кандидат технических наук;
candidate of technical sciences;
Отражение от некоего зеркала является одним из основных видов преобразований в геометрии. На плоскости зеркало представляет собой прямую. При отражении получаем объект, каждая точка которого симметрична относительно этой прямой. В данной статье рассмотрены примеры отражения от окружности – общего случая прямой, если определять последнюю через окружность бесконечного радиуса. При анализе простого отражения и обобщении этого процесса на случаи подобного искривления зеркала, было обнаружено любопытное явление – увеличение размерности отражения на единицу, т.е. при отражении одномерного объекта от окружности получается двумерная кривая. Так, при отражении точки от окружности было получено семейство улиток Паскаля. Также были рассмотрены основные случаи отражения от кругового зеркала простейших двумерных объектов – отрезка и окружности при различном их расположении. В данных примерах отражениями являются двумерные объекты – области причудливой формы, ограниченные участками кривых – улиток Паскаля. Наиболее интересным является отражение двумерных объектов на плоскости, поскольку отражение получается слишком информативным для того, чтоб уместиться в соответствующем пространстве. Для представления моделей полученных отражений было предложено перейти в трехмерное пространство, а также разработан общий алгоритм, позволяющий получить отражение объекта от криволинейного зеркала в пространстве любой размерности. Приведены трехмерные модели полученных по данному алгоритму отражений. Данная статья раскрывает перспективы дальнейших исследований, связанных с переходом в трехмерное пространство и отражением объектов от сферической поверхности (возможность получения четырехмерных и пятимерных отражений), а также исследований отражений от геометрических кривых в плоскости и более сложных поверхностей в пространстве.
Reflection from a certain mirror is one of the main types of transformations in geometry. On a plane a mirror represents a straight line. When reflecting, we obtain an object, each point of which is symmetric with respect to this straight line. In this paper have been considered examples of reflection from a circle – a general case of a straight line, if the latter is defined through a circle of infinite radius. While analyzing a simple reflection and generalization of this process to the cases of such curvature of the mirror, an interesting phenomenon was found – an increase in the reflection dimension by one, that is, under reflection of a one-dimensional object from the circle, a two-dimensional curve is obtained. Thus, under reflection of a point from the circle was obtained the family of Pascal's snails. The main cases, related to reflection from a circular mirror the simplest two-dimensional objects – a segment and a circle at their various arrangement, were also considered. In these examples, the reflections are two-dimensional objects – areas of bizarre shape, bounded by sections of curves – Pascal snails. The most interesting is the reflection of two-dimensional objects on a plane, because the reflection is too informative to fit in the appropriate space. To represent the models of obtained reflections, it was proposed to move into three-dimensional space, and also developed a general algorithm allowing obtain the object reflection from the curved mirror in the space of any dimension. Threedimensional models of the reflections obtained by this algorithm have been presented. This paper reveals the prospects for further research related to transition to three-dimensional space and reflection of objects from a spherical surface (possibility to obtain four-dimensional and five-dimensional reflections), as well as studies of reflections from geometric curves in the plane, and more complex surfaces in space.