Введение. Модернизация промышленного производства зачастую требует реконструкции зданий и сооружений, что в свою очередь приводит к необходимости усиления их несущих элементов. При усилении стальных каркасов наиболее распространённым приёмом является способ наращивания сечения, при котором усиливается не вся конструкция, а наиболее напряжённые её части [1–3]. Усиление элементов, имеющих поперечное сечение в виде прокатного или составного двутавра, производится стальными листами, привариваемыми к полкам или стенке. С целью экономии материала, расходуемого на усиление, данная задача может быть поставлена как задача оптимального проектирования [4–7], в том числе при проектировании новой конструкции, когда с точки зрения экономии материала рациональной является конструкция переменного по длине поперечного сечения. В настоящее время подобные конструкции достаточно часто применяются в мостостроении [8], и существенно реже в промышленном и гражданском строительстве [9, 10].Задача определения усилий и перемещений в стержневых системах, имеющих элементы усиления, может быть решена с применением программных комплексов [11, 12], использующих конечные элементы (КЭ) двух типов: стержневого КЭ и КЭ оболочки. Для каждого рассчитываемого варианта усиления конечно-элементную модель приходится создавать заново, что является нерациональным с точки зрения времени, затрачиваемого на принятие проектного решения. В связи с этим обстоятельством в работе [13] предложен специальный КЭ смешанного метода, предназначенный для расчёта плоских стержневых систем, элементы которых имеют поперечное сечение в виде прокатного или составного двутавра с двумя осями симметрии. Количество элементов усиления на одном КЭ ограничивается тремя; в зависимости от выбранного способа усиливаться могут либо обе полки, либо стенка. В качестве исходной информации должны быть заданы: способ усиления, размеры усиливающего элемента, координаты начала и конца участка усиления (рис. 1).Методология. Решение поставленной задачи осуществляется методом конечных элементов (МКЭ) в форме смешанного метода [14, 15]. Основная система смешанного метода получается из заданной (рис. 2, а) за счёт врезания шарниров во все узлы системы и последующего добавления линейных связей, обеспечивающих геометрическую неизменяемость (рис. 2, б). Таким образом, в качестве неизвестных принимаются горизонтальные и вертикальные перемещения узлов системы и внутренние усилия (изгибающие моменты) по концам КЭ.Разрешающая система уравнений смешанного метода включает в себя уравнения двух групп. Первая группа выражает условие равенства нулю реакций в добавленных связях; вторая – условие равенства нулю перемещений по направлению отброшенных связей:                   (1)где  – матрица коэффициентов системы уравнений смешанного метода (матрица откликов);  – вектор неизвестных;  – вектор грузовых коэффициентов.  а   Рис. 1. Схема расположения элементов усиления  б б  Рис. 2. Заданная система (а) и основная система смешанного метода (б) Для формирования системы уравнений (1) необходимо вычислить для каждого КЭ матрицы откликов в местной системе координат  и вектор грузовых коэффициентов                                                       (2)где элементы матрицы  и вектора  вычисляются по формулам:                                                    (3)                                                    (4)                                                 (5)                                                (6)                                               (7)                            (8)                                                                  (9)   В формулах (3) – (9) обозначено:  – равномерно распределённые нагрузки, приложенные к КЭ;  – площадь и осевой момент инерции в сечении с координатой  соответственно; обозначения остальных величин, входящих в формулы, приведены на рис. 3. В(3) – (8) все интегралы вычисляются численно по способу прямоугольников.   Рис. 3. Схемы для формирования матрицы откликов и вектора грузовых коэффициентов  Перед формированием системы уравнений смешанного метода матрица откликов КЭ переводится из местной системы координат в общую с помощью матрицы направляющих косинусов  и рассылается в общую матрицу откликов  в уравнениях (1):    Полученная в результате система уравнений должна быть скорректирована с учётом имеющихся в конструкции опорных связей и условий примыкания КЭ к узлам [16, 17].