Vestnik of Don State Technical UniversityVestnik of Don State Technical UniversityВестник Донского государственного технического университета1992-5980270010.12737/4547Математические и естественные наукиMathematical and Natural SciencesМатематические и естественные наукиAxisymmetric bending of circular sandwich plate on elastic foundation with complicated structureОсесимметричный изгиб круглой многослойной пластины на упругом основании сложной структурыМелконянАветик ВардановичMelkonyanAvetik Вардановичavetikmelkonyan@gmail.comАйзиковичСергей МихайловичAyzikovichSergey Михайловичsaizikovich@gmail.comВолковСергей СергеевичVolkovSergey Сергеевичfenix_rsu@mail.ru0606201406062014142https://zh-szf.ru/en/nauka/article/2700/view
Получено в аналитическом виде приближенное решение задачи об изгибе круглой многослойной пластины постоянной толщины, лежащей на упругом основании сложной структуры. Пластина изгибается под действием осесимметричной распределенной нагрузки и реакции со стороны основания. Упругое основание представляет собой непрерывно-неоднородный по толщине слой (покрытие), лежащий на однородном полупространстве (подложке). Модуль Юнга в зоне сопряжения покрытия и подложки имеет существенный скачок. Для пластины рассмотрены два случая граничных условий: условия закрепленного и свободного края. Построенное приближенное аналитическое решение задачи эффективно в широком диапазоне как геометрических параметров (толщина неоднородного слоя и радиус пластины), так и физических параметров (гибкость пластины и упругие свойства покрытия и подложки). Методом интегральных преобразований контактная задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений. Полученные формулы могут быть использованы для расчета характеристик контактного взаимодействия многослойной пластины с основанием сложной структуры в зависимости от граничных условий и характера нагрузки на пластину.
The approximate closed-form solution to the problem on a circular multilayer (sandwich) constant-thickness plate bending on an elastic foundation with a complicated structure is obtained. The plate is bent under the axisymmetric distributed load, and the foundation reaction. The elastic foundation is a uniformly irregular in thickness layer (coating) based on a homogeneous half-space (substrate). Young’s modulus value at the interface of the coating and the substrate has a significant leap. Two different cases of the boundary conditions are considered for the plate: fixed and free edge conditions. The constructed approximate analytical solution to the problem is effective for a wide range of both geometric (the inhomogeneous layer thickness and the plate radius) and physical parameters (plate flexibility, and elastic properties of the coating and the substrate). The contact problem is reduced to the system of the integro-differential equation solution through the integral transformation method. The obtained formulas can be used for calculating the contact interaction characteristics between a multilayer plate and a foundation with a complex structure in various cases of the boundary conditions, and various loads applied to the plate.
УДК 539.3 Осесимметричный изгиб круглой многослойной пластины на упругом основании сложной структуры[1] С. М. Айзикович, С. С. Волков, А. В. Мелконян Получено в аналитическом виде приближенное решение задачи об изгибе круглой многослойной пластины постоянной толщины, лежащей на упругом основании сложной структуры. Пластина изгибается под действием осесимметричной распределенной нагрузки и реакции со стороны основания. Упругое основание представляет собой непрерывно-неоднородный по толщине слой (покрытие), лежащий на однородном полупространстве (подложке). Модуль Юнга в зоне сопряжения покрытия и подложки имеет существенный скачок.Для пластины рассмотрены два случая граничных условий: условия закрепленного и свободного края. Построенное приближенное аналитическое решение задачи эффективно в широком диапазоне как геометрических параметров (толщина неоднородного слоя и радиус пластины), так и физических параметров (гибкость пластины и упругие свойства покрытия и подложки). Методом интегральных преобразований контактная задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений. Полученные формулы могут быть использованы для расчета характеристик контактного взаимодействия многослойной пластины с основанием сложной структуры в зависимости от граничных условий ихарактера нагрузки на пластину. [1] Результаты работы получены при выполнении проекта, поддержанного грантом РФФИ № 13-08-90916-мол_ин_нр
