Проведенные в последние годы исследования железобетонных конструкций позволили включить в новые нормы (СП 63.13330.2012 «СНиП 52-01-2003 Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения») и, соответственно, в практику проектирования деформационную расчетную модель нормальных сечений, которая хорошо отражает фактический характер работы железобетона на всех этапах вплоть до его разрушения [1, 3, 4, 5, 6, 14, 15]. Это позволяет с единых позиций выполнять расчеты железобетонных конструкций по прочности, трещиностойкости и по деформациям.Ранее авторами [12, 13] на основе деформационной расчетной модели были разработаны соответствующие методики и алгоритмы расчета прочности и трещиностойкости применительно к железобетонным балочным конструкциям трапециевидного сечения. Ниже приведены особенности построения методики расчета прогибов изгибаемых элементов рассматриваемого вида.Прогиб железобетонных балочных конструкций можно определять, например, по формуле [4]: ,                       (1)где  – изгибающий момент в сечении x от действия единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения элемента в сечении по длине пролета L, для которого определяют прогиб; (1/r)x – кривизна балки в сечении x от нагрузки, при которой определяется прогиб.В общем случае вычисление прогиба производят путем разбиения пролёта балки на ряд участков, определения кривизны на границах этих участков (с учетом отсутствия или наличия трещин и знака кривизны) и перемножения эпюр моментов  и кривизны (1/r)x по длине балки при линейном распределении кривизны в пределах каждого участка. Таким образом, для характерных сечений изгибаемой конструкции необходимо получить зависимости “момент-кривизна” [9].Для определения кривизны на участках железобетонной балки с трещинами в растянутой зоне используется гипотеза плоских сечений в варианте В.И. Мурашева – Я.М. Немировского [7, 8] для некоторого расчётного сечения, в котором деформации бетона и арматуры соответствуют усреднённому состоянию блока между нормальными трещинами. Тогда вычисление кривизны для участка с трещинами производится с помощью известной зависимости [5] ,                        (2)где yb – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций сжатого бетона между трещинами и принимаемый равным 0,9;  ys – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций растянутой арматуры между трещинами; eb и es – относительные деформации сжатого бетона и крайнего растянутого стержня в сечении элемента с трещиной; h0 – расстояние между крайним сжатым волокном бетона и растянутым арматурным стержнем.Значение коэффициента ys вычисляется по формуле [2] ,                      (3)где es,crc – относительная деформация растянутой арматуры в железобетонном элементе рассматриваемого сечения сразу после образования трещины;  b – коэффициент, обеспечивающий неразрывность графика «момент-кривизна» в точке, соответствующей моменту трещинообразования сечения элемента (по рекомендациям [2]  b = 0,8).Однако практическое применение формулы (3) с постоянным значением b для нахождения кривизн железобетонных элементов с трещинами в растянутой зоне во многих случаях не обеспечивает неразрывности графика «момент – кривизна». В работе [9] предложена методика для вычисления фактических значений коэффициента b применительно к балочным элементам прямоугольного поперечного сечения. Исходя из назначения этого параметра в формуле (3), для его нахождения в работе [9] было предложено следующее выражение ,            (4)где rcrc – радиус кривизны элемента в рассматриваемом сечении непосредственно перед образованием в нём трещины; eb,crc – относительная деформация сжатого бетона сразу после образования трещины.Чтобы найти количественные значения коэффициента b для трапециевидного сечения, необходимо предварительно определить напряженно-деформированное состояние (НДС) изгибаемого железобетонного элемента указанного вида непосредственно перед образованием в нём первой трещины и сразу после её появления.Методика определения НДС рассматриваемых балочных конструкций на этапе, непосредственно предшествующем началу их трещинообразования, была подробно представлена в работе [12]. В дополнение к искомой величине момента трещинообразования (Mcrc) необходимо также найти радиус кривизны сечения (rcrc) непосредственно перед образованием в нём первой трещины с помощью следующей зависимости: ,                       (5)где  ebc и est – относительные деформации фибрового волокна сжатого бетона и крайнего растянутого арматурного стержня в сечении изгибаемого элемента непосредственно перед образованием в нём первой трещины.