Geometry & GraphicsGeometry & GraphicsГеометрия и графика2308-48982458310.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377Научные проблемы геометрииScientific problems of geometryНаучные проблемы геометрииLoci of Points Equally Spaced From Two Given Geometrical Figures. Part 3Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 3ВышнепольскийВладимир ИгоревичVyshnepol'skiyVladimir Igorevich
кандидат педагогических наук;
candidate of pedagogical sciences;
КиршановК. А.KirshanovK. A.ЕгиазарянК. Т.EgiazaryanK. T.Московский технологический университетМоскваРоссияMoscow Technological UniversityMoscowRussian FederationМИРЭА – Российский технологический университетРоссияМИРЭА – Российский технологический университетRussian FederationМИРЭА — Российский технологический университетМоскваРоссияMIREA — Russian Technological UniversityMoscowRussian Federation64319https://zh-szf.ru/en/nauka/article/24583/view
Рассматриваются геометрические места точек (далее — ГМТ), равноудаленных от сферы и прямой и от конической поверхности и плоскости. Рассмотрены следующие варианты. Прямая проходит через центр сферы (а = 0), при этом полностью при положительных радиусах сфер получается поверхность вращения, образующей которой является парабола, а осью вращения – данная прямая. Вершина параболы образует самую большую параллель на участке точками пересечения образующей параболы с осью вращения. Назовем такой параболоид перпендикулярным параболоидом вращения. Прямая пересекает сферу, но не проходит через центр (0 < α < R/2) – перпендикулярный параболоид, причём поверхность также полностью получается при положительных значениях радиусов. Прямая касается сферы (а = R/2) – поверхность, проекциями которой являются параболы, лемнискаты и окружности, и отрезок от точки касания до центра сферы при положительных значениях радиусов, луч от центра сферы, перпендикулярный данной прямой – при отрицательных значениях радиусов, причём луч и отрезок принадлежат одной прямой. Прямая лежит вне сферы (α > R2) – получаются две разные поверхности, имеющие общие свойства с гиперболическим параболоидом, одна из которых получается при положительных значениях радиуса, другая при отрицательных. Замечено, что ГМТ, равноудаленных от сферы и прямой и от цилиндра и точки, совпадают при равных радиусах и расстояниях от осей до точек и прямых, если учитывать поверхности, полученные как при положительных, так и при отрицательных значениях радиусов. ГМТ, равноудаленных от конической поверхности вращения и плоскости – две эллиптические конические поверхности, которые в случае 7.4.1 вырождаются в конические поверхности вращения. В случаях 7.4.3 и 7.4.4 одна эллиптическая коническая поверхность вырождается в плоскость и параболический цилиндр соответственно.
The loci (L) equally spaced from a sphere and a straight line, and from a conic surface and a plane, are considered. The following options have been considered. The straight line passes through the center of the sphere (a = 0), at the same time completely at spheres’ positive radiuses a surface of rotation is obtained, forming which the parabola is, and a rotation axis – this straight line. The parabola’s top forms the biggest parallel on the site points of intersection of the parabola’s forming with the rotation axis. Let's call such paraboloid a perpendicular paraboloid of rotation. The straight line crosses the sphere, but does not pass through the center (0 < a < R/2) – a perpendicular paraboloid, at that the surface is also completely obtained at radiuses’ positive values. The straight line is tangent to the sphere (a = R/2) – a surface which projections are parabolas, lemniscates and circles, and a piece from a tangency point to the sphere center – at radiuses positive values; a beam from the sphere center, perpendicular to this straight line – at radiuses negative values, at that the beam and the piece belong to one straight line. The straight line lies out of the sphere (α > R/2) – two different surfaces, having the general properties with a hyperbolic paraboloid, are obtained, one of which is obtained at radius positive values, and another one – at radius negative values. It has been noticed that loci, equally spaced from a sphere and a straight line, and from a cylinder and a point, coincide at equal radiuses and distances from axes to points and straight lines if to take into account the surfaces obtained both at positive, and negative values of radiuses. Locus, equally spaced from the conic surface of rotation and the plane, are two elliptic conic surfaces which in case 7.4.1 degenerate in the conic surfaces of rotation. In cases 7.4.3 and 7.4.4 one elliptic conic surface degenerates in a plane and a parabolic cylinder respectively.
