ВведениеВ современных условиях сложилось несколько подходов к классификации методов принятия управленческих решений (МПУР) в менеджменте, которые нашли отражение в трудах Анискина Ю.П. [1], Балдина К.В., Воробьева С.Н., Уткина В.Б. [2], Виханского О.С., Наумова А.И. [3], Гапоненко Т.В. [4], Давенкова А.С. [5], Карданской  Н.Л. [6],  Лафта Д. [7], Литвака Б.Г. [8], Майданчика Б.И., Карпунина М.Б., Любенецкого Л.Г. [9], Тебекина А.В. [10, 11], Токарева В.В. [12], Трофимовой Л.А., Трофимова В.В. [13],  Уткин Э.А. [14], Фатхутдинова Р.А. [15], Фирсовой И.А. [16], Цыгичко В.Н. [17], Чавкина А.М. [18],  Черняк В.З. [19], Юкаевой В.С., Зубаревой Е.В., Чувиковой В.В. [20] и др.Итоги обобщения известных способов классификации МПУР в менеджменте, выполненные в работе [11], приведены в табл. 1.Таблица 1 Результаты обобщения известных способов классификации МПУР по различным признакам№Признак классификации Область распространения методов принятия управленческих решений1Период времени, на который рассчитано влияние управленческого решенияСтратегические, тактические, оперативные2Масштабы объекта, на которые распространяется управленческое решениеГосударство, регион, отрасль, предприятие, подразделение и т.д. 3Признак периода исполнения управленческих решенийС мгновенным, краткосрочным, среднесрочным и долгосрочным периодами исполнения4Признак функционального назначения управленческих решенийМаркетинговые, планирования, организации, регулирования, контроля, координации, корректировки, мотивации и т.д.5Признак направленности воздействия управленческих решенийНа внутреннюю сферу организации, на внешнее пространство6Признак обязательности решений для исполненияДирективные, рекомендательные, ориентирующие решения и т.д.7Признак степени запрограммированности управленческих решенийПолностью запрограммированные, частично программируемые и незапрограммированные управленческие решения8Признак области применения управленческих решенийУправленческие решения в сфере производства, НИОКР, развития инфраструктуры, снабжения, внутрифирменной логистики, сбыта, финансов, управления персоналом, управления качеством и т.д.9Признак количества и качества исходной информации для принятия решений Количественное представление исходной информации для принятия решений (полное или неполное), качественное представление исходной информации для принятия решений10Признак времени, отводимого на принятие управленческих решенийДостаточное, ограниченное, дефицитное 11Признак числа лиц, принимающих управленческие решенияЕдиноличное, коллегиальное, коллективное решение12Признак этапа принятия управленческих решенийМетоды диагностики проблем, методы генерации альтернативных вариантов решений, методы оценки альтернатив и выбора рационального варианта решения13Признак способа (основания) выработки управленческих решенийНа основе здравого смысла, на основе опыта, на основе интуиции, на основе научного обоснования и др. Без сомнений, наибольший интерес представляет классификация научно обоснованных МПУР.В авторской классификации научно обоснованных МПУР, насчитывающей более тридцати классов методов, и описанной в работе [21], особое место занимают методы на основе оптимизации показателей эффективности. Исследование состава групп методов на основе оптимизации показателей эффективности, выполненное в работе [22], и представленное на рис. 1, показало, что важное место в них занимают методы теории игр. Наряду с подгруппами методов программирования (линейного, нелинейного, динамического) (рис. 1), подробно рассмотренных в работе [23], важное место в составе методов принятия управленческих решений на основе оптимизации показателей эффективности занимают методы теории игр.  Методы теории игр нашли широкое применение в принятии управленческих решений в условиях конкурентной рыночной среды.   Общая классификация группы методов теории игр в составе МПУР на основе оптимизации показателей эффективности, выполненная в работе [24], представлена в табл. 2.