Разрешающее дифференциальное уравнение изгиба тонкой пластинки [1] имеет вид:∂4W∂x4+2∂4W∂x2∂y2+∂4W∂y4=qD,                 (1)где W  – прогиб; q  – интенсивность распределенной нагрузки; D  – цилиндрическая жесткость.Перейдем к безразмерным параметрам и понизим порядок уравнения (1), введя обозначенияwξξ=∂2w∂ξ2;  wηη=∂2w∂η2                     (2)получим: ∂2wξξ∂ξ2+∂2wξξ∂η2+∂2wηη∂ξ2+∂2wηη∂η2=p,     (3)где  ξ=xa;     η=ya;    p=qq0;     w=WDq0a4;  q0 - интенсивность нагрузки в какой-либо точке, a  – длина одной из сторон плиты.Внутренние усилия также запишем в безразмерном виде:m(ξ)=Mxq0a2; m(η)=Myq0a2; m(ξη)=Mxyq0a2, m(ξ)=-wξξ+μwηη,m(η)=-wηη+μwξξ. (4)Приведем разностную аппроксимацию дифференциального уравнения (3), используя обобщенное уравнение метода конечных разностей МКР (2.1.17) [2] при δ=β=σ=0 ,  α=γ=1  с заменой ω на wξξ и wηη . wi-1,jξξ+wi,j-1ξξ-4wi,jξξ+wi,j+1ξξ+wi+1,jξξ+wi-1,jηη+wi,j-1ηη-4wi,jηη+wi,j+1ηη+wi+1,jηη+h2I-IIΔqi,jξ+III-IVΔqi,jξ+I-IIIΔqi,jη+II-IVΔqi,jη=h24Ipi,j+IIpi,j+IIIpi,j+IVpi,j ,                       (5)wi-1,jηη+wi+1,jηη-wi,j-1ξξ-wi,j+1ξξ-2wi,jηη-wi,jξξ=0;                                   (6) Здесь  Δqi,jη и  Δqi,jξ  – величины разрывов безразмерной поперечной силы в направлениях  η и ξ   соответственно в точке, расположенной на бесконечно малом расстоянии от точки i,j . Уравнения записываем на квадратной сетке с шагом h. Фрагмент сетки на которой строится численное решение показан на рис. 1. Алгоритм расчета сводится к следующему: для определения wξξ  и  wηη  необходимо совместное решение систем уравнений (5) и (6) с учетом граничных условий.При шарнирном опирании на контуре wξξ=wηη=0 , поэтому для решения достаточно уравнений (5) и (6).    Рис. 1. Шаблон с расчётными точками                    Рис. 2. Шаблон для записи граничных условий  Получим уравнение описывающее граничные условия при жестком защемлении стороны η=1 , параллельной оси ξ  . Граничные условия можно записать в виде уравнения метода последовательных аппроксимаций используя (3.1.6) [2]:-hwijη-wij+wi,j-1+h262mij+mi,j-1= =-h5122pi,jη-h41225pi,j+pi,j-1              (7) и выражение  mij=-(wijξξ+wijηη) , при wij=wη=0 , где i,j  – точка края, получимwi,j-1-h262wi,jξξ+2wi,jηη+wi,j-1ηη+wi,j-1ξξ= =-h5122pi,jη-h41225pi,j+pi,j-1               (8)Для других краев плиты эти уравнения записываются по аналогии с заменой η, i,j  на ξ, j,i . Фрагмент сетки приведен на рис. 2. Для вычисления вторых производных w  воспользуемся известными формулами метода конечных разностей:wijξξ=(wi-1,j-2wij+wi+1,j)/h2      (9)Формула для wijηη следует из (9) с заменой  i,j  на j,i .Приведем решение нескольких задач. 1. Рассмотрим квадратную шарнирно опёртую по контуру плиту, нагруженную распределенными моментами по краям ξ=0 и ξ=1 . Расчетная схема изображена на рис.3. Принимаем  h=1/4 . При такой нагрузке момент на контуре m(ξ)=1,  а  wηη=0 . wξξ на контуре  найдем из зависимостей (4) -  wξξ=-1.   Для решения необходимо записать уравнения (5) и (6) для расчетных точек поля с учетом симметрии при Δqξ=Δqη=0 . Решая систему получим: w1ξξ=-0,185;  w1ηη=-0,312.  Из (4) определим: m1(ξ)=0,281; m1(η)=0,369.  Результаты, приведенные в работе С.П. Тимошенко [1]: m1(ξ)=0,256; m1(η)=0,394 . Погрешность по моментам m1(ξ)  – 9,7%,   m1(η)  – 6,7%.  Рис. 3.  