Hager, A. M. Short-Fibre Reinforced, High-Temperature Resistant Polymers for a Wide Field of Tribological Applications / A. M. Hager, M. Davies // Advances in Composite Tribology / под ред. K. Friedrich. - Амстердам : Elsevier, 1993. - С. 107-157.Hager, A.M., Davies, M. Short-Fibre Reinforced, High-Temperature Resistant Polymers for a Wide Field of Tribological Applications. In K. Friedrich, ed.: Advances in Composite Tribology, Amsterdam, 1993, pp. 107-157.Friedrich, K. Wear of polymer composites / K. Friedrich, R. Reinicke, Z. Zhang // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology. - 2002. - Т. 216, вып. 6. - С. 415-426.Friedrich, K., Reinicke, R., Zhang, Z. Wear of polymer composites. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology, 2002, vol. 216, iss. 6, pp. 415-426.Моделирование фрикционного взаимодействия композиционных покрытий триботехнического назначения / И. Г. Горячева [и др.] // Трение и износ. - 2012. - Т. 33, № 6. - С. 557-565.Goryacheva, I.G., Myshkin, N.K., Torskaya, E.V., Kornev, Y.V., Gutsev, D.M., Kudritskiy, V.G., Kovaleva, I.N. Modelirovaniye friktsionnogo vzaimodeystviya kompozitsionnykh pokrytiy tribotekhnicheskogo naznacheniya. [Modeling friction of tribological composite coatings.] Journal of Friction and Wear, 2012, vol. 33, no. 6, pp. 407-414 (in Russian).Васильев, А. С. Кручение упругого полупространства с многослойным покрытием периодической структуры / А. С. Васильев, Е. В. Садырин, М. Е. Васильева // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 5-6. - С. 6-13.Vasilyev, A.S., Sadyrin, E.V., Vasilyeva, M.E. Krucheniye uprugogo poluprostranstva s mnogosloynym pokrytiyem periodicheskoy struktury. [Torsion of elastic half-space with multilayered coating of periodic structure.] Vestnik of Don State Technical University, 2013, no. 5-6, pp. 6-13 (in Russian).Горбунов-Посадов, М. И. Расчет балок и плит на упругом полупространстве // Прикладная математика и механика. - 1940. - Т. 4, вып. 3. - С. 61-80.Gorbunov-Posadov, M.I. Raschet balok i plit na uprugom poluprostranstve. [Calculation of beams and plates on an elastic half-space.] Prikladnaya matematika i mekhanika [Journal of Applied Mathematics and Mechanics], 1940, vol. 4, iss. 3, pp. 61-80 (in Russian).Ишкова, А. Г. Об изгибе полосы и круглой пластины, лежащих на упругом полупространстве // Инженерный сборник. - 1960. - Т. 23. - С. 171-181.Ishkova, A.G. Ob izgibe polosy i krugloy plastiny, lezhashchikh na uprugom poluprostranstve. [A strip and a circular plate bending on an elastic half-space.] Inzhenernyy sbornik, 1960, vol. 23, pp. 171-181 (in Russian).Гребенщиков, В. Н. Расчет круглой пластинки на упругом полупространстве // Теория расчета и надежность приборов : сб. трудов II Саратовской обл. конф. молодых ученых. - 1969. - С. 48-51.Grebenschikov, V.N. Raschet krugloy plastinki na uprugom poluprostranstve [Calculation of circular plate on elastic half-space.] Teoriya rascheta i nadejnost’ priborov : sb. trudov II Saratovskoy obl. konf. mol. uchenyh [Theory of calculation and reliability of devices : Proc. II Young Scientists Conf.] Saratov, 1969, pp. 48-51 (in Russian).Александров, В. М. Универсальная программа расчета изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании / В. М. Александров, Л. С. Шацких // Труды 7-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Днепропетровск, 1969. - Москва : Наука, 1970. - С. 46-51.Aleksandrov, V.M., Shatskikh, L.S. Universalnaya programma rascheta izgiba balochnyh plit na lineino-deformiruemom osnovanii. [Universal program for calculation of plate bending on linear deformable foundation.] Trudy 7 Vsesoyuznoi conferencii po teorii obolochek i plastinok. [Proc. VII All-Soviet Conference on Theory of Plates and Shells. Dnepropetrovsk, 1969.] Moscow, 1970, pp. 46-51 (in Russian).Шацких, Л. С. К расчету изгиба плиты на упругом слое // Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела. - 1972. - № 2. - С. 170-176.Shatskikh, L.S. K raschetu izgiba plity na uprugom sloe. [About a plate bending on an elastic layer.] Izv. Akad. Nauk SSSR, Mekh. Tverd. Tela [Mechanics of Solids], 1972, vol. 2, pp. 170-176 (in Russian).Александров, В. М. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, И. И. Ворович, М. Д. Солодовник // Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела. - 1973. - № 4. - С. 129-138.Aleksandrov, V.M., Vorovich, I.I., Solodovnik, M.D. Effektivnoe reshenie zadachi o cilidricheskom izgibe plastinki konechnoy shiriny na uprugom poluprostranstve. [Effective solution of problems on cylindrical bending of plates of finite width on an elastic half-space.] Izv. Akad. Nauk SSSR, Mekh. Tverd. Tela [Mechanics of Solids], 1973, vol. 4, pp. 129-138 (in Russian).