Таблица 2Классификация группы методов теории игр в составе МПУР на основе оптимизации показателей эффективности№Признак группы методовСостав методов в группе1КооперацииКооперативная играНекооперативная играГибридная игра2СимметрииСимметричная играАсимметричная игра3Значение суммыИгра с нулевой суммойИгра с ненулевой суммой4Параллельность, либо последовательность решенияПараллельная играПоследовательная игра5Полнота информацииИгра с полной информациейИгра с неполной информацией6Конечность числа шагов игрыИгры с конечным числом шаговИгры с бесконечным числом шагов7Непрерывность игр Дискретные игрыНепрерывные игры8Чистота стратегийИгры в чистых стратегияхИгры в смешанных стратегиях9Вид функции выигрыша Матричная играБиматричная играНепрерывная играВыпуклая играСепарабельная играИгры типа дуэлей Общая характеристика методов теории игр в составе методов принятия управленческих решений, классифицируемых по признаку кооперации, приведена в работе [25]. В этой же работе подробно рассмотрены возможности и ограничения кооперативных игр, где показаны известные сложности обеспечения надежности соблюдения договоренностей участников коалиций, начиная от решения задач управления в рамках международных союзов (ЕС, НАТО, ОПЕК), и заканчивая соблюдением коалиционных договоренностей при управлении реализацией цифровых прав, например, в сфере криптовалют, распределенных баз данных (блокчейнов) и т.д. [25].  Данное исследование посвящено более подробному рассмотрению подгруппы методов некооперативных игр (НКИ), выделяемых в системе методов теории игр по признаку кооперации (табл. 2).Общие аспекты методов НКИ получили в работах таких авторов, как Винстон У. [30], Воробьева Н.Н. [31], Зенкевича Н.А., Марченко И.В. [32], Кремера Н.Ш., Путко Б.А., Тришина И.М., Фридмана М.Н. [33], Мулена Э.  [34], Тахи Х.А. [35], Шагина В.Л. [36] и др. В данном исследовании основное внимание уделено рассмотрению прикладных аспектов принятия управленческих решений с использованием методов НКИ.НКИ в отличие от кооперативных игр всегда присутствуют в решении задач в конкурентной среде, поскольку любые кооперации имеют множество ограничений, чем во многом осложняют поиск оптимального решения при отсутствии (исчезновении, нарушении и т.д.) кооперации.    НКИ представляет собой математическую модель взаимодействия нескольких игроков, в процессе которого они не могут формировать коалиции и не координируют свои действия.Таким образом, нормальная форма НКИ описывает такие автономные действия игроков, которые не предусматривают возможности накопления информации о действиях друг друга, выстраивания последовательности ходов, а также циклически повторяющихся действий игрока, а уж тем более взаимодействий игроков. Тем не менее, характеристика действий отдельного игрока в НКИ может быть представлена в развернутой форме деревом (древом) игры (рис. 3), именуемым также ориентированным деревом.Ствол дерева НКИ представляет собой исходные позиции игроков, определяющие дальнейший характер игры.Ветви дерева НКИ демонстрируют возможные стратегии игроков, во много определяемые их исходными позициями (стволом дерева).Листья дерева НКИ, «растущие» на ветвях, фактически олицетворяют собой выигрыши игроков, соответствующие тем или иным комбинациям стратегий.Совокупность начальных и промежуточных позиций НКИ часто рассматривается как множество нетерминальных позиций. Исходные положения НКИ заключаются в следующем.Во-первых, для каждой вершины , соответствующей нетерминальной позиции, определен  -ый игрок, совершающий в ней ход и множество ходов   -ого игрока . Во-вторых, каждому ходу -ого игрока  соответствует ребро, выходящее из вершины .В-третьих, с учётом неполноты и недостаточной достоверности информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества.В-четвертых, для каждой вершины , соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша каждого -ого игрока .Порядок реализации НКИ включает следующие этапы.Во-первых, игрок определяет собственные исходные позиции в игре.Необходимо отметить, что при всей очевидности указанной задачи именно адекватность и точность определения игроком собственных исходных позиций в игре является одним из важнейших условий правильного принятия управленческих решений в НКИ.Во-вторых, находясь в любой нетерминальной позиции (вершине ), игрок, имеющий право хода, выбирает ход (стратегию) . В результате игра переходит в следующую фазу, в которую входит ребро, соответствующее ходу .В-третьих, если позиция, в которую попадает игра после хода , оказывается нетерминальной, то игрок еще раз использует право своего хода.В-четвертых, после того как игра попадает в терминальную позицию , то игра завершается тем, что все игроки получают выигрыши .Практический интерес представляет рассмотрение принципов оптимальности для НКИ.Базовым принципом определения оптимальной стратегий для НКИ, описанных в нормальной форме, является равновесие Джона Нэша.