Для решения второй задачи рассмотрим тот же железобетонный элемент сразу после образования в нём первой трещины (рис. 1).   Рис. 1. Схема распределения деформаций, напряжений и усилий в сечении железобетонногоэлемента трапециевидной формы сразу после образования в нём первой трещины  Аналитическое отображение схемы распределения деформаций, напряжений и усилий в сечении железобетонного элемента рассматриваемой формы приводит к следующим группам уравнений.Уравнения равновесия в традиционной форме их записи имеют вид:  ,                                  (6) ,             (7) где Mcrc – изгибающий момент, соответствующий началу этапа трещинообразования сечения железобетонного элемента; sbc – величина фибрового напряжения бетона в сжатой зоне сечения; wc, wt, gc, gt – интегральные геометрические характеристики эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона; xc, xt – высоты сжатой и растянутой зон бетона; ssc, sst – напряжения в сжатой и растянутой арматуре; b1, b2 – ширина, соответственно, нижней и верхней грани трапециевидного сечения элемента; h – высота сечения элемента; Asc, Ast – площади сжатой и растянутой арматуры; ac, at – расстояния от верхней и нижней граней сечения до центров тяжести сжатой и растянутой арматуры; bx – ширина сечения на уровне нейтральной оси; bt – ширина сечения на границе распространения первой трещины в растянутой зоне бетона.Для определения ширины (bx) трапециевидного сечения элемента на уровне его нейтральной оси используется выражение: .               (8)Ширина сечения на границе распространения первой трещины в растянутой зоне бетона (bt) находится по аналогичному выражению: .            (9)Коэффициенты полноты эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона (wc, wt) и относительные расстояния от нейтральной оси до центров тяжести соответствующих эпюр (gc, gt) определяются с помощью следующих зависимостей, полученных применительно к трапециевидному поперечному сечению изгибаемого железобетонного элемента с верхней широкой гранью (см. рис. 1):   ,                       (10) ,            (11) ,   (12) ,                    (13) где eb,crc, ebtu – относительные фибровые деформации, соответственно, в сжатой и растянутой зонах сечения изгибаемого железобетонного элемента сразу после образования в нем первой трещины; hcrc – высота нетреснувшей части сечения элемента, которая определяется с помощью выражения: .                         (14)С учетом гипотезы плоских сечений для рассматриваемого железобетонного элемента записываются следующие условия деформаций:                          (15) ,                        (16)                    (17)где esc, es,crc – относительные деформации сжатой и растянутой арматуры сразу после образования в нём первой трещины.Величину фибрового напряжения бетона sb,crc получаем с использованием зависимости [11], описывающей диаграмму деформирования бетона при неоднородном сжатии: ,             (18)где Eb2, Db2, Cb2 – начальный модуль упругости и параметры нелинейности деформирования бетона при неоднородном сжатии [11].Неизвестные напряжения в сжатой и растянутой арматуре ssc, ss,crc находятся с помощью универсальной кусочной функции, представленной в работе [10] для описания диаграмм деформирования любых арматурных сталей. Здесь же обозначим искомые два выражения следующими функциональными зависимостями: ,                        (19) .                      (20)Таким образом, получена замкнутая система разрешающих уравнений, в результате решения которой находятся все необходимые параметры НДС изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения сразу после образования в нём первой трещины, в том числе искомые величины относительных деформаций eb,crc, es,crc.