В работе предложен  математический метод изучения затухания ультразвуковых волн малой амплитуды под действием одноосных растягивающих напряжений. Математическое моделирование затухания ультразвука в поликристаллическом твердом теле сводится к рассмотрению рассеяния упругих волн различными частицами – включениями, поэтому среда предполагается упругой, но с различными включениями. Анализ выполненных ранее  экспериментов и результаты работ [1, 2] показал, что в пластически деформированном теле наблюдается эффект затухания ультразвуковых волн. Причем, если к телу приложены такие нагрузки, при которых реализуется напряженно-деформированное состояние, выходящее  за пределы линейной упругости, то затухание догрузочных волн (ультразвуковых, малой амплитуды) растет с увеличением пластических деформаций. Следовательно, по отношению к ультразвуковым догрузочным волнам пластически деформированное тело ведет себя как сплошная среда, поглощающая высокочастотные волны. Таким образом, в основе построения математической модели лежат следующие предположения:«догрузочные» волны в недеформированном (или упруго деформированном) теле распространяются со скоростью звука;в пластически деформированном теле затухание «догрузочных» волн увеличивается с ростом напряжений;статические диаграммы  одноосного состояния существуют и имеют выраженный упругий участок.С учетом сделанных предположений математическая модель одномерного напряженно-деформированного состояния образца описывается следующей системой  уравнений:                     (1)Первое уравнение  является определяющим соотношением, второе – уравнением движения без учета массовых сил, третье – уравнением совместности кинематических полей скорости и деформаций. Пусть  – характеризуют основное состояние в растянутом приложенными силами образце, поэтому  – это некоторая точка, взятая на статической диаграмме « », а  – это малые «догрузочные» напряжения и деформации, характеризующие быстрый процесс изменения основного состояния из-за наложенных на него ультразвуковых волн,  т.е.  = 0 + *; σ = σ0 + σ*.  Обозначим частную производную штрихом вверху, а индексом внизу переменную, по которой ведется дифференцирование, точкой  вверху – частную производную по t.  Заменяя в преобразованиях  на f , согласно первому уравнению (1), будем иметь:  . В этом соотношении все величины не отмеченные «звездочкой» относятся к основному статическому состоянию. Поэтому,       . Так как скорость распространения догрузочных импульсов совпадает со стержневой скоростью, имеем, что ,где Е – модуль Юнга. С учетом этого равенства получим     Введя обозначения  ≡ ε, ≡ β2,  ≡2α, получим линеаризованное уравнение для «догрузочных» деформаций в виде          (2)или в безразмерном виде: Проведя линеаризацию полученного выше  уравнения движения:  ,найдем              (2)' Это соотношение определяет догрузочные деформации через напряжения. Уравнения   (2) и (2)' линейно связывают между собой догрузочные напряжения и деформации. Поэтому из этих соотношений можно получить отдельные уравнения для каждой из догрузочных величин.  Выполняя преобразование уравнения (2) с использованием уравнения (2)', получим уравнение четвертого порядка для догрузочных напряжений:    Из этого уравнения  следует окончательный вид линеаризованного уравнения для догрузочных волн напряжений:                     (3) Полагая ,  получим спектральное уравнение:  На частотах  10 МГц  спектральное уравнение принимает вид Следовательно, в области высоких частот уравнение (3) может быть аппроксимировано телеграфным уравнением Г. Бэйтмана [3]: Уравнение  (3), описывает  процесс распространения ультразвуковых волн нагружения в пластически деформированном образце и доказывает  зависимость от  и , а  следовательно, от функции  в определяющем соотношении.Достаточным для выполнения сформулированных выше положений 1–3 является выбор определяющего соотношения вида: Тогда получим следующую  систему уравнений математической модели:              (4)Проведя повторное дифференцирование  второго уравнения системы (4), получим:  . Линеаризуя это уравнение с использованием обозначений   , в окрестности некоторого состояния, соответствующего произвольной точке на диаграмме  «э – σ» в пластической области получим: Используя  обозначение  для оператора дифференцирования по времени, получаем  символическую форму записи  уравнения в виде:             (5)Дифференцирование  первого и третьего уравнений системы (4) дает  соотношение: .Воздействуя на это соотношения оператором ,  получим:       (5)'Уравнения  (5), (5)' линейно связывают между собой догрузочные деформации и напряжения. Поэтому из них следуют уравнения, отдельно определяющие каждую из догрузочных величин.Например, из (5) и  (5)' имеем уравнение для догрузочных деформаций в ультразвуковой волне:            (6)Уравнение (6) представляет собой уравнение для «догрузочных» деформаций, решение которого найдем в виде  .  Из (6) следует спектральное уравнение и его решение в виде зависимости :   . Тождественно преобразуем правую часть спектрального соотношения:   ;                      (7) ; . Отсюда следует, что в области высоких частот ω → ∞  из (7) справедливо приближенное спектральное уравнение: .Это означает, что процесс затухания ультразвуковых волн в одномерном континууме (6) такой же, как процесс затухания волн в уравнении Бэйтмана.Для экспериментальной аттестации предложенной математической модели необходимо также получить уравнения для «догрузочных» напряжений и при ω→∞ сравнить оба спектральных уравнения.Из второго уравнения системы (4) имеем:   Линеаризуя это уравнение в окрестности состояния ( ),получим                                     (8) С использованием обозначений соотношение (8) принимает  следующий вид:             (9)Поскольку из третьего уравнения системы (4) следует соотношение: , то далее получаем цепочку равенств: ,  и  окончательно из (9) находим уравнение распространения догрузочных волн напряжений       (10)Анализируя уравнение (10) по Фурье  , получаем спектральное уравнение:   . Выполняя тождественные преобразования спектрального уравнения, найдем, что:  .«Догрузочные» деформации: «Догрузочные» напряжения:   Сравнение показывает, что для «догрузочных» волн каждого из двух рассмотренных типов в области высоких частот получается уравнение Бэйтмана: .Это видно из того, что при высоких частотах дисперсионные уравнения полученных уравнений и уравнений Бэйтмана совпадают.В спектральном уравнении, соответствующем уравнению Бэйтмана: где  – коэффициент затухания волны. Поэтому в уравнениях для «догрузочных» волн деформаций и напряжений переменная величина , обозначенная ранее как 2α, также имеет смысл удвоенного коэффициента затухания волны. Это означает, что построенная математическая модель описывает процессы затухания ультразвука в пластически деформированных средах. Для количественного сравнения теоретических результаты с экспериментальными данными, необходимо провести  все необходимые оценки параметров для конкретных материалов и процессов.