Равновесие Дж. Нэша представляет собой концептуальное стратегическое решение в теории игр, согласно которому определяется набор стратегий в игре нескольких игроков, при котором ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш, изменив собственную стратегию игры, если другие игроки при этом не меняют своих стратегий [26]. Дж. Нэш доказал существование такого равновесия в любой игре с конечным исходом, реализуемой в смешанных стратегиях.Но основе принципа равновесия Дж. Нэша было разработано целое семейство принципов, часто именуемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements). Соотношение стратегий в семействе равновесных решений Дж. Нэша при движении от рафинированных стратегий к менее требовательным представлено на рис. 4 [27]. Характеристики наиболее распространенных принципов равновесных решений в НКИ из их семейства, основанного на равновесии Дж. Нэша, приведены в табл. 3.Таблица 3Характеристики наиболее распространенных принципов равновесных решений в НКИ из их семейства, основанного на равновесии Дж. Нэша№Название принципаОбщая характеристика принципаФормальное определение принципаУсловие существования принципа1Равновесие дрожащей руки (англ. trembling hand perfect equilibrium) Принцип оптимальности, представляющий собой равновесие Дж. Нэша, обладающее дополнительным свойством устойчивости к достаточно малым отклонениям игроков от равновесных стратегий [28]Для заданной игры в нормальной формеΓ =< I , { X i } i ∈ I , { H i } i ∈ I > {\displaystyle \Gamma =<I,\{X_{i}\}_{i\in I},\{H_{i}\}_{i\in I}>}  набор смешанных стратегий игроков q называется равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий {pε} → q, что стратегия qi является наилучшим ответом игрока i на стратегии остальных игроков из набора pε. Как и равновесие Дж. Нэша, являющееся надмножеством равновесия дрожащей руки, само равновесие дрожащей руки  существует в смешанном расширении в любой НКИ с конечными множествами стратегий игроков2Собственное равновесие Отражает принцип оптимальности в НКИ, представляющий собой сужение (подмножество) равновесия дрожащей руки, обоснованный  Р. Майерсоном [29], и основанный на предположении, что более затратные отклонения от равновесных стратегий возникают со значительно меньшей вероятностью, нежели менее затратные. Для заданной игры в нормальной форме Γ =< I , { X i } i ∈ I , { H i } i ∈ I > {\displaystyle \Gamma =<I,\{X_{i}\}_{i\in I},\{H_{i}\}_{i\in I}>} и параметра ε > 0, профиль вполне смешанных стратегий называется ε-собственным, если выполнено следующее условие: для двух чистых стратегий игрока i, x&#39;, x&#39;&#39; ∈ Xi, таких, что его ожидаемый выигрыш при использовании стратегии x&#39; меньше, нежели при использовании x&#39;&#39;, вероятность использования x&#39; не превышает εp, где p – вероятность использования чистой стратегии x&#39;&#39;. Профиль стратегий в игре называется собственным равновесием, если он является пределом при ε→0 последовательности ε-собственных вполне смешанных профилей стратегий 3Сильное равновесие Представляет собой принцип оптимальности, именуемый также очищением равновесия Дж. Нэша, при котором устойчивость ситуации в игре, связанная с индивидуальными отклонениями участников от выбранных стратегий, требует также устойчивости к групповым отклонениям от выбранных стратегийДля игры, заданной в нормальной форме  , где I – множество участников игры; Si – множество стратегий участника ,Hi – функция выигрыша i-го участника,  Γ = 〈 I , { X i } i ∈ I , { H i } i ∈ I 〉 {\displaystyle \Gamma =\langle I,\{X_{i}\}_{i\in I},\{H_{i}\}_{i\in I}\rangle } ситуация  называется  x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}  сильным равновесием игры , если для любой коалиции игроков S ⊆ I {\displaystyle S\subseteq I} и для любого набора стратегий { y s ; s ∈ S } {\displaystyle \{y_{s};s\in S\}} найдётся участник коалиции S такой, что величина выигрыша i-го участника в  Γ = 〈 I , { X i } i ∈ I , { H i } i ∈ I 〉 {\displaystyle \Gamma =\langle I,\{X_{i}\}_{i\in I},\{H_{i}\}_{i\in I}\rangle } ситуации  будет выше, чем величина выигрыша этого же игрока при отклонении его стратегии от ситуации : .H i ( x ) > H i ( x − S , y S ) . {\displaystyle H_{i}(x)>H_{i}(x_{-S},y_{S}).} Сильное равновесие всегда Парето-эффективно, но на практике встречается гораздо реже, чем равновесие Дж. Нэша. Менее универсальные и, соответственно, менее распространенные, специализированные принципы принятия управленческих решений в НКИ, основанные на равновесии Дж. Нэша, представлены в табл. 4.