ВведениеИзучением геометрических мест точек первым занимался в 1941 г. Дмитрий Иванович Каргин (1880–1949) [13; 18; 23]. Изучали геометрические места точек Александр Давидович Посвянский (1909–…) с коллегами [24], Владимир Яковлевич Волков (1946–2017) с коллегами [2; 3], Геннадий Сергеевич Иванов [14–16], он же с коллегами [28; 29], Антон Георгиевич Гирш [9], Н.В. Наумович [21], И.И. Александров [1]. Совсем недавно нам удалось установить — изучал равноудаленные геометрические места в конце 50-х — начале 60-х гг. прошлого века В.В. Глоговский [10–12], особенно отметим его статью «Эквидистанты» [10]. В это же время вышла книга Н.В. Наумович «Геометрические места в пространстве» [21]. Затронули тему геометрических мест точек Марк Яковлевич Выгодский (1898–1965) в своих ставших классическими справочниках по элементарной и высшей математике и в работе [4], а также один из авторов этой публикации [6–8]. На Всероссийском студенческом конкурсе «Инновационные разработки» за одиннадцать лет его существования было заслушано 59 проектов самой разной тематики: 3D-моделирование, элементы САПР, подвижной состав железных дорог, двигатели, турбины, компрессоры и их части, геометрия, энергосберегающие установки, автомобили и другие передвижные средства, сигнализация, солнечные часы, строительство, история науки и техники, методические вопросы преподавания и пр. [5]. Пять из них (8%) — работы по равноудаленным геометрическим местам. Почти все проекты завоевали призовые места. В 2013–2014 гг. — третьи места, в 2017-м — второе и в 2018-м один из авторов этой работы завоевал третье место. Данная статья является продолжением работ «Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1» [6] и «Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2: геометрические места точек, равноудаленных от точки и конической поверхности» [7]. В предлагаемой вашему вниманию работе рассматриваются ГМТ, равноудаленных от: 1) сферы и прямой; 2) конической поверхности и плоскости. Основой для систематизации ГМТ является табл. 1, приведенная в работе [6].
Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями [Текст] / И.И. Александров. - М.: УРСС 2004. - 176 с.Aleksandrov I.I. Sbornik geometricheskih zadach na postroenie s reshenijami [The collection of geometrical tasks on construction with decisions]. Moscow, URSS Publ., 2004. 176 p. (in Russian)Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования [Текст]: учебник / В.Я. Волков - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. - 252 с.Volkov V.Ja. Kurs nachertatel'noj geometrii na osnove geometricheskogo modelirovanija [Course of descriptive geometry on the basis of geometrical modeling]. Omsk, SibADI Publ., 2010. 252 p. (in Russian)Волков В.Я. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику «Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования») [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. - 74 с.Volkov V.Ja., Jurkov V.Ju., Panchuk K.L. Kajgorodtseva N.V. Sbornik zadach i uprazhnenij po nachertatel'noj geometrii [The collection of tasks and exercises on descriptive geometry]. Omsk, SibADI Publ., 2010. 74 p. (in Russian)Выгодский М.Я. Аналитическая геометрия [Текст] / М.Я. Выгодский. - М.: Физматгиз, 1963. - 523 с.Vygodskij M.Ja. Analiticheskaja geometrija [Analytical geometry]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1963. 523 p. (in Russian)Вышнепольский В.И. Всероссийский студенческий конкурс «Инновационные разработки» [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.С. Кадыкова, Н.И. Прокопов // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 4. - С. 69-86. - DOI: 10.12737/22842.Vyshnepol'skij V.I., Kadykova N.S., Prokhorov N.I. Vserossijskij studencheskij konkurs «Innovatsionnye razrabotki» [All-Russian student's competition "Innovative Developments"]. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2016, V. 4, I. 4, pp. 69-86. (in Russian) DOI: 10.12737/22842Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 3. - С. 21-35. - DOI: 10.12737/22842.Vyshnepol'skij V.I., Sal'kov N.A., Zavarihina E.V. Geometricheskie mesta tochek, ravnootstojaschih ot dvuh zadannyh geometricheskih figur. Chast' 1 [Loci, equidistant from two set geometrical figures. Part 1]. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2017, V. 5, I. 3, pp. 21-35. (in Russian). DOI: 10.12737/22842Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2 [Текст] / В.И. Вышнепольский, О.