Александров, В. М. Асимптотическое решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, М. Д. Солодовник // Прикладная механика. - 1974. - Т. 10, вып. 7. - С. 77-83.Aleksandrov, V.M., Solodovnik, M.D. Asymptotic problem of the cylindrical bending of a plate of finite breadth in an elastic half-space. Soviet Applied Mechanics, 1974, vol. 10, iss. 7, pp. 749-754 (in Russian).Босаков, С. В. К решению контактной задачи для круглой пластинки / С. В. Босаков // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т. 72, № 1. - С. 59-61.Bosakov, S.V. K resheniyu kontaktnoy zadachi dlya krugloy plastinki. [The solution of the contact problem for a circular plate.] Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2008, vol. 72, no. 1, pp. 59-61 (in Russian).Kashtalyan, M. Effect of a functionally graded interlayer on three-dimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading / M. Kashtalyan, M. Menshykova // Composite Structures. - 2009. - Т. 89, № 2. - С. 167-176.Kashtalyan, M., Menshykova, M. Effect of a functionally graded interlayer on three-dimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading. Composite Structures, 2009, vol. 89, iss. 2, pp. 167-176.Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates / M. Kashtalyan // European Journal of Mechanics A/Solids. - 2004. - Т. 23. - № 5. - С. 853-864.Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates. European Journal of Mechanics A/Solids, 2004, vol. 23, iss. 5, pp. 853-864.Silva, A. R. D. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations / A. R. D. Silva, R. A. M. Silveira, P. B. Goncßalves // International Journal of Solids and Structures. - 2001. - Т. 38, № 10-13. - C. 2083-2100.Silva, A.R.D., Silveira, R.A.M., Goncalves, P.B. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations. International Journal of Solids and Structures, 2001, vol. 38, iss. 10-13, pp. 2083-2100.Митрин, Б. И. Распределение контактных напряжений под круглой пластиной, лежащей на мягком слое / Б. И. Митрин, С. С. Волков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. - 2013. - № 5-6. - С. 14-25.Mitrin, B.I., Volkov, S.S. Raspredeleniye kontaktnykh napryazheniy pod krugloy plastinoy, lezhashchey na myagkom sloye. [Contact stress distribution under circular plate on a soft layer.] Vestnik of Don State Technical University, 2013, no. 5-6, pp. 14-24 (in Russian).Айзикович, С. М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. - 1990. - Т. 54, вып. 5. - С. 872-877.Aizikovich, S.M. Asimptoticheskoye resheniye odnogo klassa parnykh uravneniy. [An asymptotic solution of a class of coupled equations.] Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1990, vol. 54, iss. 5, pp. 719-724(in Russian).Лурье, А. И. Теория упругости. - Москва : Наука, 1970. - 824 с.Lourie, A.I. Teoriya uprugosti. [Theory of Elasticity.] Moscow, 1970, 824 p. (in Russian).Белубекян М. В. К вопросу колебаний неоднородной по толщине пластинки / М. В. Белубекян // Известия национальной академии наук Армении. Механика. - 2002. - Т. 55, № 3. - С. 34-41.Belubekyan, M.V. K voprosu kolebaniy neodnorodnoy po tolshchine plastinki. [On the problem of vibration of the plate with nonuniform thickness.] Izvestiya natsionalnoy akademii nauk Armenii. Mekhanika.[Mechanics. Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia], 2002, vol. 55, no. 3, pp. 34-41 (in Russian).Цейтлин, А. И. Об изгибе круглой плиты, лежащей на линейно деформируемом основании / А. И. Цейтлин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1969. - № 1. - С. 99-112.Tseitlin, A.I. Ob izgibe krugloy plity, lejaschey na lineyno-deformiruemom osnovanii. [Bending of a circular plate lying on a linearly deformable foundation.] Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela. [Mechanics of Solids] 1969, vol. 1, pp. 99-112 (in Russian).Айзикович, С. М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство / С. М. Айзикович, В. М. Александров // Известия АН СССР. Механика твердого тела. - 1984. - Т. 19, № 2. - С. 73-82.Aizkovich, S.М., Aleksandrov, V.M. Osesimmetricheskaya zadacha o vdavlivanii kruglogo shtampa v uprugoye, neodnorodnoye po glubine poluprostranstvo. [Axially symmetric problem of the indentation of a circular die into an elastic nonuniform in depth half-space.] Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela. [Mechanics of Solids] 1984, vol. 19, iss. 2, pp. 73-82 (in Russian).Айзикович, С. М. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. - 1995. - Т. 59, вып. 4. - С. 688-697.Aizikovich, S.M. Asimptoticheskoye resheniye zadachi o vzaimodeystvii plastiny s neodnorodnym po glubine osnovaniyem. [Asymptotic solution of the problem of the interaction of a plate with an inhomogeneous in depth foundation.] Prikladnaya matematika i mekhanika. [Journal of Applied Mathematics and Mechanics] 1995, vol. 59, iss. 4, pp. 661-669, (in Russian).