Теперь с помощью зависимости (4) может быть вычислено фактическое значение коэффициента b, обеспечивающего неразрывность графика “момент-кривизна” в точке, соответствующей моменту трещинообразования трапециевидного сечения изгибаемого железобетонного элемента. Далее этот коэффициент используется для расчета кривизн от действующих в сечениях железобетонных элементов изгибающих моментов с помощью системы уравнений, практически совпадающей с рассмотренной выше второй задачей. В некоторых уравнениях производится только замена отдельных переменных: вместо Mcrc подставляется задаваемая в расчете величина изгибающего момента Mi, а напряжения и относительные деформации в бетоне и арматуре рассчитываются в качестве текущих параметров (sbc, sst, ebc, est). При этом расчетные значения кривизн должны определяться по зависимости (2) с учетом вычисления коэффициента ys по формуле (3).  Для проведения качественной и количественной оценки результатов, получаемых в рамках предлагаемой методики расчета прогибов рассматриваемых элементов, был составлен соответствующий алгоритм и разработана программа «Balka_1T» для персонального компьютера, с помощью которой проведены численные исследования.В качестве исследуемого эталонного образца был принят изгибаемый железобетонный элемент с размерами поперечного сечения прямоугольной формы b´h = 300´450 мм. Сравниваемый железобетонный элемент трапециевидного сечения имеет такую же высоту (h = 450 мм) и ширину верхней грани (b2 = 300 мм). При этом ширина нижней грани (b1) принята 150 мм. В таких образцах экономия бетона по сравнению с эталонным прямоугольным элементом составляет 25 %. В ходе численного эксперимента варьировали следующими исходными данными: классами бетона (В15, В30, В50, В70); процентным содержанием растянутой арматуры класса А400 (0,5 %, 1,0 %, 3,0 %, 5,0 %). В сжатой зоне для всех образцов принята арматура класса А240 с постоянной площадью (0,5 %). В расчетах использовались нормативные характеристики бетона и арматуры с учетом кратковременного нагружения железобетонных элементов статической нагрузкой. В итоге общий объем рассчитываемых образцов составил 32. Выполненные расчеты подтвердили предположение о том, что коэффициент b не является константой не только для трапециевидных, но даже для прямоугольных сечений изгибаемых железобетонных элементов, и выявили влияние отдельных факторов на его величину:для всех исследуемых классов бетонов и процентов армирования выявлена однозначная тенденция по существенному уменьшению коэффициентов b для трапециевидных сечений по сравнению с прямоугольными;увеличение класса бетона от В15 до В70 при одном и том же армировании (m = 1 %) приводит для прямоугольного сечения к росту коэффициента b от 0,583 до 0,824, а для трапециевидного сечения – от 0 до 0,447;повышение количества продольной арматуры в растянутой зоне элемента прямоугольного сечения с 0,5 % до 5 % для одного и того же класса бетона (В30) понижает значение коэффициента b от 0,897 до 0, а для трапециевидного сечения – от 0,677 до 0;для обеих рассматриваемых форм сечений изгибаемых железобетонных элементов коэффициенты ys, учитывающие неравномерность распределения деформаций растянутой арматуры между трещинами, повышаются с увеличением действующих изгибающих моментов. Исключением являются переармированные сечения, для которых указанные коэффициенты равны 1,0 и, соответственно, остаются неизменными при деформировании вплоть до этапа разрушения; применительно к прямоугольным сечениям нижние пределы соответствующих диапазонов изменения коэффициентов ys уменьшаются с ростом прочности бетонов при неизменном армировании. Так, для случая содержания растянутой арматуры 1 % значения  коэффициентов ys уменьшаются от 0,417 до 0,176. При этом верхние пределы рассматриваемых диапазонов очень близки между собой (0,978…0,984);аналогичная тенденция прослеживается для изгибаемых железобетонных элементов трапециевидного сечения. Только нижние пределы диапазонов изменения коэффициентов ys уменьшаются с ростом прочности бетонов от 1,0 до 0,553, а их верхние пределы достигают своих максимально возможных значений (1,0).В заключение уместно отметить, что поскольку предлагаемая методика построена без привлечения эмпирических зависимостей, то можно говорить о возможности её применения для определения коэффициентов b и ys при любых формах сечений железобетонных элементов, для различных классов бетона и арматуры. В свою очередь это позволит расчетным путем найти уточненные параметры зависимости “момент – кривизна” и затем с помощью выражения (1) определить прогиб изгибаемого железобетонного элемента с учетом образования трещин в растянутой зоне бетона.