Л. Даллакян, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 4. - С. 15-23. - DOI: 10.12737/22842Vyshnepol'skij V.I., Dallakjan O.L., Zavarihina E.V. Geometricheskie mesta tochek, ravnootstojaschih ot dvuh zadannyh geometricheskih figur. Chast' 2 [Loci, equidistant from two set geometrical figures. Part 2]. Geometrija i grafika [Geometry and Graphics]. 2017, V. 5, I. 4, pp. 15-23. (in Russian). DOI: 10.12737/article_5a17f9503d6f40.18070994.Вышнепольский В.И. Методические основы подготовки и проведения олимпиад по графическим дисциплинам в высшей школе [Текст] / диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / В.И. Вышнепольский. - М., 2000. - 250 с.Vyshnepol'skij V.I. Metodicheskie osnovy podgotovki i provedenija olimpiad po graficheskim distsiplinam v vysshej shkole. Kand. Diss. [Methodical bases of preparation and holding the Olympic Games on graphic disciplines at the higher school. Cand. Diss.]. Moscow, 2000. 250 p.Гирш А.Г. Как решать задачу. Методические указания по решению задач повышенной сложности [Текст] / А.Г. Гирш. - Омск: Изд-во СИБАДИ, 1986. - 36 с.Girsh A.G. Kak reshat' zadachu. Metodicheskie ukazanija po resheniju zadach povyshennoj slozhnosti [How to solve a problem. Methodical indications for the solution of problems of the increased complexity]. Omsk, SibADI Publ., 1986. 36 p. (in Russian)Глоговский В.В. Эквидистанты. Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии [Текст] / В.В. Глоговский // Труды Рижской научно-методической конференции. - Рига: Изд-во РИИГВФ, 1960. - 422 с.Glogovskij V.V. Ekvidistanty. Voprosy teorii, prilozhenij i metodiki prepodavanija nachertatel'noj geometrii [Equidistance. Questions of the theory, applications and technique of teaching descriptive geometry]. Trudy Rizhskoj nauchno-metodicheskoj konferentsii [Works of the Riga scientific and methodical conference.] Riga: RIIGVF Publ., 1960. 422 p. (in Russian)Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института. Серия физ.-мат. - 1955. - Т. 30. - Вып. 1. - С. 72-90.Glogovskij V.V. Nauchnye zapiski L'vovskogo politehnicheskogo instituta [Scientific notes of the Lviv polytechnical institute]. 1955, V. 30, I. 1, pp. 72-90 p. (in Russian)Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института. Серия физ.-мат. - 1956. - Т. 38. - Вып. 2. - С. 72-90.Glogovskij V.V. Nauchnye zapiski L'vovskogo politehnicheskogo instituta [Scientific notes of the Lviv polytechnical institute]. 1956, V. 38, I. 2, 72-90 pp. (in Russian)Елисеев Н.А. Этюды по начертательной геометрии профессора Д.И. Каргина. Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации [Текст] / Н.А. Елисеев // Межвузовский научно-методический сборник. - Саратов: Изд-во СГТУ, 2004. - С. 56-58.Eliseev N.A. Etjudy po nachertatel'noj geometrii professora D.I. Kargina. Sovershenstvovanie podgotovki uchaschihsja i studentov v oblasti grafiki, konstruirovanija i standartizatsii [Etudes on descriptive geometry of professor D.I. Kargin. Improvement of training of pupils and students in the field of graphics, designing and standardization]. Mezhvuzovskij nauchno-metodicheskij sbornik [Interuniversity scientific and methodical collection]. Saratov: SGTU Publ., 2004, 56-58 pp. (in Russian)Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст] / Г.С. Иванов. - 3-е изд. - М: Изд-во МГУЛ, 2012. - 340 с.Ivanov G.S. Nachertatel'naja geometrija [Descriptive geometry]. Moscow, FGBOU VPO MGUL Publ., 2012. 340 p. (in Russian)Иванов Г.С. Принцип двойственности - теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - № 3. - С. 3-10. - DOI: 10.12737/21528.Ivanov G.S. Printsip dvojstvennosti - teoreticheskaja baza vzaimosvjazi sinteticheskih i analiticheskih sposobov reshenija geometricheskih zadach [The principle of duality - the theoretical basis for the relationship of synthetic and analytical methods for solving geometric problems]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 3, pp. 3-10. (in Russian). DOI: 10.12737/21528.Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. - М.: Машиностроение, 1998. - 458 с.Ivanov G.S. Teoreticheskie osnovy nachertatel'noj geometrii [Theoretical foundations of descriptive geometry]. Moscow: Mashinostroenie Publ., 1998. 458 p. (in Russian)Кайгородцева Н.В. Поверхности в начертательной геометрии и логико-геометрическое мышление [Текст] / Н.В. Кайгородцева. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. - 184 с.Kajgorodtseva N.V. Poverhnosti v nachertatel'noj geometrii i logiko-geometricheskoe myshlenie [Surfaces in descriptive geometry and logical-geometric thinking]. Omsk: OmGTU Publ., 2013. 