Таблица 4Специализированные принципы принятия управленческих решений в НКИ, основанные на равновесии Дж. Нэша№Название принципаОбщая характеристика принципаФормальное определение принципаУсловие существования принципа1ε-равновесиеЭпсилон-равновесие в теории игр характеризует профиль стратегий игроков НКИ, приблизительно удовлетворяющий условиям равновесия Дж. НэшаДля заданной НКИ и неотрицательного действительного параметра ε, профиль стратегий называется ε-равновесием, если ни один игрок не может, изменяя свою стратегию, достичь увеличения своего ожидаемого выигрыша более чем на εЛюбое равновесие Дж. Нэша представляет собой ε-равновесие для ε = 0.Понятие ε-равновесия используется в теории стохастических игр с неограниченным числом повторений2Равновесие в доминирующих стратегияхЭто принцип оптимальности, используемый в теории игр при решении НКИ, содержащих доминирующие стратегииЕсли в игре, заданной в нормальной форме Γ=<I,{Si}i∈I,{ui}i∈I> каждый игрок имеет доминирующую стратегию s∗i∈Si, то ситуация s∗=(s∗i)i∈I, образованная выбором этих стратегий всеми игроками, образует равновесие в доминирующих стратегияхРавновесие в доминирующих стратегиях является равновесием Дж. Нэша. Кроме того, если стратегии в игре являются строго доминирующими, то такое равновесие в игре единственно. Если доминирование нестрогое, то помимо равновесия в доминирующих стратегиях, в игре могут существовать и другие равновесия Дж. Нэша3Решение игры по доминированиюЕсли одна стратегия всегда приносит игроку больший выигрыш, чемдругая, то мы говорим о сильном доминировании. Если в НКИ у игрока есть однастратегия, которая сильно или слабо доминирует все остальные, то с большой долей вероятностиможно ожидать, что он реализует именно эту стратегию.Если такая стратегия есть у каждого игрока, то итогом является  решениеигры – прогноз относительно того, какие стратегии реализует  каждый игрокЕсли в игре, заданной в нормальной форме вида Γ=<I,{Si}i∈I,{ui}i∈I>  для игрока i  стратегия   сильно доминирует стратегию ,если для всех стратегий  выполняется условие строго предпочтения выигрыша  (*).Стратегия   слабо  доминирует стратегию ,если для всех стратегий  выполняется условие нестрогого предпочтения выигрыша  (**), а хотя бы для одной из стратегий  дополнительно выполняется условие (*) Ни один игрок не станет выбирать другую  стратегию, если уже выбранная  стратегия при любых вариацияхприносит ему больший выигрыш 4Равновесие в осторожных стратегияхСтратегия осторожного поведения в НКИ – это такая стратегия игрока, которая гарантирует ему определенную величину выигрыша независимо от выбора (хода) другого игрока.   Осторожную стратегию называют максиминной, поскольку она рассчитывается посредством нахождения максимального значения из нескольких минимальных значений.   Осторожная стратегия первого игрока определяется тем, что в каждой строке матрицы его выигрышей он находит элемент с минимальным значением, а затем из таких минимальных элементов выбирает максимальный. Этот выбор именуется максимином первого игрока. А строка матрицы выигрышей, на которой расположен максимин первого игрока, называется его  осторожной стратегией. Поиск осторожной стратегии второго игрока по аналогии заключается в поиске этим игроком в каждом столбце матрицы его выигрышей  элемента с минимальным значением, а затем в выборе из таких минимальных элементов максимального значения. Столбец матрицы выигрышей, в котором расположен максимин второго игрока, соответствует его осторожной стратегии.  Рассмотрим примеры реализации специализированных принципов принятия управленческих решений в НКИ, основанные на равновесии Дж. Нэша, представленных в табл. 4.Поскольку ε-равновесия (табл. 4) используются в теории стохастических игр с неограниченным числом повторений, в качестве примера его реализации можно рассмотреть НКИ «Орлянка». В этой игре игроки, предварительно выбрав сторону монеты, подбрасывают ее. При этом выигравшим считается тот игрок, который угадал сторону монеты.Очевидно, что при большом числе повторений игры, выигрыши обоих игроков будут стремиться к нулю, поскольку вероятность падения монеты орлом или решкой при стремлении повторений игры к бесконечности составит 50% на 50%. Для любого ε > 0 и профиля стратегий, при котором первый игрок на любом шаге игры, независимо от предыстории,  называет «орел» с вероятностью ε и «решку» с вероятностью 1-ε, является ε-равновесием в этой игре. Ожидаемый выигрыш первого игрока при этом не менее 1-ε. Однако, ни одна стратегия первого игрока не может гарантировать выигрыш, равный 1.             Пример равновесия в доминирующих стратегиях (табл. 4) приведен в табл. 5.