Введение К факторам, от которых зависит качество речевой связи, в том числе ее разборчивость, относят, как известно [1-3], уровни акустического эха и реверберации и, соответственно, глубину акустической обратной связи. Особо негативно эти факторы влияют на характеристики систем со сжатием речи [4] и с глубокой акустической обратной связью – вплоть до самовозбуждения. При этом проблему ухудшения характеристик обычно принято снимать адаптивными методами с использованием соответствующих моделей эха и/или реверберации. Модели эха и реверберации при озвучивании как открытых площадок, так и замкнутых помещений рассматриваются, например, в работах [1-3; 5]. Однако ряд вопросов их теории и применения, возникающих, в частности, при рассмотрении систем с акустической обратной связью, в известной литературе представлены недостаточно.     Модели эха и реверберации Механизм формирования акустической обратной связи поясняется рис. 1. Характеристики каналов распространения звука, имеющих место как на ближних, так и на дальних концах систем связи, интегрируются в этом случае в характеристики изображенного на рис. 1 обратного канала [5]. Следует отметить, что проблема, аналогичная проблеме эха, имеет место и в системах цифровой пакетной связи, задержка доставки пакетов и, соответственно, информации в которых может достигать сотен миллисекунд.  Рис. 1. Механизм формирования акустической обратной связи  Характерная для рассматриваемых телекоммуникационных систем акустическая обратная связь обусловливает обращение к моделям, описываемым функционально-дифференциальными или дифференциально-разностными уравнениями, теория которых отражена, например, в книгах [7; 8], обзорах [9; 10], многочисленных статьях и работах основателей этого направления: А.Д. Мышкиса, Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина, В.Б. Колмановского, Р. Беллмана и других. К функционально-дифференциальным уравнениям можно отнести и уравнения с непрерывным и дискретным последействием, с запаздыванием и нейтрального типа, с неограниченным и конечным последействием, детерминированные и стохастические, с непрерывным и дискретным временем. Едва ли не центральной в названных работах является тема устойчивости и неустойчивости систем с последействием.Полученным в области теории функционально-дифференциальных уравнений результатам естественно сопутствует интерес и к их практическому воплощению [9; 10]. Необходимо также отметить, что при всем обилии работ и результатов в этой области еще не все вопросы получили свое полное разрешение. В частности, не получили полного разрешения вопросы моделирования эха, реверберации и акустической обратной связи. Возникающие здесь проблемы проистекают из распределенного характера задержек, их большого числа и нелинейных искажений в каналах передачи, вносимых в первую очередь источниками звука; из потребности построения, анализа и идентификации функционально-дифференциальных и дифференциально-разностных моделей эха, реверберации и акустической обратной связи.Целью настоящей работы является построение, анализ и идентификация линейных и нелинейных функционально-дифференциальных моделей эха, реверберации и акустической обратной связи; анализ чувствительности моделей, опирающийся на результаты работ [7; 8]; анализ устойчивости телекоммуникационных систем с акустической обратной связью. В соответствии с [9] моделируются как прямые (ранние) звуки, так и реверберация с дискретным и распределенным характером задержки. Модели акустической обратной связи описываются при этом функционально-дифференциальными уравнениями.Акустическое эхо при озвучивании открытых территорий является, строго говоря, результатом либо отражения звуковых волн от удаленных объектов, либо наличия приходящих по разным траекториям волн от разнесенных в пространстве источников звука, призванных обеспечить необходимую зону равномерного озвучивания. Модель акустического эха в этом простейшем случае естественно представить линейной комбинацией  запаздывающих копий излучаемого сигнала :.                       (1)Здесь  и  соответственно время распространения (задержка) и амплитуда звуковой волны, формируемой -м источником в области наблюдения;  число источников.При непрерывном распределении задержек звуковых волн, отраженных, например, от протяженных объектов, модель эха можно задать выражением,             (2)где  ядро (функция) непрерывного распределения интенсивности отраженного сигнала в заданной точке пространства по величине задержки (начиная со значения , которое при значениях  принимается равным нулю). Если , то в силу свойств обобщенной функции  уравнение (2), как и должно быть, эквивалентно уравнению (1).При анализе распространения звука в замкнутых помещениях методами геометрической акустики  [8] уравнение (2), ядра  которого по определению должны аппроксимироваться неотрицательными функциями, естественно интерпретировать как одну из возможных моделей реверберации, назвав ее по этой причине моделью множественных отражений [1; 6].Учитывая, что акустические свойства помещений характеризуются не только законами распространения и отражения звуковых волн, но и комплексом резонансных частот, уравнение (2) можно также интерпретировать как систему резонаторов, ядра (в этом случае импульсные функции)  которых отвечают названным частотам или модам. Здесь ,  число резонаторов. При такой интерпретации модель будет называться моделью резонансных мод. Естественно, в рамках любой из названных интерпретаций уравнению (2) можно сопоставить схему, приведенную на рис. 2.  Рис. 2. Модель процесса реверберации  Сведения по модели множественных отражений, равно как и лежащие в ее основе механизмы и законы формирования акустического поля, законы распространения, отражения и поглощения звука, детально рассматриваются в [1]. В этой работе выделяются основной звук, ранние отражения и многократные отражения, отвечающие за образование процесса реверберации. Ранние отражения определяются как небольшое число волн, запаздывающих относительно основного звука на величину около 60 мс, а реверберация – как волны, запаздывающие на 60…300 мс. Следует, однако, отметить, что данная классификация не вполне подходит к системам оповещения и технологической связи, поскольку основной звук, выделяемый по своей интенсивности, может оказаться внутри области ранних отражений и даже реверберации.