Для расчета тонкой изгибаемой плиты на локальные и разрывные нагрузки в работе использовались обобщённые уравнения метода конечных разностей (МКР). Численное решение сводится к составлению разностных уравнений, которые позволяют учи­тывать конечные разрывы искомой функции, правой части исход­ных дифференциальных уравнений, а также – разрывы производных функций. Решены следующие задачи: шарнирно опёртая плита, загруженная равномерно распределённой нагрузкой с опорой в центре и на 4-х опорах. При этом исследовался вопрос сходимости решения. Рас­чёт проводился при разном числе разбиений. Результаты сравнивались с известным решением [1]. Дифференциальные уравнения изгиба тонкой изотропной плиты [1] за­пишем в безразмерном виде: ∂2m∂ξ2+∂2m∂η2=-p;                       (1)  ∂2w∂ξ2+∂2w∂η2=-m,                      (2)где  ξ=xa;     η=ya;     m=Mq0a2;     M=Mx+My1+μ;  p=qq0;     w=WDq0a4; q0  – интенсивность нагрузки в какой-либо точке; μ  – коэффициент Пуас­сона; D  – цилиндрическая жесткость; a – сторона плиты; W  –прогиб.Численные аналоги уравнений (1), (2) [2] на квадратной сетке с шагом h: mi-1,j+mi,j-1-4mi,j+mi,j+1+mi+1,j+12hI-II∆mijξ+III-IV∆mijξ+I-III∆mijη+II-IV∆mijη= -14Ipij+IIpij+IIIpij+IVpij;                                                    (3)wi-1,j+wi,j-1-4wij+wi,j+1+wi+1,j=-mij,                                      (4) Часть (фрагмент) сетки, на которой строится решение показана на рис.1. Рис 1. Шаблон с расчётными точкамиБезразмерные изгибающие моменты определяются по формулам:m(ξ)=-wξξ+μwηη;m(η)=-wηη+μwξξ.            (5)wijξξ=h2wi-1,j-2wi,j+wi+1,j.      (6)Для квадратной плиты в центральной точке 1:m(ξ)=m(η); wijξξ=wijηη.                (7)Уравнения (1) и (2), записанные для всех внутренних точек плиты с учетом граничных условий, позволяют определить напряженно-деформированное состояние.1. Рассмотрим квадратную шарнирно опёртую по контуру плиту с опорой в центре на действие равномерно распределённой нагрузки q=1. Для решения задачи реакцию, возникающую в колонне, заменим нагрузкой типа «крест» распределённой по линейному закону с максимальной интенсивностью r. Таким образом, задача сводится к расчёту плиты на совместное действие равномерно распределённой нагрузки и нагрузки типа «крест», расположенной в центре и направленной в противоположную сторону. Данная нагрузка будет учтена в виде скачка равного величине r: I-II∆mijξ=III-IV∆mijξ=I-III∆mijη=II-IV∆mijη=r .  При шарнирном опирании на контуре: w=0;   m=0.  Принимаем h=1/6 . Запишем уравнения (3) и (4) для каждой из шести расчетных точек плиты. Прогиб в центральной точке равен нулю, а неизвестной будет являться величина скачка r. Для дальнейших вычислений удобнее точки обозначать одним индексом, расчетная схема показана на рис. 2, в силу симметрии изображена только четверть плиты, на рис. 3 показана центральная часть плиты с изображением нагрузки типа «крест».  Рис. 2. Четверть расчетной схемы к задаче 1.  Рис. 3. Аппроксимация реакции в центральной точке Приведем в качестве иллюстрации решения уравнения (3) и (4) для точек 1 и 2, где  12∙164∙r  учитывает полосовую нагрузку.m2+m2-4m1+m2+m2+12∙164∙r=-1;m3+m4-4m2+m4+m1=-1;…w2+w2+w2+w2=-m1;w3+w4-4w2+w4=-m2;… (8) Откуда m1=-2,4521;  m2=0,1513;  m3=0,6605;  m4=0,6983;  m5=0,7454;  m6=0,6227;  r=-0.95113;  w2=0,613;  w3=0,6585;   w4=0,8212;  w5=0,6802;  w6=0,4958 ,где w=wh4;  m=mh2.                                                                         (9) Безразмерные изгибающие моменты вычисляются по (5) с учётом (6) и (7) при  μ=0.3 :w1ξξ=(1/6)20,613+0,613=0,034;     (10)m(ξ)=-0,034+0.3∙0,034=-0.0442.  (11)Выполним расчет, следуя методике [1]. Под равномерной нагрузкой интенсивностью q пластинка вызовет в колонне реакцию R. Устранив из системы колонну получим шарнирно опёртую квадратную плиту, несущую лишь заданную нагрузку q, прогибы производимые этой нагрузкой - w0  . Далее устранив нагрузку q и проложив в центре сосредоточенную силу получим прогибы w1 . Из условия что пластинка в центральной точке не прогибается получим значение реакции R=w0/w1 . Значения моментов в расчётных точках получены методом суперпозиции. В таблице приведены значения изгибающих моментов на опоре и в четверти пролёта, а также значение реакции в колонне при разном числе разбиения. Одновременно расчет выполнялся МКЭ с использованием программного комплекса ЛИРА-САПР 2013 R3. Таблица 1Результаты расчёта задачи 1 Rm1(ξ) Изгибающий момент в четверти пролёта1/4-0.2946-0.02611/6-0.3170-0.0443m(ξ) m(η) 1/8-0.3283-0.05700.0010.0192МКЭ--0.04820.00090.019по [1]-0.3584-0.05880.00040.0174  Расчет проводился на сетке с разным шагом. Из таблицы видно, что полученные значения R на опоре увеличиваются с уменьшением шага. Особенность в центральной точке связана с характером сосредоточенного воздействия на плиту. 2. Рассмотрим теперь квадратную шарнирно опёртую плиту на четырёх опорах, на действие равномерно распределённой нагрузки q=1. Расчетная схема представлена на рис. 4. Система разрешающих уравнений аналогична первой задаче, за исключением того, что скачки учитываются в точке 4, а не в точке 1. Откуда получаем решение: m1=0.372;  m2=0.122;  m3=0.4264;  m4=-0.6552;  m5=0.2918;  m6=0.3959;  w1=0.2424;  w2=0.1493;  w3=0.233;   r=-0.3707;  w5=0.1782;  w6=0.188   Безразмерные изгибающие моменты вычисляются по (5) с учётом (6) и (7) при  μ=0.2 :w4ξξ=(1/6)20.1782+0.1493=0.0091;  (12)m4(ξ)=-0.0091+0.2∙0.0091=-0.0109.  (13)В таблице приведены значения изгибающих моментов при разном числе разбиения.   Рис. 4. Четверть расчетной схемы к задаче 2 Таблица 2Результаты расчёта задачи 2 h=1/6h=1/9№ точки456момент на опореm(ξ) -0.01090.000180.0066-0.0168МКЭ-0.01190.000180.0054-0.0119m(η) -0.01090.00950.0066-МКЭ-0.01190.00790.0054- Анализ результатов, приведенных в таблице 2, показывает, что при достаточно редком разбиении значения изгибающих моментов в расчетных точках близки к значениям полученным методом конечных элементов. Относительная погрешность момента в точке 4 (на опоре) при h=1/6 составляет 9 %. Это позволяет судить о сходимости результата на минимальной сетке. Предложенный алгоритм решения можно использовать как дополнительный вариант расчета, наряду с другими методами.Выводы. Решение тестовых задач на ряде сеток и использование принципа суперпозиции позволило подтвердить достоверность полученных результатов и решить новые задачи о расчете безбалочного перекрытия.