Vestnik of Don State Technical UniversityVestnik of Don State Technical UniversityВестник Донского государственного технического университета1992-5980199410.12737/3501Физико-математические наукиPhysical and mathematical sciencesФизико-математические наукиFredholm property of composite two-dimensional integral operators with homogeneous singular-type kernels in Lp spaceФредгольмовость составных двумерных интегральных операторов с однородными ядрами сингулярного типа в пространстве LpДеундяк Владимир МихайловичDeundyak Vladimir Михайловичvl.deundyak@gmail.comРоманенкоЕлена АнатольевнаRomanenkoElena Анатольевнаodiseya@yandex.ru07042014070420141412233https://zh-szf.ru/en/nauka/article/1994/view
Ранее авторами изучалась фредгольмовость двумерных интегральных операторов с однородными ядрами послойно сингулярного типа. Для такого класса операторов символическое исчисление строилось методами теории операторов билокального типа В. С. Пилиди, и фредгольмовость выражалась через обратимость двух семейств: семейства операторов одномерной свёртки и семейства одномерных сингулярных интегральных операторов с непрерывными коэффициентами. Цель данной работы — изучение составных двумерных интегральных операторов с однородными ядрами послойно сингулярного типа, аналогичных введенным И. Б. Симоненко операторам составной континуальной свёртки. Это исследование проводится в рамках изучения более общей алгебры операторов с однородными ядрами, которые послойно являются сингулярными операторами с кусочно-непрерывными коэффициентами. Для изучаемых операторов построено символическое исчисление и найдены необходимые и достаточные условия фредгольмовости.
The authors have previously studied two-dimensional Fredholm integral operators with homogeneous kernels of fiber-singular type. For this class of operators, the symbolic calculus is built using the theory of bilocal operators by V. Pilidi, and Fredholm criterion is formulated through the inversibility of two families: the family of one-dimensional convolution operators, and the family of one-dimensional singular integral operators with continuous coefficients.
The aim of this work is to study composite two-dimensional integral operators with homogeneous kernels of fibersingular type analogous to Simonenko’s continual convolution integral operators. This investigation is a part of a more general study of algebra of operators with homogeneous kernels which layers are singular operators with piecewise continuous coefficients. For the considered operators, the symbolic calculus and the necessary and sufficient Fredholm conditions are obtained.
Исследование в пространстве , где 1<p<+∞, n 2операторов вида:c однородными, степени (−n), ядрами начато Л. Г. Михайловым. Вопросам разрешимости таких операторов с переменными коэффициентами посвящены работы Н. К. Карапетянца, С. Г. Самко, О. Г. Авсянкина и других авторов ([1, 2] и цитированные в них источники). Кроме условий однородности в данных работах на ядра накладывались и существенно использовались условияинвариантности относительно диагонального действия группы ортогональных преобразований SO(n). В [3, 4] рассматривались классы ядер компактного и сингулярного типа, включающие в себя SO(n)-инвариантные ядра, а также методами теории операторов локального [5] и билокального типа [6] исследовалась разрешимость операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами. Топологические свойства пространств обратимых и фредгольмовых операторов из этого класса изучались в [7]. Ключевым моментом при исследовании различных классов операторов с однородными ядрами является установление связи с соответствующими алгебрами операторов свртки.
Karapetiants, N., Samko, S. Equations with Involutive Operators. Boston, Basel, Berlin : Birkhauser, 2001, 427 p.Karapetiants, N., Samko, S. Equations with Involutive Operators. Boston, Basel, Berlin : Birkhauser, 2001, 427 p.Авсянкин, О. Г. Об алгебре парных интегральных операторов с однородными ядрами / О. Г. Авсянкин // Математические заметки. - 2003. - Т. 73, вып. 4. - C. 483-493.Avsyankin, O. G. Ob algebre parnykh integral´nykh operatorov s odnorodnymi yadrami / O. G. Avsyankin. Matematicheskie zametki. - 2003. - T. 73, vyp. 4. - C. 483-493.Деундяк, В. М. Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами компактного типа и мультипликативно слабо осциллирующими коэффициентами / В. М. Деундяк // Математические заметки. - 2010. - Т. 87, № 5. - С. 713-729.Deundyak, V. M. Mnogomernye integral´nye operatory s odnorodnymi yadrami kompaktnogo tipa i mul´tiplikativno slabo ostsilliruyushchimi koeffitsientami / V. M. Deundyak. Matematicheskie zametki. - 2010. - T. 87, № 5. - S. 713-729.