В отличие от варианта МКЭ в форме метода перемещений [18], применяемого в программных комплексах [11, 12] для расчёта конструкций, при решении поставленной задачи используется только один тип КЭ [13], позволяющий в рамках предложенного подхода варьировать формой поперечного сечения основной конструкции, количеством и видом элементов усиления и т. д.Основная часть. При апробации предложенного КЭ смешанного метода, предназначенного для расчёта усиления плоских стальных рам, был рассчитан пример, рассмотренный в [9, 10]. Стропильная конструкция покрытия представляет собой балку из прокатного двутавра с участками усиления полок листовыми накладками. Балка на участках наибольшей жёсткости опирается на подкосы с образованием консолей, концы которых объединены с верхними сечениями надколонников. Нижние концы подкосов и надколонников соединены в узлах опирания конструкции покрытия на колонны и связаны между собой затяжкой (рис. 4).Верхний пояс конструкции выполнен из прокатного профиля (двутавра) №35 Ш 1 по СТО АСЧМ 20-93. Надколонники – из прокатного двутавра 30 Б 1 того же сортамента. Подкосы и затяжка выполнены из трубы 140×12 мм  и 121×10 мм соответственно. Листы усиления имеют размеры 2350×1195×10 мм. Все узлы сопряжения элементов между собой, кроме конькового и узла примыкания подкосов к балке – шарнирные (рис. 5). В расчётах ширина листа усиления согласно [9, 10] принималась по всей длине одинаковой. а б в Рис. 4. Стальная балочная конструкция покрытия переменной жёсткостис подкосами и затяжкой [9, 10]; общий вид (а); фотография (б); узел усиления (в)  Расчёт конструкции покрытия также выполнялся в программном комплексе ЛИРА САПР (рис. 6). При создании расчётной модели по разработанной программе, прокатные профили были заменены составными двутаврами с размерами, указанными на рис. 7. Результаты расчёта в разработанной программе и в программном комплексе ЛИРА САПР приведены на рис. 8. Величины прогибов конькового узла составили , . Близость полученных результатов свидетельствует о корректном решении поставленной задачи.  35Ш1  30Б1  б  а   Рис. 5. Стальная балочная конструкция покрытия переменной жёсткости с подкосамии затяжкой; расчётная схема (а); поперечные сечения элементов (б)    а  б    Рис. 6. КЭ модель конструкции покрытия для расчёта в ПК ЛИРА САПР;общий вид (а); усиление пояса, фрагмент (б)  При конструировании узла усиления с целью уменьшения концентрации напряжений накладка выполнялась переменной ширины. Усложним задачу расчёта, принимая размеры усиливающего листа согласно рис. 4, в. В этом случае при вычислении геометрических характеристик усиленного сечения, входящих в формулы (3) – (8), учитывалась фактическая ширина накладки, что привело к следующим результатам. Изгибающий момент в коньковом узле составил 205,24 кНм в узле усиления – 340,33 кНм прогиб  Изменение расчётных величин в сравнении с расчётом при накладке постоянной ширины составило от 0,66 % до1,02 %Таким образом, предложенный алгоритм смешанного метода позволяет рассчитывать конструкции с элементами усиления переменной ширины, что отвечает требованиям практики проектирования стальных конструкций.  в  г  д  б  а   Рис. 7. Поперечные сечения элементов конструкции покрытия (все размеры указаны в см);верхняя балка (а); верхняя балка с усилением полок (б); надколонник (в); затяжка (г); подкос (д)   а  б   Рис. 8. Результаты расчёта в ПК ЛИРА САПР (а); по разработанной программе (б) Вывод. Сравнение двух подходов к решению задачи с использованием программного комплекса ЛИРА САПР и по предложенному алгоритму, показывает, что:– при изменении размеров и места положения усиливающего элемента в программных комплексах расчётную схему требуется каждый раз создавать заново, используя для этого стержневые и пластинчатые КЭ модели;– разработанный КЭ позволяет изменять размеры и количество усиливающих элементов, не меняя при этом схему разбиения на узлы и КЭ; изменению подлежат координаты расположения усиливающих листов и их размеры.Таким образом, предложенный КЭ для расчёта усиления стальных рам, по сравнению с используемыми в инженерной практике программными комплексами, является более эффективным.Источник финансирования. Государственное задание Министерства образования и науки РФ (номер проекта 7.8899.2017/8.9).