Задача о сферах Данделена является одной из наиболее известных геометрических задач, связывающих квадратичные образы трехмерного пространства и плоскости, имеющая изящную визуальную интерпретацию. Впервые геометрическая конструкция, обосновывающая существование двух сфер, касающихся прямого кругового конуса и пересекающей его плоскости, была получена Данделеном [1], а в дальнейшем распространена и на другие разновидности квадрик [3; 6; 21; 23; 28]. В исходной постановке задача о шарах Данделена утверждает следующее: пусть дан прямой круговой конус; если конус пересекается плоскостью, то можно построить две сферы, единовременно касающиеся и конуса, и сферы, причем касание плоскости происходит в фокальных точках коники, возникающей от пересечения плоскости и конуса. Как уже было отмечено ранее, задача о сферах Данделена может быть распространена на случай произвольной квадрики вращения, а не только прямого кругового конуса, однако в этом случае сферы, касающиеся поверхности и плоскости в фокальных точках кривой сечения, существуют не всегда [13]. Задача данной статьи — дать конструктивное [2] проективное обоснование решения задачи о сферах Данделена и показать, что к таким сферам следует причислять и иные сферы (как действительные, так и мнимые), которые выпадали из поля зрения исследователей данной задачи. Предлагаемое в статье обобщенное решение призвано продемонстрировать, что классификация объектов задачи должна осуществляться не на чисто визуальной оценке их композиции [23; 28], а на более глубоких взаимосвязях, проявляющих единый принцип их геометрического взаимодействия. В результате анализа алгоритма действия конструк-тивной геометрической схемы, являющейся причиной визуального причисления наблюдаемых сфер к объектам особого типа, будет сделан вывод о том, что класс объектов, называемых сферами Данделена, должен быть расширен сферами, ранее к таковым не причислявшимися. На начальном этапе рассуждений рассмотрим конструктивный алгоритм построения сфер Данделена для квадрики вращения, используя для этих целей модель G2 2 3, — эпюр Монжа [5; 26]. Для анализа задачи будет достаточно построить только одну проекцию данной модели. Пусть квадрика σ будет задана очерком s и осью вращения i (рис. 1). Без потери общности плоскость сечения зададим следом α. Для определения местоположения фокальных точек, в которых сферы должны будут касаться плоскости, используем метод дополнительного ортогонального проецирования и построим кривую a, возникающую от пересечения плоскости и квадрики. Результат такого пересечения — коника, для однозначного определения которой необходимо наличие пяти известных точек. Две из них (P1 и P2) уже имеются, поскольку ониобразуются от пересечения следа плоскости α и очерка s. Для построения недостающих точек проведем следы двух вспомогательных плоскостей β и γ, ортогональных к оси вращения i. Линии b и g пересечения плоскостей β и γ с поверхностью квадрики — суть окружности, диаметры которых определяются точками пересечения очерка квадрики со следами. Зная точки пересечения следа α со следами β и γ, определим превышения точек Δb и Δg, которые необходимо отложить от этих точек по направлению, перпендикулярному к следу α. Таким образом, недостающие точки P3, P4 и P5 искомого конического сечения a найдены. Теперь при наличии самой коники a не составит труда найти ее фокальные точки F1 и F2, для чего можно использовать любой известный конструктивный алгоритм, например [30].