Деундяк, В. М. Об интегральных операторах с однородными ядрами послойно сингулярного типа в пространстве 2 p L R / В. М. Деундяк, Е. А. Степанюченко // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2007. - Т. 7, № 2 (32). - С. 161-168.Deundyak, V. M. Ob integral´nykh operatorakh s odnorodnymi yadrami posloyno singulyarnogo tipa v prostranstve 2 p L R / V. M. Deundyak, E. A. Stepanyuchenko. Vestnik Don. gos. tekhn. un-ta. - 2007. - T. 7, № 2 (32). - S. 161-168.Симоненко, И. Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов их огибающих / И. Б. Симоненко. - Ростов-на-Дону : ЦВВР, 2007. - 120 с.Simonenko, I. B. Lokal´nyy metod v teorii invariantnykh otnositel´no sdviga operatorov ikh ogibayushchikh / I. B. Simonenko. - Rostov-na-Donu : TsVVR, 2007. - 120 s.Пилиди, В. С. О бисингулярном уравнении в пространстве p L / В. С. Пилиди // Математические исследования. - 1972. - Т. 7, № 3. - С. 167-175.Pilidi, V. S. O bisingulyarnom uravnenii v prostranstve p L / V. S. Pilidi. Matematicheskie issledovaniya. - 1972. - T. 7, № 3. - S. 167-175.Деундяк, В. М. Топологические методы в теории разрешимости многомерных парных интегральных операторов с однородными ядрами компактного типа / В. М. Деундяк // Труды МИАН. - 2012. - Т. 278. - С. 59-67.Deundyak, V. M. Topologicheskie metody v teorii razreshimosti mnogomernykh parnykh integral´nykh operatorov s odnorodnymi yadrami kompaktnogo tipa / V. M. Deundyak. Trudy MIAN. - 2012. - T. 278. - S. 59-67.Симоненко, И. Б. Операторы типа свёртки в конусах / И. Б. Симоненко // Математический сборник. - 1967. - Т. 74, № 2. - С. 298-314.Simonenko, I. B. Operatory tipa svertki v konusakh / I. B. Simonenko. Matematicheskiy sbornik. - 1967. - T. 74, № 2. - S. 298-314.Пилиди, В. С. Локальный метод в теории операторов типа бисингулярных уравнений / В. С. Пилиди, Л. И. Сазонов // Известия вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Псевдодифференциальные уравнения и некоторые проблемы математической физики. - 2005. - С. 100-106.Pilidi, V. S. Lokal´nyy metod v teorii operatorov tipa bisingulyarnykh uravneniy / V. S. Pilidi, L. I. Sazonov. Izvestiya vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. Spetsvypusk. Psevdodifferentsial´nye uravneniya i nekotorye problemy matematicheskoy fiziki. - 2005. - S. 100-106.Деундяк, В. М. Символы и гомотопическая классификация семейств одномерных сингулярных операторов с кусочно-непрерывными коэффициентами / В. М. Деундяк, И. Б. Симоненкo, Чинь Шок Минь // Известия вузов. Математика. - 1988. - № 12. - C. 17-27.Deundyak, V. M. Simvoly i gomotopicheskaya klassifikatsiya semeystv odnomernykh singulyarnykh operatorov s kusochno-nepreryvnymi koeffitsientami / V. M. Deundyak, I. B. Simonenko, Chin´ Shok Min´. Izvestiya vuzov. Matematika. - 1988. - № 12. - C. 17-27.Дудучава, Р. В. Интегральные операторы свёртки на квадранте с разрывными символами / Р. В. Дудучава // Известия АН СССР, серия «Математика». - 1976. - T. 40, № 2. - C. 388-407.Duduchava, R. V. Integral´nye operatory svertki na kvadrante s razryvnymi simvolami / R. V. Duduchava. Izvestiya AN SSSR, seriya «Matematika». - 1976. - T. 40, № 2. - C. 388-407.Деундяк, В. М. Об одной алгебре операторов билокального типа в Lp (R *T) / В. М. Деундяк, Е. А. Степанюченко // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения : межвуз. сб. науч. трудов. - Ростов-на-Дону, 2007. - С. 59-66.Deundyak, V. M. Ob odnoy algebre operatorov bilokal´nogo tipa v Lp (R *T) / V. M. Deundyak, E. A. Stepanyuchenko. Integro-differentsial´nye operatory i ikh prilozheniya : mezhvuz. sb. nauch. trudov. - Rostov-na-Donu, 2007. - S. 59-66.Пилиди, В. С. Локальный метод в теории линейных операторных уравнений типа бисингулярных интегральных уравнений / В. С. Пилиди // Математический анализ и его приложения. - 1971. - Т. 3. - С. 81-105.Pilidi, V. S. Lokal´nyy metod v teorii lineynykh operatornykh uravneniy tipa bisingulyarnykh integral´nykh uravneniy / V. S. Pilidi. Matematicheskiy analiz i ego prilozheniya. - 1971. - T. 3. - S. 81-105.Каш, Ф. Модули и кольца / Ф. Каш. - Москва : Мир, 1981. - 368 с.Kash, F. Moduli i kol´tsa / F. Kash. - Moskva : Mir, 1981. - 368 s.Деундяк, В. М. Канонические представления и ядра предсимволов бисингулярных интегральных операторов / В. М. Деундяк // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2004. - Т. 4, № 1 (19). - С. 3-8.Deundyak, V. M. Kanonicheskie predstavleniya i yadra predsimvolov bisingulyarnykh integral´nykh operatorov / V. M. Deundyak. Vestnik Don. gos. tekhn. un-ta. - 2004. - T. 4, № 1 (19). - S. 3-8.