Таблица 5 Пример равновесия в доминирующих стратегиях  Стратегии второго игрока  АВСтратегии первого игрокаА1,10,0В0,00,0 В этом примере, представленном в табл. 5,  стратегии А обоих игроков слабо доминируют над стратегиями B. Ситуация (А, А) в  игре является равновесием в доминирующих стратегиях. Однако, и ситуация (В, В) в данной игре также является равновесием Дж. Нэша, но не доминирующим.Классическим примером игры по доминированию в НКИ (табл. 4) является игра «дилемма» заключённого. Условия этой игры таковы. Двое преступников – А и Б – попались по подозрению в совершении преступления. Есть основания полагать, что они действовали в сговоре и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а тот (другой) хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный срок лишения свободы (10 лет). Если оба молчат, их деяние проходит по более лёгкой статье, и каждый из них приговаривается к году тюрьмы. Если оба свидетельствуют друг против друга, они получают минимальный срок (по 3 года). Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой. Возможные исходы игры приведены в табл. 6.Таблица 6Варианты игры в «дилемме» заключённого Заключённый Б хранит молчаниеЗаключённый Б даёт показанияЗаключённый А хранит молчаниеОба получают по году тюрьмыА получает 10 лет,Б освобождаетсяЗаключённый А даёт показанияА освобождается,Б получает 10 лет тюрьмы.Оба получают по 3 года  тюрьмы. Дилемма появляется, если предположить, что оба заботятся только о минимизации собственного срока заключения. Представим рассуждения одного из узников (причем любого). Если партнёр молчит, то лучше его предать и выйти на свободу (иначе – год тюрьмы). Если партнёр свидетельствует, то лучше тоже свидетельствовать против него, чтобы получить 3 года (иначе – 10 лет) тюрьмы. Таким образом, стратегия «свидетельствовать» против подельника строго доминирует над стратегией «молчать». Аналогично другой узник приходит к тому же выводу. С точки зрения группы (этих двух узников) лучше всего сотрудничать друг с другом, хранить молчание и получить по году тюрьмы, так как это уменьшит суммарный срок заключения. Любое другое решение будет менее выгодным. Это очень наглядно демонстрирует, что в игре с ненулевой суммой Парето-оптимум может быть противоположным равновесию Дж. Нэша. Но это при условии, что преступники объединятся в группу.            Говоря о равновесии в осторожных стратегиях, необходимо отметить, что каждый игрок может иметь несколько осторожных стратегий, но все они характеризуются одним значением максимина (стратегия максимального минимума) или гарантированного выигрыша.Надо отметить, что осторожные стратегии существуют в любой матричной игре. Для выявления осторожной стратегии игрока достаточно проанализировать матрицу его выигрышей. Матрица выигрышей другого игрока при этом не используется. Эта особенность является общей для нерационального и осторожного поведения игроков в НКИ.Если говорить о НКИ в развернутой форме, то в них также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Дж. Нэша, но дополнительно учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К таким играм относятся: равновесие по под-играм, секвенциальное равновесие, сильное секвенциальное равновесие.Таким образом, в рамках классификации научно-практических МПУР по признаку технологий принятия управленческих решений в составе класса методов принятия управленческих решений на основе оптимизации показателей эффективности выделена подгруппа НКИ. Показано, что подгруппа НКИ занимает одно из ведущих мест в составе группы методов на основе теории игр, выделяемых по признаку кооперативности, поскольку любая кооперация имеет временные ограничения и содержательные пределы совпадения интересов игроков, приводящих в конечном итоге к решению задач в НКИ. Кроме того, любые кооперации, имея множество ограничений, во многом осложняют поиск оптимального решения в НИК.    При этом в семействе НКИ участники чаще всего стремятся к поиску равновесных решений, основанных на равновесии Дж. Нэша: равновесие дрожащей руки, собственное равновесие, сильное равновесие, ε-равновесие, равновесие в доминирующих стратегиях, решение игры по доминированию, равновесие в осторожных стратегиях, равновесие по под-играм, секвенциальное равновесие, сильное секвенциальное равновесие. Такие подходы к оптимизации принимаемых управленческих решений в НКИ, с одной стороны, учитывают используемый потенциал выигрыша, с другой стороны, позволяют локализовать сопутствующие управленческому решению риски.