни сопротивляются его бифуркации и, следовательно, сам стержень вовлекает в бифуркацию сжатые окружающие стержни (активная, или стесненная, потеря устойчивости).Случай Аi (Mi, Qi) = 0 можно отнести к активной нестесненной потере устойчивости.Естественно, что бифуркация стержня зависит от топологии системы, под которой подразумевается расположение стержней и способ их соединения между собой [10]. Вопросам оптимальной топологии посвящены работы [11–12].На рис. 1 представлена оптимальная по структуре ферма [13] с параллельными поясами, имеющая раскосую решетку без стоек с нисходящим опорным раскосом и централизацией осей раскосов в узлах. Расчетная нагрузка: F(3) = F(5)=F(7)=70 кН, F(1) =35кН. Модуль упругости Е=2,06·105 МПа.  Рис. 1. Оптимальная конструкция фермы  Таблица 1Внутренние усилия в фермеУзелСтерженьN, кНM, кН·смQ, кН(1)12222,11-151,63131,08-131,08-0,980,86(2)134222,11-221,66265,19-110,92-20,12131,04-0,980,26-1,03(3)2356-151,63-221,66133,58-59,96123,79-43,22-88,117,540,860,260,61-1,02(4)4578265,19133,58-134,90425,22173,91-63,57-26,09-84,25-1,030,610,100,003(5)67910-59,96-134,9049,16-168,94292,952,13-96,00-199,08-1,020,100,66-0,20(6)891112425,2249,16-482,4745,7283,29-68,4213,75-28,620,0030,660,980(7)1011-168,94-482,47258,28-258,28-0,20,98В табл.1 представлены внутренние усилия N, M и Q, вычисленные в предположении, что узлы фермы жесткие. Продольные усилия в сжатых стержнях отмечены знаком минус. Моменты на концах стержней, направленные против хода часовой стрелки, приняты положительными. Пары поперечных сил обозначены по тому же принципу. В табл. 2 представлены перемещения по горизонтальной (∆x) и вертикальной (∆y) осям и узлы поворота (ϑ) узлов фермы.Таблица 2Линейные и угловые перемещения узловУзел∆x, см∆y, смϑ, 10-3 рад(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)0-0,660,11-0,460,09-0,1600-0,68-1,42-2,03-2,60-2,86-3,054,524,234,563,752,821,910      Рис. 2. Стержень 1 из фермы на рис. 1 Выделим стержень 2 (рис. 2), приложим к нему внутренние усилия и покажем перемещения его краев. Вычислим работу Аi (Mi, Qi):А2 (Mi, Qi) = 12  (131,08·4,52·10-3 – 123,79·4,56·10-3 – 0,86·0,11)= –0,03 кН·см,т.е. имеет место активная, или стесненная, потеря устойчивости. Для стержней 6 и 10 аналогично вычисляем:  А6 (Mi, Qi) = 12  (-7,54·4,56·10-3 – 292,95·2,82·10-3 – 1,02·1,42 + 1,02·2,6)= 0,17 кН·см,А10 (Mi, Qi) = 12  (199,08·2,82·10-3  – 258,28·0 – 0,2·2,6 + 0,2·3,05)=0,32 кН·см,т.е. имеет место пассивная, или принужденная, потеря устойчивости. Проведем аналогичные исследования для сжатых раскосов: А3(Mi, Qi)=12 [20,12·4,23·10-3+43,22·4,56·10-3–0,26(0,66·0,866–0,68·0,5)– 0,26(0,11·0,866+1,42·0,5)]= 0,А7 (Mi, Qi) = 12  [26,09·3,75 – 2,13·2,82 – 0,1(0,46·0,866 –1,42·0,5)–0,1(0,09·0,866+2,65·0,5)]=0,А11 (Mi, Qi) = 12  [(-13,75·1,91+258,28·0) –0,98(0,16·0,866 – 2,86·0,5) –0,98·3,05·0,5 ] = – 0,15 кН·см.  Таким образом, стержням 3 и 7 присуща нестесненная, а стержню 11 – стесненная активная потеря устойчивости.Так как обычно сечения элементов унифицируются, то такую унификацию целесообразно осуществлять, ориентируясь на блоки элементов с активной бифуркацией. В данном случае это касается верхнего пояса фермы.Выводы. Оптимальное решение конструкции фермы в отношении ее топологии, геометрии, площадей и форм поперечных сечений стержней осуществляется на основе вариационных принципов структурного синтеза. Вытекающий из них универсальный критерий оптимальности приводит к минимуму расхода материала. Специфика сжатых стержней отражена в выражении потенциальной энергии деформации. В то же время полное решение проблемы сжатых стержней осуществляется при дополнительном их исследовании на состояние стесненной или принужденной потери устойчивости. *Работа выполнена в рамках Программы развития опорного университета на базе БГТУ им. В.Г. Шухова.