Рассмотренная схема формирования эха и реверберации является, как следует из рис. 3, элементом модели акустической обратной связи, характерной для систем оповещения и технологической связи. Естественно, уравнения подобных моделей в зависимости от использованного подхода могут относиться к различным типам, теория которых рассматривается, например, в [1; 7-10].  Рис. 3. Модель системы с акустической обратной связью  Следует отметить, что нижний предел интегрирования, принятый в выражении (2) и, соответственно, на рис. 2 и 3 равным , отвечает случаю неограниченного последействия. В системах с конечным последействием этот предел принимает конечное отрицательное значение [7; 8].  Модели акустических систем с запаздывающей обратной связью Уравнение (2) после выделения из него слагаемых, отвечающих за каналы прямого распространения основного звука и ранних отражений, принимает в системах с конечным последействием вид .                         (3) Здесь  число каналов прямого распространения;  максимальная величина задержки в  канале эха с распределенным запаздыванием.Применение двустороннего преобразования Лапласа позволяет записать уравнение (3) в изображениях как .                            (4) При этом изображенную на рис. 3 модель системы с акустической обратной связью в линейном приближении можно описать уравнением  ,          .                                       (5)Здесь  и  изображения оригиналов  и , , . Кроме того, в соответствии с (4).                                    (6) Если передаточную функцию  изображенного на рис. 3 блока представить отношением двух многочленов, т.е. , то уравнению (5) с учетом (6) можно придать вид .                     (7)Характеристический многочлен этого уравнения равен. Ограничившись, в частности, одним каналом прямого распространения эха и одним каналом с распределенным запаздыванием, уравнение (7) можно записать в виде                            (8) В области оригиналов уравнения (7) и (8) относятся к классу функционально-дифференциальных; чтобы показать это, переменную Лапласа  достаточно заменить оператором дифференцирования . Так, из (8) в этом случае следует уравнение               (9)Уравнению (7) можно придать аналогичную форму, произведя в (9) замены: и . В моделях множественных отражений ядра интегральных выражений – непрерывные (возможно, за исключением конечного числа точек разрыва, распределения интенсивностей эха по величине запаздывания) – подлежат аппроксимации неотрицательными функциями, графики которых аналогичны по форме графику, приведенному на рис. 4.Функция, изображенная на рис. 4, описывается выражением  или, более строго, выражением                                 (10), , ,при значениях параметров , ,  и .   Рис. 4. Пример графика ядра функционально-дифференциального уравнения (9) При этом подстановка функции (10) под знак интеграла в уравнении (8) и интегрирование дает выражение. Это означает, что при подобной аппроксимации ядра функционально-дифференциальное уравнение (9) в рамках рассмотренной модели может считаться и дифференциально-разностным. Действительно, уравнение (8) с учетом полученного выражения может быть записано в виде Здесь                            , ,, .Отсюда, собственно, и следует дифференциально-разностное уравнение Аналогично, при похожем способе аппроксимации ядер, функционально-дифференциальное уравнение, отвечающее выражению (7), также может быть представлено в дифференциально-разностной форме.Рассмотренная выше в представлениях геометрической акустики модель множественных отражений предполагает необходимость нахождения ядер – неотрицательных весовых функций, характеризующих распределение интенсивности отраженных звуковых волн, содержащих соответствующую информацию, от величины их запаздывания. В отличие от этой модели, в модели резонансных мод акустическая среда рассматривается как резонансная система, описываемая в зависимости от геометрии озвучиваемой зоны набором соответствующих резонансных частот, и, соответственно, эхо и реверберация моделируются реакцией резонансной системы на звуковые колебания. Уравнения (3) и (4), моделирующие эхо и реверберацию, при этом записываются (при сохранении слагаемых, отвечающих за каналы прямого распространения звука)  в виде ,. Здесь  импульсные функции каналов резонансной системы, а  их изображения, . Ниже, например, будет считаться, что  это рациональная функция, в частности функция вида .Как и выше, слагаемые  моделируют основные и ранние звуки, а функции  реверберацию. Если, кроме того, принять, что функция  является рациональной, то уравнение системы с акустической обратной связью может быть записано в виде   ,         (11),где  и  наименьшее общее кратное многочленов .Если принять, что ,  и , то уравнение (11) во временной области принимает вид дифференциально-разностного уравнения: .          (12) Если ограничиться одним каналом прямого и одним – распределенного распространения звука, а также принять, что , то уравнение (11) принимает вид . Отсюда, в свою очередь, следует, что дифференциально-разностное уравнение (12) резонансной модели системы с акустической обратной связью в рассмотренном частном случае можно представить, используя операторную форму, в виде                        (13) где  оператор дифференцирования по времени .Очевидно, что если степень многочлена  меньше степени многочлена , то уравнение (13) относится к классу разностного типа, а если степени одинаковы – к классу нейтрального типа, как, например, в случае .  Заключение Представленные выше модели систем с акустической обратной связью обеспечивают, по существу, важное, но только первое приближение к действительности; в них, в частности, не учитывается возможность возникновения в трактах распространения звука нелинейных искажений, причиной которых может стать в первую очередь нелинейность оператора , а также нестабильность распределения времени запаздывания по величине. Нелинейность оператора , во многом обусловленную нелинейностью источника звука (громкоговорителя), можно учесть в рамках модели Винера или Гаммерштейна, а в более общем случае – модели Вольтерра. Нестабильность времени запаздывания моделируется в классе функционально-дифференциальных систем с переменными или случайными параметрами.