184 p. (in Russian)Каргин Д.И. Этюды по начертательной геометрии. Геометрические места [Текст] / Д.И. Каргин. - ПФА РАН, р. 802, оп. 1, ед. хр. 148, 1939-1940 гг. - 405 л.Kargin D.I. Etjudy po nachertatel'noj geometrii. Geometricheskie mesta [Studies on descriptive geometry. Geometric places]. PFA RAN Publ. (in Russian)Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. - М.: ЛИБРОКОМ, 2010. - 560 с. - 2015 (2-е изд).Krivoshapko S.N. Entsiklopedija analiticheskih poverhnostej [Encyclopedia of analytical surfaces]. Moscow: LIBROKOM Publ., 2010. 560 p. (in Russian)Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий [Текст]: монография / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012. - 328 с.Krivoshapko S.N. Analiticheskie poverhnosti v arhitekture zdanij, konstruktsij i izdelij [Analytical surfaces in the architecture of buildings, structures and products]. Moscow: «LIBROKOM» Publ., 2012. 328 p. (in Russian)Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение [Текст] / Н.В. Наумович. - М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во, 1962. - 152 с.Naumovich N.V. Geometricheskie mesta v prostranstve i zadachi na postroenie [Geometrical places in space and construction tasks]. Moscow: Gos. uchebno-pedagogicheskoe izd-vo, 1962. 152 p. (in Russian)Обухова В.С. Поэтапное моделирование технических поверхностей [Текст] / В.С. Обухова // Реферативная информация о законченных научно-исследовательских работах в вузах Украинской ССР: Прикладная геометрия и инженерная графика. - Вып. 1. - Киев: Вища школа, 1977. - С. 5-6.Obuhova V.S. Poetapnoe modelirovanie tehnicheskih poverhnostej [Phased modeling of technical surfaces]. Referativnaja informatsija o zakonchennyh nauchno-issledovatel'skih rabotah v vuzah Ukrainskoj SSR: Prikladnaja geometrija i inzhenernaja grafika [Abstract information about completed research works in universities of the Ukrainian SSR: Applied Geometry and Engineering Graphics]. Kiev: Vischa shkola Publ., 1977, I. 1, pp. 5-6. (in Russian)Павлов В.Е. Дмитрий Иванович Каргин, 1880-1949 / В.Е. Павлов, Б.Ф. Тарасов. - СПб.: Наука, 1998. - 272 с.Pavlov V.E. Dmitrij Ivanovich Kargin, 1880-1949 [Dmitry Ivanovich Kargin, 1880-1949]. St. Petersburg: Nauka Publ., 1998. 272 p. (in Russian)Посвянский А.Д. Пятьдесят задач повышенной трудности [Текст] / А.Д. Посвянский. - Калинин: Изд-во КПИ, 1970. - 41 с.Posvjanskij A.D. Pjat'desjat zadach povyshennoj trudnosti [Fifty problems of increased difficulty]. Kalinin: KPI Publ., 1970. 41 p. (in Russian)Сальков Н.А. Начертательная геометрия: базовый курс [Текст]: учеб. пособие / Н.А. Сальков. - М.: ИНФРА-М, 2013. - 184 с.Sal'kov N.A. Nachertatel'naja geometrija: bazovyj kurs [Descriptive geometry: the basic course]. Moscow: INFRA-M Publ., 2013. 184 p. (in Russian)Сальков Н.А. Начертательная геометрия - база для компьютерной графики [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 2. - С. 37-47. - DOI: 10.12737/19832.Sal'kov N.A. Nachertatel'naya geometriya - baza dlya komp'yuternoj grafiki [Descriptive geometry - the basis for computer graphics]. Geometriya i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 2, pp. 37-47. (in Russian)Сальков Н.А. Начертательная геометрия - теория изображений [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. - 2016. - Т. 4. - №. 4. - С. 41-47. - DOI: 10.12737/22842.Sal'kov N.A. Nachertatel'naja geometrija - teorija izobrazhenij [Descriptive geometry - the theory of images]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2016, V. 4, I. 4, pp. 41-47. (in Russian). DOI: 10.12737/22842.Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. - 2013. - Т. 1. - № 3-4. - С. 8-12. - DOI: 10.12737/2124.Seregin V.I. Mezhdistsiplinarnye svjazi nachertatel'noj geometrii i smezhnyh razdelov vysshej matematiki [Interdisciplinary communication descriptive geometry and related sections of higher mathematics]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2013, V. 1, I. 3-4, pp. 8-12. (in Russian). DOI: 10.12737/2124.Серегин В.И. Научно-методические вопросы подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. - 2017. - Т. 5. - № 1. - С. 73-81. - DOI: 10.12737/25126.Seregin V.I. Nauchno-metodicheskie voprosy podgotovki studentov k olimpiadam po nachertatel'noj geometrii [Scientific and methodological issues of preparing students for olympiads in descriptive geometry]. Geometrija i grafika [Geometry and graphics]. 2017, V. 5, I. 1, pp. 73-81. (in Russian). DOI: 10.12737/25126.