Расчетная схема к задаче 12. Квадратная пластинка, три края которой свободно оперты и один защемлен, загружена равномерно распределенной нагрузкой p=1 . Граничные условия как на рис 4. Для решения этой задачи наряду с уравнениями (5) и (6) составленных для точки поля 22, необходимо записать уравнение (8) для точки контура 23, учитывающее граничные условия. Значение прогиба в точке 22, в уравнении (8), запишем с использованием известного уравнения метода конечных разностей (9). -4w22ξξ+w23ηη-4w22ηη=0.5241+1+1+1,-w22ηη+w22ξξ=0,w22ξξ∙0,522+0,5262w23ηη+w22ηη+w22ξξ=0,541225∙1+1; (10)Решая (10) найдем: w22ξξ=w22ηη=-0,0208; w23ηη=0,0833.  С учётом (4) m23η=-0,0833; m22(η)=m22(ξ)=0,027. Прогиб w22=0,0028.  Решение в рядах [1] для этой задачи дает: w22=0,0026;  m22(η)=0,034;  m22(ξ)=0,039;  m23η=-0,084.   Погрешность по прогибам - 7,7 %,  по моменту в заделке – 0.84 % .   Рис. 4. Расчетная схема к задаче 3                  Рис. 5. Расчетная схема к задаче 4  3. Рассмотрим плиту, представленную на рис. 4 под действием гидростатической нагрузки. Уравнения (5) и (6) записываются аналогично предыдущему примеру, при этом p22=0 ,5. Уравнение (8) записываем с учетом (9) полагая p23η=1 .  В результате получим: w22ξξ=w22ηη=-0,0092; w23ηη=0,0516.  С учётом (4) при μ=0,3  – m23η=-0,0516;  m22(η)=m22(ξ)=0,0119. Прогиб w22=0,0011.  Решение [1]: w22=0,0013;  m22(η)=0,019;  m22(ξ)=0,016;  m23η=-0,048.   Погрешность по прогибам – 14,3 %,  по моменту в заделке  - 7,4 % .4. Пластинка, жестко закрепленная двумя противоположными сторонами и свободно опертая двумя другими под действием равномерно распределенной нагрузки по всей поверхности (рис. 5). Для решения записываем уравнения (5) и (6) для точки 22, уравнение (8), с учетом (9) для точки 23. При шаге h=1/2 , получим следующие результаты: w22ξξ=w22ηη=-0,01442; w23ηη=0,0673.  С учётом (4) при μ=0,3  -  m23η=-0,0673;  m22(η)=m22(ξ)=0,0187. Прогиб w22=0,0018.  Решение [1]: w22=0,00195;  m22(η)=0,0332;  m22(ξ)=0,0244;  m23η=-0,0698.   Погрешность по прогибу - 8,3 %,  по моменту в заделке  - 3,7 % .   Таблица 1Результаты расчетов задач на сетке с шагом h=1/2  и h=1/4  h w22  в центреm22(ξ)  в центреm22(η)  в центреm23η в заделкезадача №11/20,03120,4220,422-1/40,03560,2810,369-решение [1]0,03680,2560,394-задача №21/20,00260,0270,027-0,0831/40,00270,0350,031-0,0838решение [1]0,00280,0390,034-0,084задача №31/20,00110,0120,012-0,0511/40,00130,0150,017-0,043решение [1]0,00130,0160,019-0,048задача №41/20,00180,0190,019-0,0671/40,001870,0220,028-0,069решение [1]0,00190,0240,033-0,069Решен ряд тестовых задач. Из анализа приведенных результатов следует, что решения с помощью изложенного алгоритма достоверны, погрешность при минимальном числе разбиений плиты на элементы не значительная. Нагрузка может быть любого типа, в том числе сосредоточенная с использованием подхода, показанного в [5], [8], [9], [11]. Исходя из этого, данный метод может быть использован для проведения расчетов подобных задач и для задач с другими вариантами нагрузок и граничных условий. Работа может представлять интерес с методической точки зрения, а также в связи с возможностью определения непосредственно моментов. В заключении отметим, что существует обширная литература, посвященная расчету изгибаемых плит. Расчет методом конечных разностей в традиционной форме представлен в работах [3], [4], [12]. Вариационные методы использованы в [1], [7], [10]. А также решение методом конечных элементов реализовано в вычислительных комплексах [6], [13].